选修4-4.圆锥曲线的参数方程(1)(2)(3)

第二讲参数方程1.椭圆的参数方程二.圆锥曲线的参数方程如下图，以原点O为圆心，分别以a，b（a＞b＞0）为半径作两个同心圆，设A为大圆上的任意一点，连接OA,与小圆交于点B，过点A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时点M轨迹的参数方程.OAMxyNB分析：设M点的坐标为（x,y)点A的横坐标与M点的横坐标相同,点B的纵坐标与M点的纵坐标相同.而A、B的坐标可以通过引进参数建立联系.OAMxyNB解：设∠XOA=φ,则A:(acosφ,asinφ),B:(bcosφ,bsinφ),由此:即为点M轨迹的参数方程.sinbycosax(为参数)消去参数得:,bya12222x即为点M轨迹的普通方程.如下图，以原点O为圆心，分别以a，b（a＞b＞0）为半径作两个同心圆，设A为大圆上的任意一点，连接OA,与小圆交于点B，过点A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程.1.参数方程是椭圆的参数方程.cosxasinyb2.在椭圆的参数方程中，常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长.ab另外称为离心角,规定参数的取值范围是[0,2)cos,sin.xaXyb焦点在轴cos,sin.xbYya焦点在轴(为参数)yaab22221（.0)xbφOAMxyNB归纳比较椭圆的标准方程:12222byax椭圆的参数方程中参数φ的几何意义:)(sinbycosa为参数xxyO圆的标准方程:圆的参数方程:x2+y2=r2)(sinycos为参数rrxθ的几何意义是∠AOP=θ，是旋转角PAθ椭圆的参数方程:是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.称离心角【练习1】把下列普通方程化为参数方程.22149xy22116yx(1)(2)3cos5sinxy8cos10sinxy(3)(4)把下列参数方程化为普通方程2cos(1)3sinxycos(2)4sinxy2264100(4)1yx22925(3)1yx练习2：已知椭圆的参数方程为(是参数)，则此椭圆的长轴长为（），短轴长为（），焦点坐标是（），离心率是（）。2cossinxy4232(,0)3例1、如图，在椭圆x2／9+y2／4=1上求一点M，使M到直线l：x+2y-10=0的距离最小.xyOP分析1平移直线l至首次与椭圆相切，切点即为所求.22204936xymxy000,M(,)消元，利用，求出进而求得切点mxyM设(3cos,2sin)是椭圆上任一点.|3cos4sin-10|5d则小结：借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决。例1、如图，在椭圆x2／9+y2／4=1上求一点M，使M到直线l：x+2y-10=0的距离最小.分析23cos()2sinxy椭圆参数方程为：为参数34|5cossin-10|555（）0|5cos-10|5（）00034cos,sin55其中满足05d当=0时,取最小值，0098coscos,2sin2sin55此时3398M(,)2100555Mxy时，点与直线的距离取最小值。例2.已知椭圆,求椭圆内接矩形面积的最大值.22221(0)xyabab解：设椭圆内接矩形的一个顶点坐标为(cos,sin)ab4cossinSab矩形()24kkZSab矩形当时，最大。所以椭圆内接矩形面积的最大值为2ab.2sin2ab2ab例3:已知A,B两点是椭圆与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.22941yx:解由椭圆参数方程，设点P(3cos,2sin)PAB即求点到直线的距离的最大值。,ABCABPS面积一定需求S最大即可132xy直线AB的方程为：22|cossin6|23d6662sin()1413,,d当=时有最大值面积最大.4322P这时点的坐标为(,2)2360xy练习1、动点P(x,y)在曲线上变化，求2x+3y的最大值和最小值14922yx.,2626最小值最大值2、θ取一切实数时，连接A(4sinθ,6cosθ)和B(-4cosθ,6sinθ)两点的线段的中点轨迹是.A.圆B.椭圆C.直线D.线段B设中点M(x,y)x=2sinθ-2cosθy=3cosθ+3sinθ22y249x3cos,2sin设xy236cos6sinxy62sin()4小结（1）椭圆的参数方程（ab0）12222byax)(sincos为参数byax注意：椭圆参数与圆的参数方程中参数的几何意义不同。（2）椭圆与直线相交问题y22221xabcos(为参数)sinxbya第二讲参数方程2.双曲线的参数方程二.圆锥曲线的参数方程•aoxyMBA'B'A双曲线的参数方程探究：双曲线的参数方程22221xyabb12,,以原点为圆心，为半径分别作同心圆OabCC1,设为圆上任意一点，作直线设以为始边，为终边的角为ACOAOxOA''1AC过点作圆的切线AA与x轴交于点A,''22.CC过圆与x轴的交点B作圆的切线BB与直线OA交于点B''''过点A,B分别作y轴,x轴的平行线AM,BM交于点M.