线性代数 第七章

1第七章λ矩阵§1λ-矩阵的概念前面我们介绍的矩阵，它的元素都是一个数，这种矩阵也可称作数字矩阵，下面给出λ-矩阵的定义.定义1设()(1,2,,;1,2,,)ijaimjn均为λ的多项式，那么以()ija为元素的m×n矩阵111212122212()()()()()()()()()()nnmmmnaaaaaaaaaA(7.1)称为λ矩阵或多项式矩阵.显然，数字矩阵是特殊的λ矩阵.λ矩阵的加法、数乘和乘法与数字矩阵的运算相同，并且具有相同的运算规律，这些不再重复叙述和证明.由于λ矩阵的每一个元素都是λ的多项式，所以任何λ-矩阵（7.1)可以惟一地表成以数字矩阵为系数的λ的多项式1110()llllAAAAA其中01,,,iAAA均为m×n数字矩阵.例1设22212(),2231A则A（λ）可以写成2111112().022301A定义2如果λ矩阵A（λ）中有一个r（r≥1）阶子式不为零，而所有r+1阶子式（假若有的话）全为零，则称A（λ）的秩为r.零矩阵的秩规定为0.例如，数字矩阵A=（aij）n×n的特征矩阵λE-A的秩是n，因为|λE-A|≠0.定义3对于n阶λ矩阵A（λ），如果有一个n阶λ矩阵B（λ），使得A(λ)B(λ)=B(λ)A(λ)=En,（7.2）则称A(λ)是可逆的，此时B(λ)就称为A(λ)的逆矩阵，记为A1(λ).关于λ矩阵可逆的条件有定理1n阶λ矩阵A(λ)可逆的充分必要条件为它的行列式|A(λ)|2是一个非零的常数.证明先证必要性.设A(λ)可逆，则在（7.2）式两边取行列式得|A（λ）|·|B（λ）|=1.因为|A（λ）|与|B（λ）|都是λ的多项式，并且它们的乘积等于1，所以它们都是零次多项式，此即|A（λ）|是一个非零的数.再证充分性.设d=|A（λ）|是一个非零常数，A*（λ）是A（λ）的伴随矩阵，它也是一个n阶λ矩阵，有**11()()()(),2ndAAAAE故A（λ）可逆，且A1（λ）=1dA*(λ).例2λ矩阵222213(),35413(),3254AB中，A(λ)是可逆的，但B（λ）不可逆.这是因为|A（λ）|=4,|B（λ）|=-2(λ+1).§2λ-矩阵的标准型定义4下列三种变换称为λ-矩阵的初等变换：(1)互换矩阵的某两行（列）.(2)用非零的数c乘矩阵的某一行（列）.(3)把矩阵中某一行（列）的φ(λ)倍加到另一行（列）上，其中φ(λ)是一个λ的多项式.由单位矩阵En经过一次上述初等变换得到的λ矩阵称为初等矩阵.与数字矩阵的讨论相类似，用E（i,j）,E(i(c)),E(i+j(φ))分别表示由单位矩阵En互换i,j两行（列）；第i行（列）乘以非零常数c；第j行（i列）的φ(λ)倍加到第i行（j列）上所得到的初等矩阵.我们有结论：（A）初等矩阵都是可逆的，并且E（i,j）1=E(i,j),E(i(c))1=E(i(c1)),E(i+j(φ))1=E(i+j(-φ)).(B)对一个λ矩阵A（λ）作一次初等行（列）变换，相当于A（λ）左（右）乘一个相应的初等矩阵.定义5如果λ矩阵A（λ）经过有限次初等变换而化为B（λ)，则称A（λ）与B（λ）等价，记为A（λ）B（λ）.定理2两个λ矩阵A（λ）与B（λ）等价的充分必要条件是存在可逆矩阵P（λ）和Q（λ），使得B（λ）=P（λ）A（λ）Q（λ）.