应力状态分析

§8-1应力状态的概念§8-2平面应力状态分析——解析法§8-3平面应力状态分析——图解法（应力圆）§8-4空间应力的应力状态分析——一点的最大应力§8-5广义胡克定律§8-6强度理论概念第八章应力状态分析强度理论1、问题的提出§8-1应力状态的概念AF轴向拉伸杆件FFFpxnFp)2sin(2cos2斜截面应力：问题1：同一点处不同方位截面上的应力不相同；横截面应力：梁弯曲的强度条件：.,*maxmaxmaxmaxbISFWMzszzzFFFl)(B问题2B点处应力该如何校核？BB——有必要研究一点的应力状态。过一点不同方位截面上应力情况，称为这一点的应力状态（StateoftheStressesofaGivenPoint）。应力哪一个面上？哪一点？哪一点？哪个方向面？指明2、点的应力状态的概念研究应力状态的目的：找出一点处沿不同方向应力的变化规律，确定出最大应力，从而全面考虑构件破坏的原因，建立适当的强度条件。3、一点的应力状态的描述研究一点的应力状态，可对一个包围该点的微小正六面体——单元体进行分析各边边长,,dxdydz在单元体各面上标上应力——应力单元体xyzxyyxyzzyzxxz（1）、主平面与主应力：主平面：切应力为零的平面。主应力：作用于主平面上的正应力。xxyyxy主应力排列规定：按代数值由大到小。321过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力301050单位：MPa3010;30;10;50321;30;0;103214、应力状态的分类a、单向应力状态：只有一个主应力不等于零，另两个主应力都等于零的应力状态。b、二向应力状态：有两个主应力不等于零，另一个主应力等于零的应力状态。c、三向应力状态：三向主应力都不等于零的应力状态。（2)、应力状态的分类平面应力状态：单向应力状态和二向应力状态的总称。复杂应力状态：二向应力状态和三向应力状态的总称。空间应力状态：三向应力状态简单应力状态：单向应力状态。纯剪切应力状态：单元体上只存在剪应力无正应力。空间应力状态yxzxyzxyyxyzzyzxxz平面应力状态xyxyyxxyxyxxyyxxy单向应力状态纯剪应力状态取单元体示例一FPl/2l/2S截面5432154321S截面4PlFMz2PF5432154321S截面4PlFMz2PF1x122x2233取单元体示例二FPlaS截面xzy4321S截面yxzMzFQyMx43211pxWM1zzxWM143pxWM3p3WMxzzxWM3忽略弯曲切应力一、斜截面上的应力计算§8－2平面应力的应力状态分析—解析法等价xxxyyyxyoxyozxyxyxy空间问题简化为平面问题xyxyxyxyon--逆时针转为正。设：斜截面面积为ｄA，由分离体平衡得：;0FndAxyxyxyacbtnxxyxyacbsin:cos::dAacdAabdAbc单元体各面面积cos)cos(dAxsin)cos(dAxsin)sin(dAy0cos)sin(dAy2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx由切应力互等定理和三角变换，可得：tnxxyxyacbsin:;cos:;:dAacdAabdAbc0sin)sin(cos)sin(cos)cos(sin)cos(,0dAdAdAdAdAFyyxxt符号规定：1)“”正负号同“”；2)“”正负号同“”；3)“a”为斜面的外法线与x轴正向的夹角，逆时针为正，顺时针为负。注意：用公式计算时代入相应的正负号。,00dd00即yxxytg220主平面的方位)90;(00002sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx)1()2(00202cos2sin200xyyxdd22minmax)2(2xyyxyx——主应力的大小讨论：yx0901)、2)、的极值主应力以及主平面方位可以确定出两个相互垂直的平面——主平面，分别为最大正应力和最小正应力所在平面。3)、切应力的极值及所在截面,2cos2sin2xyyxxyyx22tan1——最大切应力所在的位置22minmax)2(xyyx——xy面内的最大切应力01dd令)90;(011112tan2tan10)45(001由yxxy22tan0——主平面的位置)90;(0000xyyx22tan1——最大切应力所在的位置)90;(0111将与画在原单元体上。maxminmax,00145xyyxmaxminminmax0maxmin例：如图所示单元体，求斜面的应力及主应力、主平面。