中国石油大学随机数据处理方法(第三版)答案

1第一章随机事件与概率习题参考答案与提示1．设CBA、、为三个事件，试用CBA、、表示下列事件，并指出其中哪两个事件是互逆事件：（1）仅有一个事件发生；（2）至少有两个事件发生；（3）三个事件都发生；（4）至多有两个事件发生；（5）三个事件都不发生；（6）恰好两个事件发生。分析：依题意，即利用事件之间的运算关系，将所给事件通过事件CBA、、表示出来。解：（1）仅有一个事件发生相当于事件CBACBACBA、、有一个发生，即可表示成CBACBACBA；类似地其余事件可分别表为（2）ACBCAB或ABCCBABCACAB；（3）ABC；（4）ABC或CBA；（5）CBA；（6）CBABCACAB或ABCACBCAB。由上讨论知，（3）与（4）所表示的事件是互逆的。2．如果x表示一个沿着数轴随机运动的质点位置，试说明下列事件的包含、互不相容等关系：20|xxA3|xxB9|xxC5|xxD9|xxE解：（1）包含关系：ACD、BE。（2）互不相容关系：C与E（也互逆）、B与D、E与D。3．写出下列随机事件的样本空间：（1）将一枚硬币掷三次，观察出现H（正面）和T（反面）的情况；（2）连续掷三颗骰子，直到6点出现时停止,记录掷骰子的次数；（3）连续掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和；（4）生产产品直到有10件正品时停止，记录生产产品的总数。解：（1）TTTTTHTHTHTTTHHHTHHHTHHH,,,,,,,；（2）,2,1；（3）18,,4,3；（4）,11,10。4．设对于事件CBA、、有)(AP4/1)()(CPBP,8/1)(ACP，0)()(BCPABP，求CBA、、至少出现一个的概率。提示：CBA、、至少出现一个的概率即为求)(CBAP，可应用性质4及性质5得()5/8PABC5．设A、B为随机事件，3.0)(7.0)(BAPAP，，求)(ABP。提示：欲求)(ABP，由概率性质3可先计算)(ABP。解：由于)(BAABA，且)(BAAB，从而)()()(BAPABPAP2即4.0)()()(BAPAPABP由概率性质3得6.04.01)(1)(ABPABP。6．已知事件A、B满足PABPAB()()且3/1)(AP，求PB()。解法一：由性质（5）知PB()=PABPAPAB()()()（性质5）=1PABPAPAB()()()（性质3）=1PABPAPAB()()()（对偶原理）=1PA()=32311（已知条件）解法二：由于PABPAB()()=PABPAB()()1=)()(311ABPBP从而得0)(32BP，即32)(BP7．一个袋中有5个红球2个白球，从中任取一球，看过颜色后就放回袋中，然后再从袋中任取一球。求：（1）第一次和第二次都取到红球的概率；（2）第一次取到红球，第二次取到白球的概率。解：设A表示：“第一次和第二次都取到红球”；B表示：“第一次取到红球，第二次取到白球“。（1）由于n(A)=55，且n()=77，故4925)()()(nAnAP（2）由于n(B)=25，且n()=77，故4910)()()(nBnBP8．一批产品有8个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回）。求：（1）两次都取到正品的概率；（2）第一次取到正品，第二次取到次品的概率；（3）第二次取到次品的概率；（4）恰有一次取到次品的概率。解：设iA表示：“第i次取出的是次品”（i=1，2），则所求概率依次化为)(21AAP、)(21AAP、3)()(21212AAAAPAP、)(2121AAAAP。由于无放回地从10个产品中任取两次，每次取一个，第一次有10个可取，第二次有9个可取，因此n()910。（1）由于n()21AA8×7，所以)(21AAP452891078（2）n(AA12)8×2，所以)(21AAP45891028或直接用乘法公式)(21AAP)|()(121AAPAP45892108（3）由于n()21AA2×1，n()21AA8×2，且2121AAAA，所以)(2AP)()(2121AAPAAP51910289102。或直接用乘法公式)()()()(212121212AAPAAPAAAAPAP)|()()|()(121121AAPAPAAPAP519210891102（4）由于2121AAAA、互不相容，)(2121AAAAP)()(2121AAPAAP)|()()|()(121121AAPAPAAPAP45169210898102。9．设有80件产品，其中有3件次品，从中任取5件检查。求所取5件中至少有3件为正品的概率。解：设A：“所取5件中至少有3件为正品”；则A的对立事件为至多有2件为正品，即：“恰有2件为正品”（最多有3件次品）。因此)(1)(APAP82168215)()(158033277CCCnAn或：5771347723377)(CCCCCAn82168215)(5805771347723377CCCCCCAP。410．从5双不同的鞋子中任取4只，求4只鞋子至少有2只配成一双的概率。分析：直接求4只鞋子至少有2只配成一双的概率不易得到正确的结果，这是由于所考虑事件比较复杂，解决此类问题的方法通常是利用概率性质3，即先求逆事件的概率。该题的解法较多，现分述如下：解：设事件A表示：“取出的4只鞋子至少有2只配成一双”，则事件A表示：取出的4只鞋任意两只均不能配成一双”。方法一．