第10章 自相关：如果误差项相关会有什么后果

本科教学课件计量经济学基础第10章自相关：如果误差项相关会有什么后果60第10章自相关：如果误差项相关会有什么后果本章主要讲授如下内容：10.1自相关的性质10.2自相关的后果10.3自相关的诊断10.4自相关的补救措施10.1自相关的性质1．定义对于模型：tktktttXBXBXBBY33221如果随机误差项的各期值之间存在着相关关系，即0)(),cov(jijiE，ji，kji,,2,1,这时，称随机误差项之间存在自相关（autocorrelation）或序列相关（serialcorrelation）。最常见的类型是随机误差项之间存在一阶自相关，即0)(),cov(11ttttE或ttt1其中，ρ是μt与μt-1的相关系数，νt是满足经典假设的随机误差项。自相关的一般形式可以表示成tptpttt2211称之为p阶自回归形式，或模型存在p阶自相关。2．判断由于我们无法观察到误差项μt，只能通过残差项et来判断μt的行为。如果残差项et随时间呈现有规律的变化，则表示残差项et存在自相关。否则，不存在自相关。如图10-1所示。本科教学课件计量经济学基础第10章自相关：如果误差项相关会有什么后果613．类型主要有正的自相关和负的自相关两类，如图10-2所示。4．自相关产生的原因（1）经济变量的惯性作用如GDP、就业、货币供给、价格指数等时间序列都呈现出周期性。（2）经济行为的滞后性如投资对其后若干年内经济的影响等。（3）一些随机因素的干扰或影响如战争、自然灾害、错误政策的后果、金融危机等随机因素，不仅对当期经济造成影响，而且对以后若干时期的经济产生影响，反映在模型中即容易形成随机误差序列的自相关。（4）模型设定误差如果模型中遗漏了重要的变量，或选择了不正确的函数形式，则得到的残差会出现自相关。（5）数据的“编造”在实证分析中，有些数据是通过已知数据生成的，如对原始数据进行内插或平滑处理等。如季度数据往往通过月度数据推导而来，这种平滑过程本身可能导致误差项的系统模式，从而引入了自相关。10.2自相关的后果1．参数估计量仍然是线性的、无偏的，但非有效。2．OLS估计量的被估方差是有偏的且会被低估，因而会使相应的t值变大。3．模型的t和F统计检验失效。4．用通常公式（../ˆ22fdei）计算的随机误差项的方差是实际值的有偏估计，且一般会被低估。因为在存在自相关的情况下，可以推导出：]2)22()2[()(212222122ininiiiiiiiXXXXXXXXXneE5．通常计算的R2不是其真实值的准确估计，比实际的要大。本科教学课件计量经济学基础第10章自相关：如果误差项相关会有什么后果626．区间估计与预测区间的精度降低。10.3自相关的诊断1．图示法（1）以时间t为横轴，以残差et为纵轴进行作图，如果et随时间的变化呈现有规律的变化，则et存在自相关。如图10-3所示。（2）绘制et与et-1散点图，如果图形出现系统反映，则误差项et可能存在自相关。如图10-4所示。2．回归检验法以et作为被解释变量，以各种可能的相关量，如et-1、et-2、et2等为解释变量，建立各种方程：tttee1tttee21tttee1tttteee2211对方程进行估计并进行显著性检验，如果存在某一种函数形式，则说明原模型存在自相关。回归检验法的优点是，一旦确定了模型存在序列相关，也就知道了序列相关的形式。本科教学课件计量经济学基础第10章自相关：如果误差项相关会有什么后果633．德宾—沃森检验（Durbin-Watsontest）（1）检验的假设条件①解释变量X为非随机；②随机误差项μt为一阶自相关形式；③解释变量中不含有因变量的滞后值；④回归模型含有截距项。（2）德宾—沃森统计量)1(2)(..12221nttnttteeeWD，其中nttnttteee1221（3）检验自相关性因为ρ的值介于-1和1之间，所以0≤D.W.≤4，而且：①D.W.=0（ρ=1），即存在正自相关性；②D.W.=4（ρ=-1），即存在负自相关性；③D.W.=2（ρ=0），即不存在自相关性。因此，当D.W.的值显著地接近于0或4时，则存在自相关性；而接近于2时，则不存在（一阶）自相关。在具体检验时，只须计算德宾—沃森统计量的值，再根据样本容量n和解释变量数目k查D.W.分布表，得到临界值dL和dU，然后按照下列准则考察D.W.值，以判断模型的自相关状态：D.W.检验的不足之处是，如果D.W.值落入无法判定的区域，那么就不能对自相关做出判断。4．拉格朗日乘数检验（LagrangeMultiplicatorTest,LMTest）它由布劳殊（Breusch）和戈弗雷（Godfrey）于1978年提出，也被称为GB检验。对于模型：tktktttXBXBXBBY33221如果随机误差项μt存在p阶自相关：tptpttt2211这里，νt是满足经典假设的随机误差项。LM检验的零假设H0是：H0：021p即不存在任何阶数的自相关。