线性代数 第六章

1*第六章线性空间与线性变换在第三章中，我们把n元有序数组叫做n维向量，讨论了向量的许多性质，并介绍过向量空间的概念.在这里，我们把这些概念推广，使向量及向量的概念更具一般性、更加抽象化.§１线性空间的定义与性质定义1设V是一个非空集合，R为实数域，如果对于任意两个元素,∈V，总有惟一的一个元素∈V与之对应，称为与的和，记作；对于任一数k∈R与任一元素∈V，总有惟一的一个元素∈V与之对应，称为k与的积，记为＝k；并且这两种运算满足以下八条运算规律(对任意,,∈V;k,∈R)：(1);(2)()()；(3)在V中有一个元素0(叫做零元素)，使对任何∈V，都有+0＝；(4)对任何∈V，都有V中的元素，使=0(称为的负元素)；(5)1＝；(6)k()＝（k）；(7)(k+)＝k＋；(8)k()＝k+k.那么，V就称为R上的向量空间(或线性空间)，V中的元素称为(实)向量(上面的实数域R也可为一般数域).简言之，凡满足上面八条运算规律的加法及数量乘法称为线性运算；凡定义了线性运算的集合称为向量空间(或线性空间).注意：向量不一定是有序数组；向量空间V对加法与数量乘法(数乘)封闭；向量空间中的运算只要求满足八条运算规律，不一定是有序数组的加法及数乘运算.例1实数域R上次数不超过n的多项式的全体，我们记作P［x］n，即P［x］n＝｛anxn+…+a1x０＋a0｜an,an-1,…，a１，a０∈R｝.对于通常的多项式加法、多项式数乘构成R上的向量空间.例2实数域R上n次多项式的全体，记作W，即W＝｛anxn+an-1xn-1+…+a1x+a０｜an,an-1，…，a１，a０∈R，且an≠0｝.W对于通常的多项式加法、多项式数乘不构成R上的向量空间.因为0(anxn+an-1xn-1+…+a１x０＋a０)＝0W，即W对数乘不封闭.2例3全体实函数，按函数的加法、数与函数的乘法，构成R上的线性空间.例4n个有序实数组成的数组的全体Sn=｛x=(x1，x2，…，xn)｜x1，x2，…，xn∈R｝对于通常的有序数组的加法及如下定义的数乘k·(x1，x2，…，xn)＝(0,0,…,0)不构成R上的向量空间，因为1x=0，不满足运算规律(5).例5正实数的全体，记作R＋，定义加法、数乘运算为ab=ab(a,b∈R＋)，k·a=ak（k∈R,a∈R+）.验证R+对上述加法与数乘运算构成R上的线性空间.证实际上要验证十条.对加法封闭：对任意a,b∈R＋，有ab＝ab∈R＋；对数乘封闭：对任意k∈R,a∈R＋，有k·a＝ak∈R＋；(1)ab=ab=ba=ba;(2)(ab)c＝(ab)c＝(ab)c＝a(bc)＝a(bc)；(3)R＋中的元素1满足：a1＝a·1＝a(1叫做R＋的零元素)；(4)对任何a∈R＋，有aa－１＝a－１＝１（a－1叫做a的负元素）；(5)1·a＝a1＝a;(6)k·(λ·a)＝k·(a)k＝ka＝（k）·a；(7)(k+λ)·a=()ka＝kaa=kaa=k·aλ·a；(8)k·(ab)=k·(ab)=(ab)k=akbk=akbk=k·ak·b.因此，R＋对于上面定义的运算构成R上的线性空间.下面我们直接从定义来证明线性空间的一些简单性质.性质1零元素是惟一的.假设01，02是线性空间V中的两个零元素，即对任何∈V，有+01=,+02＝，于是特别有02+01=02,01+02=01,故01=01+02=02+01=02.性质2任一元素的负元素是惟一的(的负元素记作-).假设有两个负元素与，即＝0，＝0.于是()().00性质30＝0；（－1）＝－；k0＝0.因为＋0＝1＋0＝（1+0）＝1＝，所以0＝0+0＝（－＋）＋0＝－+(＋0)＝－＋＝0又因为＋（－1）＝1+（－1）=［1+(－1)］＝0＝0，所以(－1)=0＋（－1）＝（－＋）＋（－1）＝－＋［＋（－1）］＝－＋0＝－;而k0=k［＋（－1）］＝k＋（－k）＝［k+(-k)］＝0＝0.性质4如果k＝0，那么k＝0或者＝0.假设k≠0，那么3＝1＝(1k·k)=1k(k)＝1k0＝0.在第三章子空间的概念可推广到一般线性空间中.定义2R上线性空间V的一个非空子集合W如果对于V的两种运算也构成数域R上的线性空间，称W为V的线性子空间(简称子空间).一个非空子集要满足什么条件才构成子空间?因为W是V的一部分，V中运算对W而言，规律(1)，(2)，(5)，(6)，(7)，(8)显然被满足，因此只要W对运算封闭且满足规律(3)(4)即可，但由线性空间的性质3知，若W对运算封闭，则能满足规律(3)(4)，因此有定理1线性空间V的非空子集W构成V的子空间的充分必要条件是W对于V中的两种运算封闭.例6在全体实函数组成的线性空间中，所有实系数多项式组成V的一个子空间.§2维数、基与坐标在第三章，我们讨论了n维数组向量之间的关系，介绍了一些重要概念，如线性组合、线性相关与线性无关等，这些概念及有关性质只涉及线性运算，因此，对于一般的线性空间中的元素(向量)仍然适用，以后我们将直接引用这些概念和性质.基与维数的概念同样适用于一般的线性空间.定义3在线性空间V中，如果存在n个元素1,2,…,n，满足：(1)1,2,…,n线性无关.