第10章 线性回归模型的自相关问题

计量经济学讲义1安徽大学经济学院线性回归模型的自相关问题程建华2020年3月9日安徽大学经济学院计量经济学讲义计量经济学讲义2安徽大学经济学院10.1一元线性回归分析－回归的假定条件(无自相关)假定5无自相关假定，即两个误差项之间不相关。Cov（ui,uj）=0(10.1)正相关负相关不相关ujuiujuiujui无自相关的含义：意味着任一观察值的扰动项不受其它观察值扰动项的影响。计量经济学讲义3安徽大学经济学院10.2自相关产生的原因1.经济时间序列的惯性(inertia)或迟缓性(sluggishness)特征。2.模型适定误差。有些自相关并不是由于连续观察值之间相关产生的，而是因为回归模型不是适定性的“好”模型。“不好模型”有多种原因。3.蛛网现象(thecobwebphenomenon)。一个变量对另一个变量的反映不是同步的，时滞一定的时间。商品供给对价格的反映：St＝B1＋B2*Pt-1＋ut(10.2)4.数据处理。在做季节因素的调整时，经常要做移动平均。移动平均的处理可以消除季节波动的影响，但带来新的问题则是产生了自相关。计量经济学讲义4安徽大学经济学院10.3自相关产生的后果1.最小二乘估计量仍然是线性的和无偏的。2.最小二乘估计量不是有效的，即OLS估计量的方差不是最小的，估计量不是最优线性无偏估计量(BLUE)。3.OLS估计量的方差是有偏的。用来计算方差和OLS估计量标准误的公式会严重的低估真实的方差和标准误，从而导致t值变大，使得某个系数表面上显著不为零，但事实却相反。4.t检验和F检验不是可信的。5.计算得到的误差方差σ2＝RSS/d.f.（残差平方和/自由度）是真实σ2的有偏估计量，并且很可能低估了真实的σ2。6.计算的R2也不能真实的反映实际R2。7.计算的预测方差和标准误差通常是无效的。计量经济学讲义5安徽大学经济学院10.4自相关的诊断如何知道回归方程存在自相关？由于无法知道误差方差σ2的真实值，因为真实的ui无法观察到的，与异方差一样，仅仅知道残差ei。需要根据从OLS方法得到的ei判断是否存在自相关。方法1：图形法方法2：Dubin-Watsond检验法计量经济学讲义6安徽大学经济学院10.4自相关的诊断－图形法将残差对时间作时序图（time-sequenceplot）。例10.1美国商业部门真实工资与生产率的关系(1959-2002)5060708090100110120405060708090100110120130PRODUCTWAGES计量经济学讲义7安徽大学经济学院10.4自相关的诊断－图形法将残差对时间作时序图（time-sequenceplot）。例10.1美国商业部门真实工资与生产率的关系(1959-2002)Wages=29.575+0.7006*Product(10.2)se=(1.460515)(0.017122)t=(20.24968)(40.91818)p=(0.00000)(0.00000)F=1674.298(0.00000)R2=0.975529计量经济学讲义8安徽大学经济学院10.4自相关的诊断－图形法例10.1美国商业部门真实工资与生产率的关系(1959-2002)计量经济学讲义9安徽大学经济学院10.4自相关的诊断－图形法例10.1美国商业部门真实工资与生产率的关系(1959-2002)从图形可以看出残差具有明显的系统特征，即明显的变化规律。计量经济学讲义10安徽大学经济学院10.4自相关的诊断－图形法例10.1美国商业部门真实工资与生产率的关系(1959-2002)E1=et,E11=et-1e1=0.872613*e11se=(0.071014)t=(12.26511)p=(0.0000)R2=0.781227回归模型存在着明显的自相关性。计量经济学讲义11安徽大学经济学院10.5自相关的诊断－Durbin-Watsond检验法Durbin-Watsond统计量可以用来诊断回归模型的自相关nttnttteeed12221)(即逐次残差的平方和与残差平方和的比值。D统计量的样本容量为n－1。注意：Durbin-Watsond检验量是诊断自相关常用的检验工具，必须掌握。(10.3)计量经济学讲义12安徽大学经济学院10.5自相关的诊断－图形法例10.1美国商业部门真实工资与生产率的关系(1959-2002)计量经济学讲义13安徽大学经济学院10.5自相关的诊断－Durbin-Watsond检验法1ˆ1,ˆ40),ˆ1(2)(122112221nttntttnttnttteeeddeeed(10.3)(10.4)(10.5)如果d接近0，则存在正相关；d接近4，则存在负相关；d接近2，表示不存在相关。计量经济学讲义14安徽大学经济学院10.5自相关的诊断－Durbin-Watsond检验法d统计量诊断自相关需要一定的假设条件，不是任意可用的：1.回归模型包括一个截距项。因此，d统计量无法判断通过原点的回归模型的自相关问题。2.变量X是非随机变量，即在重复抽样中变量X的值是固定不变的。3.扰动项ui的生成机制是：11,*1tttvuu(10.6)(10.6)表明t期的扰动项或误差项与t－1期值和一个纯随机项vt有关。ρ度量了对前期值的依赖程度，称为自相关系数，介于－1和1之间。(10.6)称为马尔可夫一阶自回归过程(Markovfirst-orderautoregressivescheme),通常记为AR(1)过程。计量经济学讲义15安徽大学经济学院10.5自相关的诊断－Durbin-Watsond检验法d统计量诊断自相关需要一定的假设条件，不是任意可用的：4.解释变量中不包含因变量的滞后值。