培优《函数与导数》

1高考数学试题函数与导数专题突破一．选择题：32.（福建卷12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是D33.（广东卷7）设aR，若函数3axyex，xR有大于零的极值点，则（B）A．3aB．3aC．13aD．13a34.（辽宁卷6）设P为曲线C：223yxx上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为04，，则点P横坐标的取值范围为（A）A．112，B．10，C．01，D．112，4.（全国二14）设曲线axye在点(01)，处的切线与直线210xy垂直，则a．25.（北京卷12）如图，函数()fx的图象是折线段ABC，其中ABC，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))ff2；0(1)(1)limxfxfx－2．（用数字作答）10.（江苏卷14）331fxaxx对于1,1x总有fx≥0成立，则a=．41.（全国一19）．（本小题满分12分）已知函数32()1fxxaxx，aR．（Ⅰ）讨论函数()fx的单调区间；（Ⅱ）设函数()fx在区间2133，内是减函数，求a的取值范围．2BCAyx1O345612342解：（1）32()1fxxaxx求导：2()321fxxax当23a≤时，0≤，()0fx≥，()fx在R上递增当23a，()0fx求得两根为233aax即()fx在233aa，递增，223333aaaa，递减，233aa，递增（2）2232333133aaaa≤≥，且23a解得：74a≥2.（全国二22）．（本小题满分12分）设函数sin()2cosxfxx．（Ⅰ）求()fx的单调区间；（Ⅱ）如果对任何0x≥，都有()fxax≤，求a的取值范围．解：（Ⅰ）22(2cos)cossin(sin)2cos1()(2cos)(2cos)xxxxxfxxx．·····························2分当2π2π2π2π33kxk（kZ）时，1cos2x，即()0fx；当2π4π2π2π33kxk（kZ）时，1cos2x，即()0fx．因此()fx在每一个区间2π2π2π2π33kk，（kZ）是增函数，()fx在每一个区间2π4π2π2π33kk，（kZ）是减函数．·····························6分（Ⅱ）令()()gxaxfx，则22cos1()(2cos)xgxax2232cos(2cos)axx3211132cos33ax．故当13a≥时，()0gx≥．又(0)0g，所以当0x≥时，()(0)0gxg≥，即()fxax≤．························9分当103a时，令()sin3hxxax，则()cos3hxxa．故当0arccos3xa，时，()0hx．因此()hx在0arccos3a，上单调增加．故当(0arccos3)xa，时，()(0)0hxh，即sin3xax．于是，当(0arccos3)xa，时，sinsin()2cos3xxfxaxx．当0a≤时，有π1π0222fa≥．因此，a的取值范围是13，．3.（北京卷18）．（本小题共13分）已知函数22()(1)xbfxx，求导函数()fx，并确定()fx的单调区间．解：242(1)(2)2(1)()(1)xxbxfxx3222(1)xbx32[(1)](1)xbx．令()0fx，得1xb．当11b，即2b时，()fx的变化情况如下表：x(1)b，1b(11)b，(1)，()fx0当11b，即2b时，()fx的变化情况如下表：x(1)，(11)b，1b(1)b，()fx0所以，当2b时，函数()fx在(1)b，上单调递减，在(11)b，上单调递增，在(1)，上单调递减．当2b时，函数()fx在(1)，上单调递减，在(11)b，上单调递增，在(1)b，上单调递减．4当11b，即2b时，2()1fxx，所以函数()fx在(1)，上单调递减，在(1)，上单调递减．4.（四川卷22）．（本小题满分14分）已知3x是函数2ln110fxaxxx的一个极值点。（Ⅰ）求a；（Ⅱ）求函数fx的单调区间；（Ⅲ）若直线yb与函数yfx的图象有3个交点，求b的取值范围。【解】：（Ⅰ）因为'2101afxxx所以'361004af因此16a（Ⅱ）由（Ⅰ）知，216ln110,1,fxxxxx2'2431xxfxx当1,13,x时，'0fx当1,3x时，'0fx所以fx的单调增区间是1,1,3,fx的单调减区间是1,3（Ⅲ）由（Ⅱ）知，fx在1,1内单调增加，在1,3内单调减少，在3,上单调增加，且当1x或3x时，'0fx所以fx的极大值为116ln29f，极小值为332ln221f因此21616101616ln291ff213211213fef所以在fx的三个单调区间1,1,1,3,3,直线yb有yfx的图象各有一个交点，当且仅当31fbf因此，b的取值范围为32ln221,16ln29。55.（天津卷21）（本小题满分14分）已知函数432()2fxxaxxb（xR），其中Rba,．