概率统计基础培训教材详细优化版本中级质量工程师用

宁波南车时代传感技术有限公司质量安全部目录Page2第二部分随机变量及其分布第一部分概率基础知识概率基础知识一、事件与概率（一）随机现象1、定义：在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。2、随机现象的特点：⑴随机现象的结果至少有两个；⑵至于哪一个出现，事先人们并不知道。3、样本点（抽样单元）：随机现象中的每一个可能结果，称为一个样本点，又称为抽样单元。4、样本空间：随机现象一切可能样本点的全体称为这个随机现象的样本空间，常记为Ω。认识一个随机现象首要的就是能罗列出它的一切可能发生的基本结果。Page3[例]⑴一天内进某超市的顾客数:Ω={0,1,2,······}⑵一顾客在超市购买的商品数:Ω={0,1,2,······}⑶一顾客在超市排队等候付款的时间:Ω={t:t≥0}⑷一颗麦穗上长着的麦粒个数:Ω={0,1,2,······}⑸新产品在未来市场的占有率:Ω={[0,1]}⑹一台电视机从开始使用到发生第一次故障的时间:Ω={t:t≥0}⑺加工机构轴的直径尺寸:Ω={}⑻一罐午餐肉的重量：Ω={G±g}baD概率基础知识Page4（二）随机事件定义：随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件，常用大写字母A、B、C等表示。1、随机事件的特征⑴任一事件A是相应样本空间Ω中的一个子集；⑵事件A发生当且仅当A中某一样本点发生；⑶事件A的表示可用集合，也可用语言，但所用的语言应是明确无误的；⑷任一样本空间都有一个最大子集，这个最大子集就是Ω，它对应的事件就是必然事件，仍用Ω表示；⑸任一样本空间都有一个最小子集，这个最小子集就是空集，它对应的事件称为不可能事件，记为φ。概率基础知识Page52、随机事件之间的关系⑴包含：【若事件A发生必然导致事件B发生，则事件B包含事件A，记为BA或AB。】⑵互不相容：【若事件A与B不能同时发生，则称事件A与B互不相容。】（互斥）两个事件间的互不相容性可推广到三个或更多个事件间的互不相容。概率基础知识ABBASA与B互斥ABPage6⑶相等：【若事件A与B有相同的样本点，则称事件A与B相等。】若事件A包含事件B，事件B也包含事件A，则称事件A和B相等。[例]掷骰子：Ω=｛1，2，3，4，5，6｝，设事件A=“等于小于4的数”={1，2，3，4}，事件B=“偶数”={2，4，6}，显然A与B有相同的样本点{2，4}，但事件A与B并不相等。可定义为“若事件A与B有完全相同的样本点，则称事件A与B相等”。5Ω概率基础知识Page7（三）事件的运算⑴对立事件（又称为互逆事件或逆事件）【在Ω中而不在A中的样本点组成的事件称为A的对立事件（互逆事件）。记为（读非A）。】AΩ概率基础知识A互逆事件A补充：互斥事件与互逆事件的区别：互斥事件：若事件A与B不能同时发生，即AB=φ，则称事件A与B互不相容。互逆事件：若事件A+B=Ω，AB=φ，则称A与B为互逆事件（对立事件）。①两事件互逆，必定互斥；但两事件互斥，不一定互逆。②互斥事件适用于多个事件,但互逆事件只适用于两个事件。③两事件互斥，只表明两事件不能同时出现，即至多只能出现其中一个，但可以都不出现。两个事件互逆，则表示两个事件之中有且仅有一个出现，即肯定了至少有一个出现。Page8⑵事件A与B的并（又称为和事件）【由事件A与事件B中所有样本点组成的新事件为A与B的并，记为A∪B或A+B。并事件意味着事件A与事件B至少有一个发生。】Ω概率基础知识A∪BABS⑶事件A与B的交（又称为积事件）【由事件A与事件B中公共的样本点组成的新事件称为为事件A与B的交，记为A∩B，简记为AB。交事件意味着事件A与事件B同时发生。】ABABPage9⑷事件A对B的差【由在事件A中而不在事件B中的样本点组成的新事件称为A对B的差，记为A－B。】ΩΩ概率基础知识A-BBA[例]：打靶，最高环数为10环。若设事件A=击中三环以上的事件={3，4，5，6，7，8，9，10}，事件B=最多击中4环的事件={0，1，2，3，4}。