线性代数 章节作业

线性代数章节作业第一章行列式1、行列式|sin𝑥−cos𝑥cos𝑥sin𝑥|=（A）A、1B、0C、-1D、2解析：sin𝑥×sin𝑥－（－cos𝑥）×cos𝑥=𝑠𝑖𝑛2x+𝑐𝑜𝑠2x=1所以答案为A2、行列式|𝑘−2−2−3𝑘−1|≠0的充分必要条件是（Ｃ）A、ｋ≠－１Ｂ、ｋ≠４Ｃ、ｋ≠－１且ｋ≠４Ｄ、ｋ≠－１或ｋ≠４解析：（Ｋ－２）（Ｋ－１）－６≠０得ｋ≠－１且ｋ≠４所以答案为Ｃ３、行列式|120−103111|＝（Ｄ）Ａ、１Ｂ、０Ｃ、－１Ｄ、５解析：１×０×１＋２×３×１＋（－１）×１×０－０×０×１－２×（－１）×１－１×３×１＝５所以答案为Ｄ4、若方程组{𝑘𝑥+𝑦−𝑧=0𝑥+𝑘𝑦−𝑧=02𝑥−𝑦+𝑧=0仅有零解，则（C）A、k≠−2B、k≠1C、k≠−2且k≠1D、k≠−2或k≠1解析：系数行列式D=|𝑘1−11𝑘−12−11|=𝑘2+1−2+2𝑘−𝑘−1=𝑘2+𝑘−2=(𝑘+2)(𝑘−1)所以答案为C5、若行列式|12513−225𝐾|=0，则K=3解析：1×3×K+2×(−2)×2+1×5×5−5×3×2−1×2×K−5×（−2）×1=0K−3=0所以K=3第二章矩阵1、（选择题1）设矩阵A=(1−10212)，B=(11−101−2)，则2A+3B=（A）A、(51−345−2)B、(513452)C、(51345−2)D、(5−1−345−2)解析：2A+3B=2(1−10212)+3(11−101−2)=(2+3−2+30−34+02+34−6)=(51−345−2)所以，答案为A2、（填空题1）设A=(1−10212)，B=(11−101−2)，则A+B=(20−1220)解析：A+B=(1+1−1+10−12+01+12−2)=(20−1220)3、（填空题2）设A=(0−13−205)，B=(−13−13−22)，则2A+B=(−115−1−212)解析：2A+B=(2×0−12×(−1)+32×3−1−2×2+32×0−22×5+2)=(−115−1−212)４、（填空题5）若等式(10𝑎2−10011)(10−1)=(𝑎2−1)成立,a=12解析：(10𝑎2−10011)(10−1)=(1×1+0×0+𝑎×(−1)2×0+(−1)×0+0×00×(−1)+1×(−1)+1×（−1）)=(1−𝑎0−2)(𝑎2−1)=(1−𝑎0−2)所以a=12５、（证明题１０）设A,B皆为m×n矩阵，证明：A与B等价的充分必要条件是r(A)=r(B).证：必要性若矩阵A与B等价，即A经过若干次初等变换化为矩阵B，由于初等变换不改变矩阵的秩，所以r(A)=r(B)；充分性若r(A)=r(B)=r,则由矩阵的等价标准形知：A≌D=(𝐸𝑂𝑂𝑂)，B≌D=(𝐸𝑂𝑂𝑂)，从而Ａ≌Ｂ６、（填空题4）若矩阵A与矩阵B的积AB为3行4列矩阵，则矩阵A的行数是3.第三章向量空间1.（选择题１）设向量(4,7,2),(1,4,3)，则34(Ａ).A.(8,37,18)B.(-8,37,18)C.(8,-37,18)D.(8,37,-18)解析：34３（４，７，２）＋４（－１，４，３）＝（１２，２１，６）＋（－４，１６，１２）＝（８，３７，１８）2.（选择题２）设向量(1,0,2,3),(1,1,1,0)，则23(Ａ).A.(-1,3,7,6)B.(1,3,6,7)C.(2,0,7,6)D.