若取鞋子是一只一只地取（不放回），则共有取法10×9×8×7种，而取出的4只鞋任意两只均不能配成一双的取法共有10×8×6×4种，所以211378910468101)(1)(APAP方法二、从5双不同的鞋子中任取4只，共有410C=210种取法。取出的4只鞋任意两只均不能配成一双共有4452C=80种取法（先从5双中任取4双共45C种取法，然后从每双鞋子中任取一只，每双鞋子有2种取法，故共有24种取法）。所以2113210801)(1)(APAP方法三、为了使取出的4只鞋子任意两只均不能配成一双，故可考虑4只鞋子中取左脚k（k01234，，，，)只，右脚k4只（这k4只右脚只能从剩余的k5双鞋子中任取）其共有4045580kkkkCC种取法，故2113210801)(1)(APAP方法四、（直接法）设事件iA表示：“取出的4只鞋子恰有i双配对”（i=1，2），则21AAA，且21AA。1A包含基本事件数为从5双鞋子中任取一双，同时在另外4双鞋子中任取不能配对的两只的不同取法共有CCC518241()种（)2(22415CC）；2A包含基本事件数为从5双鞋子中任取2双，不同取法共有25C种。故2113)()()()(4102541014281521CCCCCCAPAPAP11．假设每个人的生日在一年365天都是等可能的，那么随机选取)365(n个人，求他们的生日各不相同的概率及这n个人至少有两个人生日在同一天的概率；若n40，求上述两个事件的概率。分析：此问题属于占位问题。解：设A表示事件：“n个人的生日各不相同”；B表示事件：“这n个人至少有两个人生日在同一天”。由于每个人的生日在一年365天都是等可能的，所以n()=365n，n(A)nA365，从而nnAAP365)(365。由于B事件是A事件的对立事件，所以nnAAPBP3651)(1)(365若取40n，则5109.0365)(4040365AAP891.0109.01)(1)(APBP12．某进出口公司外销员与外商约谈，两人相约某天8点到9点在预定地点会面，先到者要等候另一个人20分钟，过时就离去，若每人在这指定的一个小时内任一时刻到达是等可能的，求事件A={两人能会面}的概率。解：设xy、分别表示两人到达预定地点的时刻，那么两人到达时间的可能结果60对应边长为60的正方形里所有点（见图1-1），这个正方形就是样本空间，而两人能会面的充要条件是xy20，即xy20且xy20，所以，事件A对应图中阴影图1-1部分里的所有点。因此，所求概率为PAA()()()6040605922213．设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时被打破的概率为3/10，第二次落下时被打破的概率为1/2，第三次落下时被打破的概率为9/10，试求透镜落下三次未打破的概率。分析：解决此问题的关键在于正确理解题意，弄清概率1/2、9/10的具体含义。依题意“第二次落下时被打破的概率为1/2”指的是第一次落下未被打破的情况下，第二次落下时被打破的概率；概率9/10的含义类似。解：设iA表示“第i次落下时未被打破”)321(，，i，A表示“落下三次未被打破”，则321AAAA，)|()|()()()(213121321AAAPAAPAPAAAPAP2007)1091()211()1031(14．由长期统计资料得知，某一地区在4月份下雨（记作事件A）的概率为4/15，刮风（记作事件B）的概率为7/15，刮风又下雨（记作事件C）的概率为1/10。求)|(BAP，)|(ABP，)(BAP。解：14315/710/1)()()|(BPABPBAP8315/410/1)()()|(APABPABP3019101157154)()()()(ABPBPAPBAP.15．设A、B为随机事件，若6.0)(5.0)(BPAP，，8.0)|(ABP，求：6（1）)(ABP；（2）)(BAP。分析：该题主要是考查条件概率公式、乘法公式及概率性质的应用。解：（1）4.08.05.0)|()()(ABPAPABP；（2）7.04.06.05.0)()()()(ABPBPAPBAP。16．一机床有1/3的时间加工零件A，其余时间加工零件B，加工零件A时，停机的概率是3/10，加工零件B时，停机的概率是4/10，求这台机床停机的概率。分析：依题意，这是一全概率问题。解：设A事件表示：“加工零件A”；B事件表示：“加工零件B；C事件表示：“机床停机”。则由全概率公式得)|()()|()()(BCPBPACPAPCP3011104321033117．有两个口袋，甲袋中盛有2个白球1个黑球；乙袋中盛有1个白球2个黑球。由甲袋任取一球放入乙袋，再从乙袋中取出一球，求取到白球的概率。分析：依题意，这是一全概率问题，因为从乙袋中取出一球是白球有两个前提，即由甲袋任取一球放入乙袋有两种可能（由甲袋任取出的球可能是白球，也可能是黑球），并且也只有这两种可能。因此若把这两种可能看成两个事件，这两个事件的和事件便构成了一个必然事件。解：设A表示：“由甲袋取出的球是白球”；B表示：“由甲袋取出的球是黑球”；C表示：“从乙袋取出的球是白球”。则由全概率公式得)|()()|()()(BCPBPACPAPCP12512111211211112218．设有一箱同类产品是由三家工厂生产的，其中21是第一家工厂生产的，其余两家各生产41，又知第一、二家工厂生产的产品有2%的次品，第三家工厂生产的产品有4%的次品，现从箱中任取一只，求：（1）取到的是次品的概率；（2）若已知取到的是次品，它是第三家工厂生产的概率。解：设事件A表示：“取到的产品是次品”；事件iA表示：“取到的产品是第i家工厂生产的”（i123，，）。则AAA123，且PAi()0。（1）又由于AAA123、、两两互不