LM检验包含如下步骤：0dLdU24-dU4-dL4正自相关不能确定无自相关不能确定负自相关本科教学课件计量经济学基础第10章自相关：如果误差项相关会有什么后果64（1）用OLS法估计原模型，并得到残差序列et；（2）利用et对原模型中的解释变量X2t、X3t、…、Xkt和第一步所估计的残差滞后值et-1、et-2、…、et-p做回归，即做如下回归：tptpttktktttXaXaXaae221133221并从这个辅助回归中得到R2。注意，此回归中只有（n-p）次观察值。（3）布劳殊和戈弗雷证明，若样本容量很大则：22~)(pRpn若22)(pRpn，则拒绝零假设，此时至少有一个ρi显著地不为0，即存在自相关性。利用EViews软件可以直接进行检验：“View”→“Residual”→“SerialCorrelationLMTest”，屏幕将输出辅助回归模型的有关信息，包括nR2及其临界概率值。但LM检验中，需要人为确定滞后期的长度。实际应用中，一般是从低阶的pn=1开始，若未能得到显著的检验结果，可以认为不存在自相关性。10.4自相关的补救措施1．广义差分法设线性回归模型tttXBBY21（10-1）并假设误差项存在一阶自相关，即服从AR(1)过程：ttt1，11式中，ν满足OLS假定。将模型（10-1）滞后一期，得：11211tttXBBY（10-2）（10-2）式两边同乘以ρ，得到：11211tttXBBY（10-3）将式（10-1）与式（10-3）相减，得到：tttttXXBBYY)()1()(1211令1*tttYYY，1*tttXXX，)1(1*1BB，得到：tttXBBY*2*1*（10-4）式（10-4）满足OLS假定。对变换后的模型使用OLS得到的估计量，称为广义最小二乘（generalizedleastsquares,GLS）估计量。在上述差分变换中，由于第一个样本观察值不存在前置期，因而失去一个观察值。为了避免丢失这个观察值，可对Y和X的第一个观察值做如下变换：21*11YY本科教学课件计量经济学基础第10章自相关：如果误差项相关会有什么后果6521*11XX这一变换称为普莱斯—温斯特变换（Prais-WinstenTransformation）。在实践中，如果样本容量足够大，则无须进行这种变换。2．如何估计ρ（1）取ρ=1，即一阶差分法在应用计量经济学中，广泛采用ρ=1，即误差项之间是完全正自相关，这对有些经济时间序列来说是正确的。这时，广义差分方程就变为一阶差分方程：tttXBY2注意：一阶差分方程中没有截距。（2）从德宾—沃森统计量D.W.中估计ρ在大样本情况下，利用D.W.统计量与ρ之间的关系式)1(2..WD，求出ρ的近似估计值：2..1ˆWD对于小样本，泰尔（TheilH.）建议使用下述近似公式：2222)1()1()2/..1(ˆknkWDn其中k为解释变量的个数。当n→∞时，2/..1ˆWD。（3）从OLS残差et中估计ρ对于一阶自回归过程：ttt1由于u无法直接观察得到，因此可以使用相应的样本误差et代替，并进行如下回归：tttee1ˆ式中，ˆ是ρ的估计量。统计理论表明，尽管对小样本而言，ˆ是ρ的有偏估计量，但是随着样本容量的增加，这个偏差会逐渐消失。（4）德宾两步法根据前面的广义差分变换模型：tttttXXBBYY)()1()(1211整理得：tttttXBXBYBY12211)1(令)1(11BA，22BA，23BA，得：tttttXAXAYAY13211本科教学课件计量经济学基础第10章自相关：如果误差项相关会有什么后果66用OLS法估计上述方程，变量Yt-1的回归系数恰好为ρ。3．广义差分法的EViews软件实现过程（1）初步确定自相关的类型具体步骤为：①利用OLS法估计模型，系统将同时计算残差序列（Resid）；②判断自相关性的类型。“IdentResid”或在“Equation”窗口中依次单击“View”→“ResidualTest”→“Correlogram-Q-Statistics”，根据et和et-s(s=1,2,…,p)的偏相关系数，初步确定自相关的类型。（2）广义差分法估计模型在OLS估计的原模型中，加上AR项作为解释变量，系统将自动使用广义差分法来估计模型。如为一阶自相关，加上AR(1)；如为高阶自相关，则加上AR(2)、AR(3)…EViews软件将使用迭代估计法估计模型，并输出ρ的估计值及其标准差、t统计值等，根据AR项的t检验值是否显著，可以进一步确定自相关性的具体形式。（3）迭代估计法具体步骤为：①在Equation窗口中单击“Estimate”按钮；②在弹出的EquationSpecification对话框中单击“Options”；③在迭代程序（Iterativeprocedures）对话栏中重新输入：最大迭代次数（maxiterations）或收敛精度（convergence）。④单击“OK”返回EquationSpecification对话框，再单击“OK”重新估计模型。迭代过程中，EViews软件按照默认的迭代次数（100次）和误差精度（0.001）来控制迭代估计程序。如果需要提高估计精度，或者估计程序结束时得到的并不是一个收敛的估计值（即迭代估计过程没有收敛），此时可以重新定义误差精度或迭代的最大次数。