第10章 重积分

第十章重积分内容概要名称主要内容二重积分定义Ddyxf),(niiiif10),(lim性质①Ddyxkf),(Ddyxfk),(②Ddyxgyxf),(),(DDdyxgdyxf),(),(③Ddyxf),(1),(Ddyxf2),(Ddyxf21DDD④Dd⑤),(),(yxgyxfDDdyxgdyxf),(),(⑥DDdyxfdyxf),(),(⑦MdyxfmD),(⑧),(),(fdyxfDD),(计算法利用直角坐标计算把D写成X型区域)()(21),(),(xxbaDdyyxfdxdyxf把D写成Y型区域)()(21),(),(xxdcDdxyxfdydyxf利用极坐标计算)()(21)sin,cos(),(rrDrdrrrfddyxf三重积分利用直角坐标计算投影法(针刺法、先一后二法)),(),(21),,(),,(yxzyxzDdzzyxfddvzyxf截面法(切片法、先二后一法)zDdcdzyxfdzdvzyxf),,(),,(利用柱面坐标计算dzrdrdzrrfdvzyxf),sin,cos(),,(利用球面坐标计算ddrdrrrrfdvzyxfsin)cos,sinsin,cossin(),,(2应用求立体的体积、求曲面的面积、求质量、重心、转动惯量等课后习题全解习题10-1★1.设有一平面薄板（不计其厚度），占有xOy面上的闭区域D，薄板上分布着面密度为),(yx的电荷，且),(yx在D上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷Q.解：将D任意分割成n个小区域i，在第i个小区域上任取一点),(ii，由于),(yx在D上连续和i很小，所以用),(ii作为i上各点函数值的近似值，则i上的电荷iiiiQ),(从而该板上的全部电荷DniiiidyxQ),(),(lim10其中是各i中的最大直径。★★2.利用二重积分定义证明：（1）Dd（为区域D的面积）；（2）DDdyxfkdyxkf),(),(（其中k为常数）；（3）21),(),(),(DDDdyxfdyxfdyxf，其中21DDD,21,DD为两个无公共内点的闭区域。证明：（1）这里，被积函数1),(yxf，由二重积分的定义，对任意分割和取点法，Dd1niiniiiif10101lim),(limnii10lim0lim，∴Dd，其中是各i中的最大直径。（2）Ddyxkf),(niiiiniiiifkkf1010),(lim),(limniiiifk10),(limDdyxfk),(（3）将1D任意分割成1n个小区域1i，1是其各小区域的最大直径，将2D任意分割成2n个小区域2i，2有类似的意义。记21nnn，},max{21，于是对应区域D就分成了n个区域，当0时，有01且02，因为21DDD,21,DD无公共内点，将以上分割反过来处理：先将D分割为n个区域，此分割在21,DD上的部分为1n，2n个小区域。于是当),(yxf在21,DD上可积时，便可如下推出),(yxf在D上可积（或反过来也一样），且有Ddyxf),(niiiif10),(lim1122222111110),(),(limniniiiiiiiff11111110),(limniiiif＋22222210),(limniiiif21),(),(DDdyxfdyxf★★3.判断积分1212222)ln(yxdxdyyx的符号解：由于12122yx，所以0)ln(22yx，且当122yx时，0)ln(22yx，于是0)ln(1212222yxdxdyyx★★4.判断下列积分值的大小：DdxdyyxI)(ln31，DdxdyyxI32)(，DdxdyyxI33)sin(，其中D由0x，0y，21yx，1yx围成，则321,,III之间的大小顺序为（）A.321IIIB.123IIIC.231IIID.213III解：因为被比较积分的积分区域相同，故可从被积函数来判断，在区域D上，12/1yx，当12/1t时，tttsinln，从而当Dyx),(时，333)()(sin)(lnyxyxyx，其中的只有在边界处才可能取到所以DDDdxdyyxdxdyyxdxdyyx333)()(sin)(ln，故应选C.★★★5.估计下列二重积分的值：（1）Ddyxxy)(,其中D是矩形闭区域10x，10y；（2）Ddyx)94(22,其中D是圆形闭区域422yx；解：（1）10x，10y，2)(0yxxy，22)(0DDddyxxy（2）圆形闭区域D的面积为422，在D中，9)(4949222222yxyxyx即2594922yx，2525)94(9922DDDddyxd，即100)94(3622Ddyx★★★6.