（单位：MPa）300405060解：1、求斜面的应力2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx)(3.58)60sin()50()60cos(260402604000MPa)(3.18)60cos()50()60sin(2604000MPa30,50,60,40xyx5040602、求主应力、主平面yxxytg22022minmax)2(2xyyxyx)(7.60)(7.80)50()26040(2604022MPaMPa16040)50(2005.67)(7.60,0),(7.80321MPaMPa主应力：主平面位置：31yxxx0xyyxyx2222)2()2(这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆§8-3平面应力的应力状态分析—图解法2222222cossinsincosxyyxxyyxyx对上述方程消参数（2），得：一、应力圆：)0,2(yx圆心：半径：22)2(xyyxRxyoxyxyxyxyyxyx2222)2()2(RCxyyxR22)2(2yx应力圆：二.应力圆的画法D(x,xy)D’(y,yx)cxy2RxyyxR22)2(yyxxyADxyx点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一截面上的正应力和切应力三、几个对应关系D(x,xy)D’(y,yx)cxy2yyxxyxxyHn),(aaH2转向对应——半径旋转方向与截面法线的旋转方向一致；二倍角对应——半径转过的角度是截面法线旋转角度的两倍。xxADodacx'yy'45ºx2×45º2×45ºbeBEoa(0,)d(0,-)ADbec2×45º2×45º1＝3＝BE3＝1＝BE主应力单元体D’例：求1）图示单元体α=300斜截面上的应力2）主应力、主平面（单位：MPa）。60EFτσO.;003030EFOF2、量出所求的物理量.2.;0;1023211DCAOAOA解：1、按比例画此单元体对应的应力圆408060DC),(30301A2A02020o31与σ3平行的斜截面上的应力可在σ1、σ2应力圆的圆周上找到对应的点。与σ2平行的斜截面上的应力可在σ1、σ3应力圆的圆周上找到对应的点。与σ1平行的斜截面上的应力可在σ2、σ3应力圆的圆周上找到对应的点。xyzy§8-4空间应力的应力状态分析—一点的最大应力o311).弹性理论证明，图a单元体内任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。图a图b2).整个单元体内的最大切应力为：max结论——max311323)：整个单元体内的最大茄应力所在的平面：,23223max31132xzy21321322321313221122,31max32121331),,(例：求图示单元体的主应力和最大切应力。（MPa）解：1)x面为主平面之一MPa5002)建立应力坐标系如图，画y—z平面的应力圆及三向应力圆得:xyz305040CBAo(MPa)（MPa）10DD/C13227505832143maxmax解析法——1)由单元体知：x面为主平面之一,50x2)求y—z面内的最大、最小正应力。7.277.57)40()2300(2300)2(22222minmaxyzzyzy7.27;50;7.573213)主应力4)最大切应力MPa7.422)7.27(7.57231maxxyz305040CBA（MPa）20030050o321max平面应力状态作为三向应力状态的特例20050132O3005030050132O二、三向应力状态：)(1)(1)(1213313223211EEE——（广义虎克定律）112233121233++一、单向应力状态：EEE§8-5广义胡克定律)]([1zyxxEGxyxy三、、广义胡克定律的一般形式:)]([1xzyyE)]([1yxzzEGyzyzGzxzxxyzxyyxyzzyzxxz主应力与主应变方向是否一致?xy广义胡克定律的应用——求平面应力状态下任意方向的正应变：901E90xy求出,就可求得方向的正应变90,例槽形刚体内放置一边长为a=10cm正方形钢块，试求钢块的三个主应力。F=8kN，E=200GPa,μ=0.3。yF?,xyyxx,80MPaAFyMPayx24)]([1zyxxE.0zxyz解：1)研究对象：.??,,0zyx2)由广义虎克定律：].[10yxE.80,24,0321正方形钢块展开上式，并略去高阶微量：dx21dy四、体积应变,dxdydzdV,)1)(1)(1('321dxdydzdV3,)1('321dVdV321'dVdVdV),(21321E体积应变与应力分量间的关系:mE)21(3)(1)(1)(1213313223211EEEm3321--平均应力。体积应变—单位体积的体积改变)()21(3)21(3zyxmEE3,)21(332