线性代数 向量空间

第五节向量空间分布图示★向量空间★例1★例2★例3★例4★例5★子空间★例6★例7★向量空间的基与维数★例8★例9★向量在基下的坐标★例10★关于集合的坐标系的注记★例11★内容小结★课堂练习★习题3-5内容要点一、向量空间与子空间定义1设V为n维向量的集合,若集合V非空,且集合V对于n维向量的加法及数乘两种运算封闭,即(1)若,,VV则V;(2)若,,RV则V.则称集合V为R上的向量空间.记所有n维向量的集合为nR,由n维向量的线性运算规律,容易验证集合nR对于加法及数乘两种运算封闭.因而集合nR构成一向量空间,称nR为n维向量空间.注：3n时,三维向量空间3R表示实体空间;2n时,维向量空间2R二表示平面;1n时,一维向量空间1R表示数轴.3n时,nR没有直观的几何形象.定义2设有向量空间1V和2V,若向量空间21VV,则称1V是2V的子空间.二、向量空间的基与维数定义3设V是向量空间,若有r个向量Vr,,,21,且满足(1)r,,1线性无关;(2)V中任一向量都可由r,,1线性表示.则称向量组r,,1为向量空间V的一个基,数r称为向量空间V的维数,记为rVdim并称V为r维向量空间.注:(1)只含零向量的向量空间称为0维向量空间,它没有基;(2)若把向量空间V看作向量组,则V的基就是向量组的极大无关组,V的维数就是向量组的秩;(3)若向量组r,,1是向量空间V的一个基,则V可表示为}.,,,,|{2111RxxVrrr此时,V又称为由基r,,1所生成的向量空间.故数组r,,1称为向量x在基r,,1中的坐标.注:如果在向量空间V中取定一个基raaa,,,21,那么V中任一向量x可惟一地表示为,2211rraaax数组r,,,21称为向量x在基raaa,,,21中的坐标.特别地,在n维向量空间nR中取单位坐标向量组neee,,,21为基,则以nxxx,,,21为分量的向量x,可表示为,2211nnexexexx可见向量在基neee,,,21中的坐标就是该向量的分量.因此neee,,,21叫做nR中的自然基.例题选讲例1(E01)判别下列集合是否为向量空间},,|),,,0({221RxxxxxVnTn解1V是向量空间.因为对于1V的任意两个元素,,,,Tnaa)0(2,,,,12)0(VbbTn有122)0(VbabaTnn,,,.,,,12)0(VaaTn例2(E02)判别下列集合是否为向量空间},,|),,,1({222RxxxxxVnTn解2V不是向量空间.因为若,,,,,22)1(VaaTn则.,,,,22)222(2VaaTn例3(E03)设,为两个已知的n维向量,集合},|{RV试判断集合V是否为向量空间.解V是一个向量空间.因为若,111,222则有,V)()(212121.Vkkk)()(111这个向量空间称为由向量,所生成的向量空间.注:通常由向量组maaa,,,21所生成的向量空间记为}.,,,|{212211RaaaVmmm例4(E04)设向量组m,,1与向量组s,,1等价,记},,,|{},,,|{21221122122111RVRVsssmmm试证:.21VV证设,1V则可由m,,1线性表示.因m,,1可由s,,1线性表示,故可由s,,1线性表示.2V这就是说，若,1V则2V.21VV类似地可证:若,2V则1V.12VV因为,21VV,12VV所以.21VV例5(E05)考虑齐次线性方程组0Ax,全体解的集合为}0|{AS显然,S非空),0(S任取kS,,为任一常数,则SkkkAkASAAA即即,00)(,0)(故S是一向量空间.称S为齐次线性方程组0AX的解空间.例6(E06)3R中过原点的平面是3R的子空间证明3R中过原点的平面可以看作集合33,,0,,,VRxyzxyzR其中若111,,V,222,,V,即1112220,0xyzxyz则有121212111()()()0,0xyzkxkykz即111222,,,,V,111,,kV故3R中过原点的平面是3R的子空间例7(E07)向量空间2R不是3R的子空间,因为2R根本不是3R的子集(3R中的向量有三个分量,但2R中的分量却只有两个).集合,,0,HststR是3R的与2R有相同表现的子集,尽管严格意义上H不同于2R,见右图.证明H是3R的子空间.证明任取1122,,0,,,0ststH,k为任一常数,则1122,,0,,0ststH,11,,0kstH因此H是3R的子空间.例8(E08)证明单位向量组,)1,,0,0,0(,)0,,0,1,0(,)0,,0,0,1(21TnTT是n维向量空间nR的一个基.证(1)易见n维向量组n,,,21线性无关;(2)对n维向量空间nR中的任意一向量,,,,Tnaaa)(21有,nnaaa2211即nR中的任意一向量都可由初始向量线性表出.因此，向量组,,21n,是n维向量空间nR的一个基.例9(E09)给定向量TTTT)3,1,1(,)1,3,2(,)5,3,1(,)1,4,2(321试证明:向量组321,,是三维向量空间3R的一个基,并将向量用这个基线性表示.证令矩阵,,,)(321A要证明321,,是3R的一个基，只需证明;EA又设332211xxx或Ax则对)(A进行初等行变换,当将A化为单位矩阵E时，同时将向量化为.1AX)(A315113341212行变换410010104001可见，EA故321,,是3R的一个基，且.32144例10(E10)考虑2R的一个基12,,其中TT121,0,1,2,若2R的一向量x在基12,的坐标为T2,3,求x.又若T4,5y,试确定向量y在基12,的坐标.解结合x在基12,的坐标构造x,即111(2)3026x设y在基12,的坐标为T12,,则54210121或54201121cc该方程可以通过增广矩阵上的行变换或利用等号左边矩阵的逆来求解.无论哪种方法,都能得到方程的解1235,22.因此123522y.例11设TTT123,6,2,1,0,1,3,12,7.vvx判断x是否属于由12,vv生成的向量空间.如果是,求出x在12,vv中的坐标.解如果x是属于由12,vv生成的向量空间,则下列向量方程是有解的:123136012217若12,存在,它们应该是x在12,vv中的坐标.利用行变换可得3131026012013217000因此122,3.课堂练习1.设向量组,)14,2(,)0,2,2(,)1,0,1(:321TTTA向量组.)4,4,2(,)4,2,1(:21TTB试证明向量组A是三维向量空间3R的一个基,并将向量组B用这个基线性表示.