(-1,3,-7,6)解析：23２（１,０,２,３）＋３（－１,１,１,０）＝（２,０,４,６）＋（－３,３,３,０）＝（－１,３,７,６）３.（证明题１）设向量组123,,线性无关，证明：向量组1223312,,也线性无关.解：令ｋ１（α１＋２α２）＋ｋ２（α２－α３）＋ｋ３(α３＋α１)＝０，整理的：(ｋ１＋ｋ３)α１＋(２ｋ１＋ｋ２)α２＋(－ｋ２＋ｋ３)α３＝０，由123,,线性无关，所以{ｋ１＋ｋ３＝０２ｋ１＋ｋ２＝０－ｋ２＋ｋ１＝０，解得ｋ１＝ｋ２＝ｋ３＝０故1223312,,线性无关．４.（选择题５）向量组12,和向量组23,均线性无关，则向量组123,,(Ｄ).A.一定线性相关B.一定线性无关C.不能由31,线性表出D.既可以线性相关也可以线性无关５.（选择题１０）设A是n阶方阵，且|A|=0，则下列命题成立的是(Ｃ).A.A中必有某一行向量为零向量B.A中每一行向量可以由其余行向量线性表出C.A中存在某一行向量可以由其余行向量线性表出D.A中每一行向量都不能由其余行向量线性表出６、（选择题１２）若向量组12,,,s线性相关，则向量组中可由其余向量线性表示.(Ｃ).A.每一向量不B.每一向量C.存在一个向量D.仅有一个向量第四章线性方程组１.（选择题３）设n个未知量的齐次线性方程组的方程个数mn，则一定有(Ｂ).A.方程组无解B.方程组有解C.方程组有唯一解D.方程组有无穷多解２、（填空题７）n元齐次线性方程组oAx的系数矩阵A的秩rn，则oAx的基础解系所含解向量的个数是____ｎ－ｒ___．3.（计算题1的(1）求出下面齐次线性方程组的一个基础解系，并表示出其通解.123412341234030230xxxxxxxxxxxx；解：对系数矩阵初等行变换得：A=(1−11−11−1−11−21−33)→(1−10001000−1−20)与原方程组同解的方程组：{𝑥1=𝑥2+𝑥4𝑥3=2𝑥4,𝑥2,𝑥4为自由未知量令(𝑥2𝑥4)分别取(10)，(01)，得基础系数为𝜉1=(1100)，𝜉2=(1021)通解为𝑘1𝜉1+𝑘2𝜉2=𝑘1(1,1,0,0)𝑇+𝑘2(1,0,2,1)𝑇,𝑘1,𝑘2为任意常数.4.（计算题1的(2)）求出下面齐次线性方程组的一个基础解系，并表示出其通解125123345000xxxxxxxxx　　　　　　　　　　　　　　解：对系数矩阵实施初等变换得：A=(11011−1001010011)→(110001000010110)与原方程组同解的方程组：{𝑥1=−𝑥3−𝑥5𝑥3=−𝑥5𝑥4=0,𝑥2,𝑥5为自由未知量令(𝑥2𝑥5)分别取(10)，(01).得基础解系：𝜉1=(−1,1,0,0,0)𝑇,𝜉2=(−1,0,−1,0,1)𝑇通解为：𝑘1𝜉1+𝑘2𝜉2=𝑘1(−1,1,0,0,0)𝑇+𝑘2(−1,0,−1,0,1)𝑇,𝑘1,𝑘2为任意常数.5.（计算题2.(1)）求出下面非齐次线性方程组的通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示).123231232432232263xxxxxxxx；解：对增广矩阵实施初等行变换的：𝐴̅=(124022226333)→(1020110000320)得到同解方程组：{𝑥1=−2𝑥3𝑥2=32−𝑥3,𝑥3是自由未知量.令𝑥3=0，得方程组的一个特解：(0,32,0)𝑇与导出组同解的方程组为：{𝑥1=−2𝑥3𝑥2=−𝑥3，𝑥3是自由未知量.