证明由定义5及（B）知,A（λ）与B（λ）等价的充分必要条件是存在一系列初等矩阵P1，P2，…，Ps与Q1，Q2，…，Qt，使得B（λ）=PsP2…P1A（λ）Q1Q2…Qt3令P（λ）=PsP2…P1，Q（λ）=Q1Q2…Qt，因为初等矩阵都是可逆的，它们的乘积还是可逆的，所以P（λ）和Q（λ）均为可逆的，故定理得证.由（A），（B），容易证明，λ矩阵的等价关系具有下列性质：(1)自反性每一个λ矩阵与自己等价.(2)对称性若A（λ）B（λ），则B（λ）A（λ）.(3)传递性若A（λ）B（λ），且B（λ）C（λ），则A（λ）C（λ）.λ矩阵具有多种形式的标准型，在这里我们只介绍其中最基本的一种，即施密斯标准型.为此先证明一个引理.引理若λ矩阵A（λ）=（aij(λ)）m×n的左上角元素a11（λ）≠0，并且A（λ）中至少有一个元素不能被a11（λ）整除，则必存在一个与A（λ）等价的矩阵B（λ），它的左上角元素B11（λ）也不为零，且b11（λ）的次数小于a11（λ）的次数.证明根据A（λ）中不能被a11（λ）整除的元素所处位置，分三种情况讨论.（1）若A(λ)的第一列有一个元素ai1(λ)不能被a11（λ）整除，则用a11（λ）去除ai1（λ）可得ai1（λ）=q（λ）a11（λ）+r（λ），这里r（λ）(≠0)的次数小于a11（λ）的次数.此时111(())(1,)11()()()()()()riqriarraAB上面右端矩阵B（λ）即为所求.（2）若A(λ)的第一行有一个元素a1j(λ)不能被a11(λ)整除，则这种情况的证法与情况（1）类似.（3）若A(λ)中第一行与第一列的元素都能被a11(λ)整除，但A(λ)中另有元素aij(λ)(i1,j1)不能被a11(λ)整除.此时可设ai1(λ)=a11(λ)φ(λ)，则有1111()111111()()()0()()()()()()(1())()0()()()jriijjijjriijjaaaaaaaaaAM上面右端矩阵M(λ)中第一行有一个元素aij(λ)+a1j(λ)(1-φ(λ))=f(λ)不能被a11(λ)整除，这就化到了已经证明的情况（2）.定理3任一非零的m×n的λ-矩阵A(λ)都等价于一个如下形式的矩阵：412()()()()00rmndddJ(7.3)其中r≥1,di(λ)(i=1,2,…,r)均为首项系数为1的多项式，且1()();1,2,,1.iiddir证明不妨设a11(λ)≠0，否则总可以经过适当的行、列交换，使得A(λ)的左上角元素不为零.如果a11(λ)不能整除A(λ)的所有元素，由引理，可以找到与A(λ)等价的矩阵B1(λ)，它的左上角元素b1(λ)≠0，且b1(λ)的次数小于a11(λ)的次数.如果b1(λ)还不能整除B1(λ)的所有元素，再由引理，可以找到与B1(λ)等价的矩阵B2(λ)，它的左上角元素b2(λ)≠0，且b2(λ)的次数小于b1(λ)的次数.如此作下去，将会得到一系列彼此等价的λ-矩阵A(λ),B1(λ),B2(λ),….这些矩阵的左上角元素均不为零，而且次数越来越低.由于非零多项式的次数总是非负整数，因此在有限步后，必将得到一个λ矩阵Bs(λ)，它的左上角元素bs(λ)≠0，且bs(λ)能整除Bs(λ)的所有元素.可设bij(λ)=bs(λ)qij(λ)，此时，对Bs(λ)作一些适当的初等变换，可使得除左上角元素外它的第一行与第一列的其他元素全为零，即1()000()()0sibBA显然，A1(λ)的元素都是Bs(λ)中元素的组合，而bs(λ)能整除Bs(λ)的所有元素，所以bs(λ)也能整除A1(λ)的所有元素.