则A－B={5，6，7，8，9，10}=击中5环以上的事件；另B－A={0，1，2}=最多击中2环的事件Page10Page11概率基础知识事件运算具有如下性质：1、交换律：AB＝BA，AB＝BA2、结合律：(AB)C＝A(BC)，(AB)C＝A(BC)3、分配律：(AB)C＝(AC)(BC)，(AB)C＝(AC)(BC)4、对偶律：以上性质都可推广到多个事件运算中去。[例]甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示下列事件：（四）概率—事件发生可能性大小的度量一个随机事件A发生可能性的大小用这个事件的概率P（A）来表示。概率是一个介于0到1之间的数。概率越大，事件发生的可能性就愈大；概率愈小，事件发生的可能性也就愈小。特别地，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1。即：P(φ)=0P(Ω)=1概率基础知识Page12二、概率的古典定义与统计定义（一）古典定义用概率的古典定义确定概率方法的要点如下：（1）所涉及的随机现象只有有限个样本点，设共有n个样本点；（2）每个样本点出现的可能性是相同的（等可能性）；（3）若被考察的事件A含有k个样本点，则事件A的概率定义为：概率基础知识乘法原理：设完成一件事需分两步，第一步有n1种方法,第二步有n2种方法，则完成这件事共有n1n2种方法加法原理：设完成一件事可有两种途径，第一种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方法，则完成这件事共有n1+n2种方法。可以推广到多个步骤和途径事件。Page13（二）统计定义用概率的统计定义确定概率方法的要点如下：（1）此随机现象是能大量重复试验的；（2）若在n次重复试验中，事件A发生kn次，则事件A发生的频率为（3）频率会随重复试验次数增加而趋于稳定，这个频率的稳定值就是事件A的概率。Page14概率基础知识[例]投掷一枚硬币，出现正面和反面的频率，随着投掷次数n的增大，出现正面和反面的频率稳定在1/2左右。概率基础知识试验的次数正面/试验次数1.000.000.250.500.750255075100125Page15三、概率的性质及其运算法则（一）概率的基本性质及加法法则性质1：概率是非负的，且数值介于0与1之间，0≤P(A)≤1，特别，P(φ)=0,P(Ω)=1性质2：或性质3：若AB，则性质4：性质5：概率基础知识Page16Page17（二）条件概率、概率的乘法法则及事件的独立性（1）条件概率与概率的乘法法则条件概率要涉及两个事件A与B，在事件B已发生的条件下，事件A再发生的概率称为条件概率，记为P(A|B)。条件概率的计算公式为：性质6：（乘法法则）对任意两个随机事件A与B，有P（AB）=P(B)P（A|B）P(B)0=P(A)P（B|A）P(A)0概率基础知识（2）独立性与独立事件的概率设有两个事件A与B，假如其中一个事件的发生不依赖另一个事件发生与否，则称事件A与B相互独立。性质7：假如两个事件A与B相互独立，则A与B同时发生的概率为性质8：假如两个事件A与B相互独立，则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率P(A|B)等于事件A的(无条件)概率P(A)。概率基础知识Page18Page19[例]一家电脑公司从两个供应商处购买了同一种计算机配件，质量状况如下表所示从这200个配件中任取一个进行检查，求(1)取出的一个为正品的概率(2)取出的一个为供应商甲的配件的概率(3)取出一个为供应商甲的正品的概率(4)已知取出一个为供应商甲的配件，它是正品的概率甲乙两个供应商提供的配件正品数次品数合计供应商甲84690供应商乙1028110合计18614200概率基础知识Page20概率基础知识解：设A=取出的一个为正品B=取出的一个为供应商甲供应的配件（1）（2）（3）（4）Page21[例]某厂生产的产品能直接出厂的概率为70%，余下的30%的产品要调试后再定，已知调试后有80%的产品可以出厂，20%的产品要报废。求该厂产品的报废率。