令𝑥3=1，得导出组的基础解系：(−2,−1,1)𝑇故方程组的通解为(0,32,0)𝑇+k(−2,−1,1)𝑇,k为任意实数.6.（计算题3）已知齐次线性方程组1231231230200xxxxxxaxxx，当a为何值时，方程组只有零解？又在何时有非零解？在有非零解时，求出其通解(要求用基础解系表示)．解：对方程组的增广矩阵实施初等行变换的𝐴̅=(111121𝑎11000)→(101010001−𝑎000)当a≠1时，r=n,方程组只有零解；当a=0时，r=2n=3,方程组有非零解，此时，同解方程组为：{𝑥1=−𝑥3𝑥2=0,𝑥3是自由未知量.令𝑥3=1,得基础解系：(−1,0,1)𝑇.第五章特征值与特征向量1.（选择题1）设1302A,则矩阵A的特征值为(C).A.2，2B.2，0C.1，2D.2，-32.（选择题2）设二阶矩阵A的特征值为1，2，则2A的特征值为(D).A.-2，2B.2，0C.1，2D.2，43.（选择题3）设2302A，则A2的特征值为(C).A.122B.122C.124D.1244.（选择题6）设三阶矩阵A的特征值为1，-1，2，则|A|=(A).A.-2B.2C.4D.05.（计算题1）设1205A，求B=A2-A+2E所有的特征值.解：因为|𝜆𝐸−𝐴|=|𝜆−1−20𝜆−5|=(𝜆−1)(𝜆−5)=0所以A的特征值为1,5由B=A2-A+2E得，B的特征值为2,226.（证明题1）若A与B是相似的两个方阵，证明kA与kB相似(k1的整数).证：因为A~B所以存在可逆矩阵P，使得𝑷−𝟏𝑨𝑷=𝑩从而(𝑷−𝟏𝑨𝑷)𝒌=𝑩𝒌,𝑷−𝟏𝑨𝒌𝑷=𝑩𝒌即𝑨𝒌~𝑩𝒌7.（证明题2）设方阵A满足A2=A，且A与B相似，证明：B2=B.证:因为A~B所以存在可逆矩阵P，使得𝑷−𝟏𝑨𝑷=𝑩两边平方:𝑩𝟐=(𝑷−𝟏𝑨𝑷)𝟐=𝑷−𝟏𝑨𝟐𝑷=𝑷−𝟏𝑨𝑷=𝑩第六章实二次型1.（选择题1）二次型22121236xxxx的矩阵是(C).A.1113B.1234C.1333D.15132.（选择题2）二次型221231122(,,)22fxxxxxxx的矩阵为(C).A.2111B.2221C.210110000D.2202100003.（选择题3）下列矩阵不是某二次型的矩阵是(B).A.2111B.2231C.000011012D.0000120224.（证明题1）设A为正定矩阵，B为同阶半正定矩阵，证明：A+B为正定矩阵.证：因为A为正定矩阵，B为同阶半正定矩阵，由定义知：对于任意非零向量x,都有𝒙𝑻A𝒙0,𝒙𝑻B𝒙≥0.从而𝒙𝑻（A+B）𝒙=𝒙𝑻A𝒙+𝒙𝑻B𝒙0所以A+B为正定矩阵5.（证明题2）设A为任意实可逆矩阵，证明：ATA与AAT均为正定矩阵.证:对于任意非零向量𝑥,𝑥𝑇𝐴𝑇𝐴𝑥=(𝐴𝑥)𝑇𝐴𝑥因为A可逆，所以𝑥≠0时，𝐴𝑥≠0，从而(𝐴𝑥)𝑇𝐴𝑥0.ATA为正定矩阵.同理可证，AAT也为正定矩阵.6.（证明题3）证明：n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是存在可逆矩阵P，使得A=PTP.证：必要性：若对称矩阵A正定，则A与单位矩阵E合同，即存在可逆矩阵Q，使得𝑄𝑇𝐴𝑄=𝐸,从而，A=(𝑄𝑇)−1𝑄−1=(𝑄−1)𝑇𝑄−1令P=𝑄−1，则P可逆，且A=PTP.充分性：若存在可逆矩阵P，使得A=PTP，则对任意非零向量𝒙，都有P𝒙≠𝟎，从而，𝑥𝑇𝐴𝑥=𝑥𝑇𝑃𝑇𝑃𝑥=(𝑃𝑥)𝑇𝑃𝑥0.即A为正定矩阵.