第八章 多元函数微分学 习题课

第八章多元函数微分学习题课多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导5、复合函数求导法则),(),,(),,(yxvvyxuuvufzxvvzxuuzxzyvvzyuuzyz法则22“分道相加，连线相乘”法则的推广——任意多个中间变量，任意多个自变量如何求二阶偏导数6、全微分形式不变性无论是自变量的函数或中间变量的函数，它的全微分形式是一样的.zvu、vu、dvvzduuzdz.7、隐函数的求导法则0),()1(yxF0),,()2(zyxF0),,(0),,()3(zyxGzyxF0),,,(0),,,()4(vuyxGvuyxFzyzxFFyzFFxz,①公式法②直接法③全微分法8、微分法在几何上的应用(1)空间曲线的切线与法平面(２)曲面的切平面与法线求直线、平面的方程定点（过点）、定向（方向向量、法向量）曲线：参数式，一般式给出曲面：隐式、显式给出求隐函数偏导数的方法10、多元函数的极值极值、驻点、必要条件充分条件)0(2ACB求函数),(yxfz极值的一般步骤：最值条件极值，目标函数、约束条件构造Lagrange函数),,(),,(),,(zyxzyxfzyxF二、典型例题例1.)(lim2200yxxxyyx求极限解)0(,sin,cosyx令.0)0,0(),(等价于则yxcos)cos(sin)(0222yxxxycos)cos(sin,2.0)(lim2200yxxxyyx故例2已知),,(ztzyyxfw求twzwywxw解1fxw21ffyw32ffzw3ftwtwzwywxw0例3已知)sin(cbyaxz求nmnmyxz解)cos(cbyaxaxz)2sin(cbyaxa)22sin(222cbyaxaxz)2sin(mcbyaxaxzmmm)22sin(1mcbyaxbayxzmmm)2)(sin(nmcbyaxbayxznmnmnm例4.,,)(),,(2223yxzyzyzfxyxyfxz求，具有二阶连续偏导数设解)1(213xfxfxyz,2214fxfx)1()1(222121211422xfxfxxfxfxyz,222123115fxfxfx,222123115fxfxfxxyzyxz22)(2214fxfxx)]([2)]([4222212221211413xyfyfxxfxyfyfxfx.2422114213fyfyxfxfx例5.,0),(,sin,0),,(),,,(2dxduzfxyzexzyxfuy求且，具有一阶连续偏导数设解,dxdzzfdxdyyfxfdxdu,cosxdxdy显然,dxdz求得的导数两边求对,0),,(2xzexy,02321dxdzdxdyexy于是可得,),cos2(12sin13xexdxdzx.)cos2(1cos2sin13zfxexyfxxfdxdux故)(zyxezyx求22222,,yzyxzxz解一记)(),,(zyxezyxzyxF则zyxFFF)(1zyxe1yzxz22222yzyxzxz0解二方程两边对x求偏导)1(1)(xzexzzyx0]1)[1()(zyxexz例6设1xz由轮换对称性1yz22222yzyxzxz0两边取全微分)()(dzdydxedzdydxzyx0)](1[)(dzdydxezyx0dzdydx即dydxdz1yzxz22222yzyxzxz0解三设有方程组3333322222cuzyxbuzyxauzyx求dxdy解两边对x求导00012222uuzzyyxuuzzyyxuzy这是一个以uzy,,为未知量的三元一次方程组若系数行列式222111uzyuzyD（Vandermond行列式）0))()((zuyuyz例7则有2221111uzxuzxDy))()((1zuxuxzD))(())((yuyzxuxz在半径为R的圆的一切内接三角形中，求其面积最大者解如图若以x,y,z表示三角形的三边所对的圆心角，则zyx三角形的面积)sinsin(sin212zyxRA例8问题就是求A在条件zyx下的最大值xyz)2()sinsin(sin),,(zyxzyxzyxF),,0(zyx0cos0cos0coszFyFxFzyxzyxcoscoscoszyx322max433RA记例9已知),(