解：设A={生产的产品要报废}B={生产的产品要调试}已知P(B)=0.3，P(A|B)=0.2，概率基础知识随机变量及其分布一、随机变量1、定义：用来表示随机现象结果的变量称为随机变量。常用大写字母X、Y、Z等表示随机变量，而随机变量的值用小写字母x、y、z表示。例如，在灯泡寿命试验中，令X为“灯泡寿命”(小时)，则X为一随机变量。{X500}，{X≤1000}，{800X≤1200}等表示了不同的随机事件。2、分类：Page22离散型随机变量：假如一个随机变量仅取数轴上有限个点或可列个点，则称此随机变量为离散随机变量。连续型随机变量：假如一个随机变量的所有可能取值充满数轴上一个区间（a，b），则称此随机变量为连续随机变量。二、随机变量的分布随机变量的取值是随机的，但其内在还是有规律性的，这个规律可以用分布来描述。认识一个随机变量X的关键就是要知道它的分布。分布包含如下两方面的内容：（1）X可能取哪些值，或在哪个区间上取值。（2）X取这些值的概率各是多少，或X在任一小区间上取值的概率是多少？随机变量及其分布Page23Page24（一）离散型随机变量的分布若随机变量X只能取有限个值或可列无穷多个值，则称X为离散型随机变量。设X的所有可能取值为，为了描述随机变量X，我们不仅需要知道随机变量X的取值，而且还应知道X取每个值的概率。定义1：设xk(k=1,2,…)是离散型随机变量X所取的一切可能值，称为离散型随机变量X的概率分布简称分布列,又称分布律。其中(k=1,2,…)满足：（1）k=1,2,…（2）随机变量及其分布Page25[例]某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求他两次独立投篮投中次数X的概率分布。解：X可取0、1、2为值P(X=0)=(0.1)(0.1)=0.01P(X=1)=2(0.9)(0.1)=0.18P(X=2)=(0.9)(0.9)=0.81且P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1也可表示为：这就是X的概率分布列。随机变量及其分布（二）连续型随机变量连续型随机变量的分布可用概率密度函数p(x)表示，也可以用f(x)表示。连续型随机变量还可用概率分布函数F(x)表示。对连续型随机变量X，如果存在非负可积函数ƒ(x)，使得对任意实数x，有则称ƒ(x)为X的概率密度函数，简称概率密度或密度。由上述性质可知，对于连续型随机变量，我们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义；我们所关心的是它在某一区间上取值的问题．若已知连续型随机变量X的密度函数为f(x),则X在任意区间G(G可以是开区间,也可以是闭区间;可以是有限区间,也可以是无穷区间)上取值的概率为：随机变量及其分布Page26Page27随机变量及其分布三、随机变量分布的均值、方差与标准差随机变量X的分布（概率函数或密度函数）有几个很重要的特征数，用来表示分布的集中位置（中心位置）和散布大小。两个最重要的特征数：1)均值：表示分布的中心位置，E(x)2)方差：表示分布的散布大小，Var(x)1、均值的计算公式随机变量及其分布Page282、方差的计算公式3、标准差的计算公式随机变量及其分布Page2930随机变量及其分布均值与方差的运算性质：（1）设X为随机变量，a与b为任意常数，则有：E(aX+b)=aE(X)+bVar(aX+b)=a2Var(X)（2）对任意两个随机变量X1与X2，有：E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)（3）设随机变量X1与X2独立，则有：Var(X1±X2)=Var(X1)+Var(X2)随机变量及其分布Page31四、常用分布（一）常用离散型分布常用离散型随机变量的分布有：单点分布（退化分布）、两点分布（0-1分布）、几何分布、二项分布、泊松分布、超几何分布等，按教材重点介绍后三种。随机变量及其分布Page321、二项分布1）重复进行n次试验；2）n次试验间相互独立；3）每次试验仅有两个可能结果；4）成功的概