••aoxyMBA'B'A双曲线的参数方程b(,)Mxy设''(,0),(,).AxBby则1AC点在圆上A(acos,asin).''OAAAOAAA又,=02cos(cos)(sin)0axaacosax解得：'又点B在角的终边上，tan.yb由三角函数定义有：tanyb1seccos记secxaxaMybsec()tan点的轨迹的参数方程是为参数'AA=(x-acos,-asin)消去参数得：22221xyabsec()tanxayb为参数2a222xy-=1(a0,b0)的参数方程为：b3[,2)22o通常规定且，。⑵双曲线的参数方程可以由方程与三角恒等式相比较而得到，所以双曲线的参数方程的实质是三角代换.22221xyab22sec1tan说明：⑴这里参数叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.•aoxyMBA'B'Ab双曲线的参数方程双曲线的参数方程：sec()tanxayb为参数2a222xy-=1(a0,b0)的参数方程为：bsec()tanyaxb为参数2a222yx-=1(a0,b0)的参数方程为：b为离心角例2、2222100如图，设为双曲线任意一点，为原点，过点作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于，两点。探求平行四边形的面积，由此可以发现什么结论？xyMababOMABMAOB(,)OBMAxy.byxa双曲线的渐近线方程为：解：不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标（asec,bta为n）,b将y=x代入①，解得点A的横坐标为aAax=（sectan）2.tan(sec).则直线的方程为：①bAxaaMybOBMAxy解：Bax=（sectan）.2同理可得，点B的横坐标为ba设AOx=,则tan.MAOB所以的面积为MAOBS=|OA||OB|sin2=ABxxsin2coscos2222a(sec-tan)=sin24costan.2baba22aa=22由此可见，平行四边形的面积恒为定值，与点M在双曲线上的位置无关。MAOB化下列参数方程为普通方程，并说明它们表示什么曲线?由此你有什么想法？a1(2()1()2）为参数,a0,b0xtttbytt()2(b)()2为参数,a0,0ttttaxeetbyee探究第二讲参数方程3.抛物线的参数方程二.圆锥曲线的参数方程xyoM(x,y)22......(1)ypx设抛物线的普通方程为tan.............(2)yx由三角函数的定义可得(1),(2),xy由解出，(1)()这就是抛物线不包括顶点的参数方程抛物线的参数方程22tan()2tanpxpy得到为参数M抛物线上任意点（x,y)MOXxyoM(x,y)1,(,0)(0,),tantt如果令22()2xpttypt则为参数有抛物线的参数方程22tan()2tan为参数pxpy(0,00)，由此参数方程表示的点正好就是抛物线的顶点当时t222()2(,)y当时，参数方程就表示抛物线=2为px。参数xpttyptt参数表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。t220)由此得抛物线（的参数方程为：ypxp22()2xpttypt为参数参数的几何意义：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。t22(0)?思考：类比上面的方法怎样选取参数，建立抛物线的参数方程xpyp22tan()2tanxpyp为参数tan,(,)tt如果令22()2xpttypt为参数参数的几何意义：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率。t22(0)所以抛物线的参数方程为：xpyp22()2xpttypt为参数22(0)进一步探究抛物线的参数方程，并对四种结果进行归纳总结。xpyp抛物线的参数方程22()2xpttypt为参数抛物线上除顶点外的任意一点与原点连参数线的的几何意义。：斜率的倒数t220)ypxp（220)ypxp（22()2xpttypt为参数总结t抛物线上除顶点外的任意一点与原参点数的几何意义：连线的斜率。22(0)xpyp22()2xpttypt为参数抛物线的参数方程22(0)xpyp22()2xpttypt为参数总结xyoBAM2,2(0),例、如图是直角坐标原点，是抛物线上异于顶点的两动点，且并于相交于点，求点的轨迹方程。OABypxpOAOBOMABABMM(,),Mxy解：设点211(2,2),Aptpt222(2,2)Bptpt1212(,0)tttt且(,),OMxy211(2,2),OAptpt222(2,2),OBptpt222121(2(),2())ABpttptt,OAOB221212(2)(2)0,pttptt••,OAOB2,2(0),例、如图是直角坐标原点，是抛物线上异于顶点的两动点，且并于相交于点，求点的轨迹方程。OABypxpOAOBOMABABMM221212(2)(2)0,pttptt121......(1)tt,OMAB2221212()2()0pxttpytt12(0)........(2)yttxx211(2,2),AMxptypt222(2,2)MBptxpty,,AMB且三点共线，221221(2)(2)(2)(2)xptptyptxypt1212()20........(3)yttpttx即：(1),(2)(3),()20yypxx将代入得到:2220(0)xypxx即M这就是点的轨迹方程22211(2)(2)OAptpt