试用二重积分性质证明不等式2)cos(sin122Ddyx，其中D：10x，10y.证明：DDdxdxxdydxxdyydyydxdy210210102102101022coscoscoscoscoscosDDDdxdxxdyx)4sin(2)cos(sin)cos(sin22222当10x时，1)4sin(222x，由重积分的性质即得2)cos(sin122Ddyx，证毕。★★★★7.计算Dyxrdxdyyxer)cos(1lim2220，其中D由中心在原点，半径为r的圆所围成。解：)cos(22yxeyx在D上连续，由二重积分的中值定理知，在D内至少存在一点),(，使得Dyxdxdyyxe)cos(222)cos(22re，于是有Dyxrdxdyyxer)cos(1lim2220＝)cos(lim220er＝)cos(lim2200e＝1习题10-2★1.计算下列二重积分：(1)Dydx22sinsin，其中D：x0，y0;(2)Ddyx)23(，其中闭区域D由坐标轴与2yx所围成;(3)Ddyyxx)3(323，其中D：10x，10y;(4)Ddyx)(22，其中D：xysin0，x0.解：(1)Dydx22sinsin=0202sinsinxdxydy=202sinxdx而02sinxdx＝0)2cos1(21dxx＝02sin2121xx＝2，所求＝42(2)积分区域D：20x，xy20所求＝2020)23(xdyyxdx＝202023dxyxyx＝202)2()2(3dxxxx＝2022)2(36dxxxx＝203323)2(3xxx＝320(3)Ddyyxx)3(323=1032310)3(dyyyxxdx=10104223423dxyyxyx=10234123dxxx=103441214xxx=1(4)Ddyx)(22=dyyxdxxsin0220)(=0sin0323dxyyxx=0323sinsindxxxx=0022cos3cos1cosxdxxdx=02cosxx+0cos2xdxx+039cos3cosxx其中0cos2xdxx=0sin2xxd=0sin2xx0sin2xdx=0cos2x=4所求＝9402★★2.画出积分区域，并计算下列二重积分：(1)Dyxde，其中D:1yx(2)Ddxxsin，其中D是由xy，2xy，2x所围成的区域(3)Dydex22，其中D是以)0,0(，)1,1(，)1,0(为顶点的三角形闭区域(4)Ddyx1，其中D是由12xy，xy2，0x所围成的区域解：(1)所求=1101xxyxdyedxe1110xxyxdyedxe=0111dxeexxyx1011dxeexxyx=01112dxeex1012dxeex011221exex101221xeexee1(2)所求＝xxdydxxx2/20sin=202sindxxxx=20cos21x=)2cos1(21(3)所求＝yydxexdy02102=10323dyeyy=102261ydey=1021022261dyeeyyy=101261yee=12161e(4)所求＝121021xxdyyxdx＝10122)1ln(dxyxxx＝10102)12ln()2ln(dxxxdxxx＝10210222)12ln()2()2ln(21xdxxdx＝)12ln(22)12ln()2ln()2(21)2ln()2(2110210210221022xdxxxxdxxx＝xdxxxdx10210122ln3ln23＝xdxxx101021214141222ln3ln23＝212ln3ln813(和书上答案不一样)★★3.改变下列二次积分的积分次序：(1)ydxyxfdy010),(;(2)xedyyxfdxln01),(;(3)21101),(xxdyyxfdx;(4)21110),(yydxyxfdy;(5)xxdyyxfdxdyyxfdx2021010),(),(解：(1)原式＝Ddyxf),(＝110),(xdyyxfdx(2)由二次积分的积分限有ex1，xyln0，改变积分次序后积分限为10y，exey所以，原式＝eeydxyxfdy),(10(3)积分区域D：211xyx，01x，可改写为112yxy，10y所以，原式＝11102),(yydxyxfdy(4)由二次积分的积分限10y，211yxy画出积分区域可改写为11,2111,10yxxyxx所以，原式＝11211110),(),(xxdyyxfdxdyyxfdx(5)由二次积分的积分限画出积分区域知原式＝y