（Ⅰ）当103a时，讨论函数()fx的单调性；（Ⅱ）若函数()fx仅在0x处有极值，求a的取值范围；（Ⅲ）若对于任意的[2,2]a，不等式1fx在[1,1]上恒成立，求b的取值范围．本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．满分14分．（Ⅰ）解：322()434(434)fxxaxxxxax．当103a时，2()(4104)2(21)(2)fxxxxxxx．令()0fx，解得10x，212x，32x．当x变化时，()fx，()fx的变化情况如下表：x(,0)01(0,)2121(,2)22(2,)()fx－0＋0－0＋()fx↘极小值↗极大值↘极小值↗所以()fx在1(0,)2，(2,)内是增函数，在(,0)，1(,2)2内是减函数．（Ⅱ）解：2()(434)fxxxax，显然0x不是方程24340xax的根．为使()fx仅在0x处有极值，必须24403xax成立，即有29640a．解些不等式，得3838a．这时，(0)fb是唯一极值．因此满足条件的a的取值范围是88[,]33．（Ⅲ）解：由条件[2,2]a，可知29640a，从而24340xax恒成立．当0x时，()0fx；当0x时，()0fx．因此函数()fx在[1,1]上的最大值是(1)f与(1)f两者中的较大者．为使对任意的[2,2]a，不等式()1fx在[1,1]上恒成立，当且仅当111))1((ff，即22baba，在[2,2]a上恒成立．所以4b，因此满足条件的b的取值范围是(,4]．6.（安徽卷20）．（本小题满分12分）设函数1()(01)lnfxxxxx且6（Ⅰ）求函数()fx的单调区间；（Ⅱ）已知12axx对任意(0,1)x成立，求实数a的取值范围。解(1)'22ln1(),lnxfxxx若'()0,fx则1xe列表如下x1(0,)e1e1(,1)e(1,)'()fx+0--()fx单调增极大值1()fe单调减单调减(2)在12axx两边取对数,得1ln2lnaxx,由于01,x所以1ln2lnaxx(1)由(1)的结果可知,当(0,1)x时,1()()fxfee,为使(1)式对所有(0,1)x成立,当且仅当ln2ae,即ln2ae7.（山东卷21）已知函数1()ln(1),(1)nfxaxx其中n∈N*,a为常数.（Ⅰ）当n=2时，求函数f(x)的极值；（Ⅱ）当a=1时，证明：对任意的正整数n,当x≥2时，有f(x)≤x-1.（Ⅰ）解：由已知得函数f(x)的定义域为{x|x＞1}，当n=2时，21()ln(1),(1)fxaxx所以232(1)().(1)axfxx（1）当a＞0时，由f(x)=0得121xa＞1，221xa＜1，此时f′（x）=123()()(1)axxxxx.当x∈（1，x1）时，f′（x）＜0,f(x)单调递减；当x∈（x1+∞）时，f′（x）＞0,f(x)单调递增.（2）当a≤0时，f′（x）＜0恒成立，所以f(x)无极值.综上所述，n=2时，当a＞0时，f(x)在21xa处取得极小值，极小值为22(1)(1ln).2afaa当a≤0时，f(x)无极值.7（Ⅱ）证法一：因为a=1,所以1()ln(1).(1)nfxxx当n为偶数时，令1()1ln(1),(1)ngxxxx则g′（x）=1+1112(1)11(1)nnnxnxxxx＞0（x≥2）.所以当x∈[2,+∞]时，g(x)单调递增，又g(2)=0因此1()1ln(1)(1)ngxxxx≥g(2)=0恒成立，所以f(x)≤x-1成立.当n为奇数时，要证()fx≤x-1,由于1(1)nx＜0，所以只需证ln(x-1)≤x-1,令h(x)=x-1-ln(x-1),则h′（x）=1-1211xxx≥0（x≥2）,所以当x∈[2，+∞]时，()1ln(1)hxxx单调递增，又h(2)=1＞0，所以当x≥2时，恒有h(x)＞0,即ln（x-1）＜x-1命题成立.综上所述，结论成立.证法二：当a=1时，1()ln(1).(1)nfxxx当x≤2，时，对任意的正整数n，恒有1(1)nx≤1，故只需证明1+ln(x-1)≤x-1.令()1(1ln(1))2ln(1),2,hxxxxxx则12()1,11xhxxx当x≥2时，()hx≥0，故h(x)在2,上单调递增，因此当x≥2时，h(x)≥h(2)=0，即1+ln(x-1)≤x-1成立.故当x≥2时，有1ln(1)(1)nxx≤x-1.即f（x）≤x-1.8.（江苏卷17）．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A,B及CD的中点P处，已知8AB=20km,CB=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A,B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP，设排污管道的总长为ykm．（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=(rad)，将y表示成的函数关系式；②设OPx(km)，将y表示成xx的函数关系式．（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．【解析】