该检验对下面的模型是不适用的：ttttuYBXBBY1321**(10.7)(10.7)中Yt－1是因变量Y的一期滞后值。形如(10.7)的回归方程称为自回归模型(autoregressivemodels)——变量对其滞后一期值的回归。计量经济学讲义16安徽大学经济学院10.5自相关的诊断－Durbin-Watsond检验法尽管d检验应用的非常广泛，但是它具有一定的缺陷，因为d落入某个范围，存在无法判断的情况。零假设判断如果（条件）无正自相关拒绝0ddL无正自相关无法判断dL=d=dU无负自相关拒绝4-dLd4无负自相关无法判断4-dU=d=4-dL无正或负自相关接受dUd4-dUDurbin-Watsond检验：判定规则注意：下临界值dL与上临界值dU与观察值个数n和解释变量的个数k有关。Durbin-Watson给出了1％和5％显著水平下的D－W表。k最大可达20。计量经济学讲义17安徽大学经济学院10.5自相关的诊断－Durbin-Watsond检验法Durbin-Watsond检验：判定规则O4dLdU4-dU4-dL零假设判断如果（条件）无正自相关拒绝0ddL无正自相关无法判断dL=d=dU无正或负自相关接受dUd4-dU无负自相关无法判断4-dU=d=4-dL无负自相关拒绝4-dLd4计量经济学讲义18安徽大学经济学院10.5自相关的诊断－Durbin-Watsond检验法Durbin-Watsond检验：判定规则O4dLdU4-dU4-dL零假设判断如果（条件）无正自相关拒绝0ddL无正自相关无法判断dL=d=dU无正或负自相关接受dUd4-dU无负自相关无法判断4-dU=d=4-dL无负自相关拒绝4-dLd4计量经济学讲义19安徽大学经济学院10.5自相关的诊断－Durbin-Watsond检验法Durbin-Watsond检验：判定规则O4dLdU4-dU4-dL零假设判断如果（条件）无正自相关拒绝0ddL无正自相关无法判断dL=d=dU无正或负自相关接受dUd4-dU无负自相关无法判断4-dU=d=4-dL无负自相关拒绝4-dLd4计量经济学讲义20安徽大学经济学院10.5自相关的诊断－Durbin-Watsond检验法Durbin-Watsond检验：判定规则O4dLdU4-dU4-dL零假设判断如果（条件）无正自相关拒绝0ddL无正自相关无法判断dL=d=dU无正或负自相关接受dUd4-dU无负自相关无法判断4-dU=d=4-dL无负自相关拒绝4-dLd4计量经济学讲义21安徽大学经济学院10.5自相关的诊断－Durbin-Watsond检验法Durbin-Watsond检验：判定规则O4dLdU4-dU4-dL零假设判断如果（条件）无正自相关拒绝0ddL无正自相关无法判断dL=d=dU无正或负自相关接受dUd4-dU无负自相关无法判断4-dU=d=4-dL无负自相关拒绝4-dLd4计量经济学讲义22安徽大学经济学院10.5自相关的诊断－Durbin-Watsond检验法例10.1美国商业部门真实工资与生产率的关系(1959-2002)从回归模型的Durbin－Watsond检验量可得d＝0.213684，根据D－W表，n＝44，k＝1，在5％显著性水平下，dL＝1.475和dU＝1.566。由于d＝0.213684远低于下临界值dL＝1.475。根据D－W判定规则，在工资－生产率回归模型的残差中存在正的自相关。此与图形法得到的结论一致。计量经济学讲义23安徽大学经济学院10.6自相关问题的解决－广义最小二乘法11,*1tttvuutttuXBBY2111211tttuXBBY11211tttuXBBYtttttvXXBBYY)()1(1211(10.6)(10.8)(10.9)(10.10)(10.11)计量经济学讲义24安徽大学经济学院10.6自相关问题的解决－广义最小二乘法11,*1tttvuu)1(1*11*1**2**1BBXXXYYYvXBBYttttttttt其中，(10.6)(10.12)对变换后的变量Y*和X*使用OLS法，得到的估计量具有BLUE性质。对变化后的模型使用OLS得到的估计量称为广义最小二乘（GLS）。表达式(10.12)称为广义差分方程。计量经济学讲义25安徽大学经济学院10.6自相关问题的解决－广义最小二乘法)1(1*11*1**2**1BBXXXYYYvXBBYttttttttt其中，(10.12)(10.12)式值得注意的是：（1）ρ相当于前期值的倍数。（2）第一个观察值不存在前期值，因而失去一个观察值。为了避免丢失这个观察值，可对第一个观察值做下列变换：)(1)(112*112*1XXYY(10.13)计量经济学讲义26安徽大学经济学院10.6自相关问题的解决－广义最小二乘法值得注意的是：（1）双变量模型可以推广到多变量模型。（2）一阶自回归AR(1)可以推广到多阶自回归，例如AR(2)和AR(3)等。方法一样，但计算量很大。（3）广义最小二乘法的核心是估计乘子ρ的大小。计量经济学讲义27安徽大学经济学院10.7广义最小二乘法中ρ值的三种估计（1）一阶差分法：ρ＝1表示误差项之间是完全正相关。ttttttttvXBYvXXBYY2121)((10.14)Δ是一阶差分算子符号。在估计方程(10.14)时，首先需对因变量和解释变量求差分，然后再对变换后的模型进行回归。注意：一阶差分方程(10.14)的一个重要特征便是模型没有截距。因此，要估计模型(10.14)需要选择通过原点的模型。计量经济学讲义28安徽大学经济学院10.7广义最小二乘法中ρ值的三种估计（2）从Durbin－Watsond统计量中估计ρ21ˆ)ˆ1(2dd则有：(10.15)当样本容量足够大时，这种方法简单，而且可以得到ρ较好的估