如果A1(λ)≠0，则对于A1(λ)重复上述过程，进而可把矩阵化为121()000()0()00ddA其中d1(λ),d2(λ)都是首项系数为1的多项式，且d1(λ)|d2(λ)(因d1(λ)=bs(λ)能整除A1(λ)的所有元素)，d2(λ)能整除A2(λ)的所有元素.如此一直做下去，最后终将A（λ）化为所要求的形式.（7.3）式中的J（λ）称为A（λ）的施密斯标准型.例3求λ-矩阵2222121()11A5的施密斯标准型.解对A(λ)作初等变换：2213312222,,21(2131()3(1)2223222232()223121121()0011010100000010000A32(1)31000000上式最后一个矩阵就是所求的施密斯标准型.§3λ-矩阵的不变因子定义6设λ矩阵A(λ)的秩为r≥1,k是不大于r的正整数，那么A(λ)中所有k阶子式的首项系数为1的最大公因式Dk(λ)称为A(λ)的k阶行列式因子.由定义6知，一个秩为r（≥1）的λ矩阵有且仅有r个行列式因子.关于行列式因子有下面重要结论.定理4等价的λ矩阵具有相同的秩和相同的各阶行列式因子.证明我们只需证明，经过一次初等变换后λ矩阵的秩和行列式因子是不变的.设λ矩阵A(λ)经过一次初等变换变成B（λ），f(λ)与g(λ)分别是A(λ)与B（λ）的k阶行列式因子.下面分三种情况证明f(λ)=g(λ).（1）A(λ)[,]ijB（λ）.这时B（λ）的任一k阶子式或者等于A(λ)的某一个k阶子式，或者与A(λ)的某一个k阶子式反号，因此f(λ)是g(λ)的因式，即f(λ)|g(λ).（2）A(λ)[()]icB（λ）(c≠0).这时B（λ）的任一k阶子式或者等于A(λ)的某一个k阶子式,或者等于A(λ)的某一个k阶子式的c倍，因此f(λ)是g(λ)的因式，即f(λ)|g(λ).（3）A(λ)[()]ijB（λ）.这时B（λ）中那些包含i行与j行的k阶子式和不包含i行的k阶子式都等于A(λ)中对应的k阶子式，而B（λ）中那些包含i行但不包含j行的k阶子式，恰好等于A(λ)中对应的k阶子式与另一个k阶子式的φ(λ)倍之和，因此f(λ)是g(λ)的因式，即f(λ)|g(λ).对于列变换可以完全一样地讨论.于是经过一次初等变换将A(λ)变成B（λ），总有f(λ)|g(λ).由于初等变换具有可逆性，所以B（λ）也可以经过一次初等变换变成A(λ)，同样也有g(λ)|f(λ)，故f(λ)=g(λ).根据上述讨论和秩的定义可知，A(λ)与B（λ）既有相同的各阶行列式因子，又有相同的秩.设A(λ)的Smith标准型为(7.3),则A(λ)J（λ）.由定理4得A(λ)的各阶行列式因子为61121212()(),()()(),,()()()(),rrddddddDDD（7.4）于是有112211()(),()(),,()()(),()rrrddddDDDD（7.5）这表明任一λ矩阵的施密斯标准型是惟一的.定义7在A(λ)的施密斯标准型（7.3)中，多项式d1(λ),d2(λ),…,dr(λ)称为A(λ)的不变因子.关系式(7.4)或(7.5)给出了A(λ)的不变因子与行列式因子的关系，其不变因子完全由行列式因子所惟一确定，它们都是在初等变换下A(λ)的不变量.于是得到定理5A(λ)B（λ）的充分必要条件是A(λ)与B(λ)有相同的行列式因子，或者说有相同的不变因子.例4在例3中，A(λ)的不变因子为d1(λ)=1,d2(λ)=λ,d3(λ)=λ(λ2+1).A(λ)的行列式因子为D1