(2)V中任一元素都可由1,2,…,n线性表示，那么，1,2,…,n就称为线性空间V的一个基，n称为线性空间V的维数.维数为n的线性空间称为n维线性空间，记作Vn.如果在V中可以找到任意多个线性无关的向量，那么V就称为无限维的.若知1,2,…,n为V的一个基，则对任何∈Vn，都有一组有序数x1,x2,…,xn使=x11+x22+…+xnn，并且这组数是惟一的(否则1,2,…,n线性相关).反之，任给一组有序数x1,x2,…,xn，可惟一确定Vn中元素=x11+x22+…+xnn.这样，Vn的元素与有序数组(x1,x2,…,xn)之间存在着一种一一对应，因此可用这组有序数来表示，于是我们有定义4设1,2,…,n是线性空间Vn的一个基，对于任一元素∈Vn，有且仅有一组有序数x1,x2,…,xn使=x11+x22+…+xnn，x1,x2,…,xn这组有序数就称为在基1,2,…,n下的坐标，记作(x1,x2,…,xn).例7在线性空间P［x］3中，1＝1，2＝x，3＝x2，4＝x3就是P［x］3的一个基，P［x］3的维数是4，P［x］3中的任一多项式f(x)＝a3x3+a2x2＋a1x＋a0可写成f(x)=a34＋a23＋a12＋a01，因此f(x)在基1，2，3，4下的坐标为(a0，a1，a2，a3).易见1＝1，2＝1＋x;3＝2x2，4＝x3也是P［x］3的一个基，而4f(x)=(a0－a1)1＋a12＋22a2＋a34，因此f(x)在基1，2，3，4下的坐标为(a0－a1，a1，22a，a3).取定Vn的一个基1,2,…,n，设,∈Vn，＝x11＋x22＋…＋xnn，＝y11＋y22＋…＋ynn,于是=（x1＋y1）1＋(x2＋y2)2＋…＋(xn+yn)n，k＝(kx1)1＋(kx2)2＋…＋(kxn)n.即的坐标是(x1＋y1，x2＋y2，…，xn+yn)＝（x1，x2，…，xn）+(y1，y2，…，yn)，k的坐标是(kx1，kx2，…，kxn)＝k(x1，x2，…，xn).总之，在线性空间Vn中取定一个基1,2,…,n，则Vn中的向量与n维数组向量空间Rn中的向量(x1,x2,…,xn)之间有一个一一对应的关系，且这个对应关系保持线性组合的对应，即设(x1,x2,…,xn),(y1，y2，…，yn).则(1)(x1，x2，…，xn)+(y1，y2，…，yn)；(2)kk(x1，x2，…，xn).由上面所述，我们可以说Vn与Rn有相同的结构，称Ｖn与Rn同构.一般地，设V与U是R上的两个线性空间，如果在它们的元素之间有一一对应关系，且这个对应关系保持线性组合的对应，那么就说线性空间V与U同构.易见，同构关系具有传递性，我们有定理2R上的两个有限维线性空间同构当且仅当它们的维数相等.同构主要是保持线性运算的对应关系，因此，Vn中的线性运算就可转化为Rn中的线性运算，并且Rn中凡只涉及线性运算的性质都适用于Vn，但Rn中超出线性运算的性质，在Vn中就不一定具备，如内积.§3基变换与坐标变换事实上，n维线性空间中，任意n个线性无关的向量都可以取做空间的基，由例7可见，同一元素在不同的基下有不同的坐标，那么，不同基与不同的坐标之间有怎样的关系呢?设1,2,…,n及1,2,…,n是线性空间Vn的两个基，且511112121212122221122,,.nnnnnnnnnnccccccccc(6.1)(6.1)式可表为111212122211111211(,,,)(,,,)(,,,).nnnnnnnnncccccccccC(6.2)(6.1)和(6.2)称为基变换公式，矩阵C称为由基1,2,…,n到基1,2,…,n的过渡矩阵，C一定是可逆矩阵.定理3设Vn中的元素在基1,2,…,n下的坐标为(x1，x2，…，xn)，在基1,2,…,n下的坐标为12(,,,)nxxx，若两个基满足(6.2)，则有坐标变换公式111122221,.nnnnxxxxxxxxxxxxCC或(6.3)证因112212121212(,,,)(,,,)(,,,)nnnnnnxxxxxxxxxC而1,2,…,n线性无关，故即有关系式(6.3).例8在例7中，我们有1234123411000100(,,,)(,,,),002000016111100110001000100,10020000200010001C故121122233344411000100.11000220001xxxxxxxxxxxxx这与例7所得的结果是一致的.§4线性变换定义5设A、B是两非空集合，如果对于A中的任一元素，按照一定的法则，总有B中的一个确定的元素与之对应，那么这个法则称为从集合A到集合B的映射.如果A＝Ｂ，A到A的映射称为A的变换.映射常用表示，A的变换常用T表示.A到B的映射使B中的与Ａ中的对应，就记＝()或＝，此时，β称为在映射下的像，称为在下的原像，的像的全体构成的集合称为的像集，记作(A)，即(A)＝｛()｜∈A｝.映射的概念是函数概念的推广.例9设A＝R,B＝R＋,(x)＝x2＋３是R到R＋的一个映射，它把x映射到x2＋3，7是2在下的像.定义6设U，V是R上的两个线性空间，是V到U上的一个映射，如果满足(1)，∈V,(+)＝()+()；(2)k∈R，∈V，(k