yxuu满足方程02222yuaxuayuxu试选择参数,通过变换yxeyxvyxu),(),(使原方程变形所得新方程中没有v对x,y的一阶偏导数解yxevxvxu)(yxevxvxvxu)2(22222yxevyvyu)(yxevyvyvyu)2(22222代入方程消去yxe0)()2()2(222222vaayvaxvayvxv令0202aa解得2,2aa因0)(22a故变换后的方程为02222yvxv例10?,,),,(0000222222模此方向导数等于梯度的具有什么关系时的方向导数，问的向径处沿点在点求cbarzyxMczbyaxu解,,,,20202000000zyxrzyxr.cos,cos,cos000000rzryrx处的方向导数为在点Mcoscoscos0MMMMzuyuxuru002000200020222rzczrybyrxax)(22222220000czbyaxr.),,(2202020000zyxzyxu处的梯度为在点MkzujyuixugraduMMMM,222202020kczjbyiax,2424242000czbyaxgraduM,时当cba,22222000zyxagraduM,2)(2202022202022222000000zyxazyxzyxaruM,0MMgraduru.,,,模此方向导数等于梯度的相等时故当cba例11之间的最短距离．与平面求旋转抛物面2222zyxyxz解.2261,022,),,(22zyxddzyxPyxzzyxP的距离为到平面则上任一点为抛物面设分析:最小．即且使满足，使得本题变为求一点))22(61(22610,,),,(2222zyxdzyxdzyxzyxzyxP),()22(61),,(222yxzzyxzyxF令得)4(,)3(,0)2)(22(31)2(,02)22(31)1(,02)22(3122yxzzzyxFyzyxFxzyxFzyx.81,41,41zyx解此方程组得),81,41,41(即得唯一驻点处取得最小值．驻点，故必在一定存在，且有唯一根据题意距离的最小值)81,41,41(.647241414161mind试求曲面xyz=1上任一点),,(处的法线方程和切平面方程并证明切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积是一个常量证设1),,(xyzzyxFxyFxzFyzFzyx,,法线zyx切平面0)()()(zyx即3zyx例12切平面在三个坐标轴上的截距分别为33,33,33故切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积为高底面积31V|]3||3||3|21[3129||29是一个常量例13设y=f(x,t)而t是由F(x,y,t)确定的x,y的函数，试证明tyttxtxFFffFFfdxdy证一方程组0),,(),(tyxFtxfy确定了两个一元隐函数y=y(x),t=t(x)两边分别对x求导得xtyxtFdxdtFdxdyFfdxdtfdxdy解得tyttxtxFFffFFfdxdy证二本题主要是弄清楚函数关系，具体求导则很简单，初看起来似乎y是x的显函数y=f(x,t)，但由F(x,y,t)=0可得t=t(x,y)，代入y=f(x,t)得y=f[x,t(x,y)]这是y=y(x)的隐函数表示形式按题意t=t(x,y)满足F(x,y,t)=0故tytxFFytFFxt由t=t(x,y)得dxdyytxtdxdt又t=t(x,y)满足y=f(x,t)，故dxdtffdxdytx从而)(dxdyytxtffdxdytx解得tyttxtxFFffFFfdxdy证三两边取全微分并移项得dxFdtFdyFdxfdtfdyxtyxt消去dt得dxfFfFdyfFFtxxttyt)()(解得tyttxtxFFffFFfdxdy证四曲面F(x,y,t)=0及y=f(x,t)在（x,t,y)空间中的法向量分别为ytxFFFn,,11,,2txffn21nn是两曲面的交线L的切向量L的方程为)()(xyyxttxx故L的切向量为dxdydxdt,,121//nn即xttxyxxyttfFfFFfFFfFdxdydxdt,,,,1解得tytfFFtyttxtxxttxFFffFFffFfFdxdy