第三章.导数及其应用测试卷(含详细答案)

单元综合测试三(第三章)时间：90分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知f(x)＝(x＋a)2，且f′(12)＝－3，则a的值为()A．－1B．－2C．1D．2解析：f(x)＝(x＋a)2，∴f′(x)＝2(x＋a)．又f′(12)＝－3，∴1＋2a＝－3，解得a＝－2.答案：B2．函数y＝sinx(cosx＋1)的导数是()A．y′＝cos2x－cosxB．y′＝cos2x＋sinxC．y′＝cos2x＋cosxD．y′＝cos2x＋cosx解析：y′＝(sinx)′(cosx＋1)＋sinx(cosx＋1)′＝cos2x＋cosx－sin2x＝cos2x＋cosx.答案：C3．函数y＝3x－x3的单调递增区间是()A．(0，＋∞)B．(－∞，－1)C．(－1,1)D．(1，＋∞)解析：f′(x)＝3－3x20⇒x∈(－1,1)．答案：C4．某汽车启动阶段的路程函数为s(t)＝2t3－5t2＋2，则t＝2秒时，汽车的加速度是()A．14B．4C．10D．6解析：依题意v(t)＝s′(t)＝6t2－10t，所以a(t)＝v′(t)＝12t－10，故汽车在t＝2秒时的加速度为a(2)＝24－10＝14.答案：A5．若曲线f(x)＝xsinx＋1在x＝π2处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a的值为()A．－2B．－1C．1D．2解析：f′(x)＝xcosx＋sinx，f′(π2)＝1，∴k＝－a2＝－1，a＝2.答案：D6．已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为()A．1B．3C．－4D．－8解析：如图所示，由已知可设P(4，y1)，Q(－2，y2)，∵点P，Q在抛物线x2＝2y上，∴42＝2y1，①－22＝2y2，②∴y1＝8，y2＝2，∴P(4,8)，Q(－2,2)．又∵抛物线可化为y＝12x2，∴y′＝x.∴过点P的切线斜率为y′|x＝4＝4，∴过点P的切线为y－8＝4(x－4)，即y＝4x－8.又∵过点Q的切线斜率为y′|x＝－2＝－2.∴过点Q的切线为y－2＝－2(x＋2)，即y＝－2x－2.联立y＝4x－8，y＝－2x－2，解得x＝1，y＝－4.∴点A的纵坐标为－4.答案：C7．若函数y＝a(x3－x)的递增区间是(－∞，－33)，(33，＋∞)，则a的取值范围是()A．a0B．－1a0C．a1D．0a1解析：依题意y′＝a(3x2－1)0的解集为(－∞，－33)，(33，＋∞)，故a0.答案：A8．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是()A．0≤a≤21B．a＝0或a＝7C．a0或a21D．a＝0或a＝21解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，当Δ＝4a2－84a≤0，即0≤a≤21时，f′(x)≥0恒成立，函数f(x)不存在极值点．故选A.答案：A9．已知函数f(x)＝x3－3x，若对于区间[－3,2]上任意的x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是()A．0B．10C．18D．20解析：f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，解得x＝±1，所以1，－1为函数f(x)的极值点，因为f(－3)＝－18，f(－1)＝2，f(1)＝－2，f(2)＝2，所以在区间[－3,2]上，f(x)max＝2，f(x)min＝－18，所以对于区间[－3,2]上任意的x1，x2，|f(x1)－f(x2)|≤20，所以t≥20，从而t的最小值为20.答案：D10．设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()A．∀x∈R，f(x)≤f(x0)B．－x0是f(－x)的极小值点C．－x0是－f(x)的极小值点D．－x0是－f(－x)的极小值点解析：取函数f(x)＝x3－x，则x＝－33为f(x)的极大值点，但f(3)f(－33)，∴排除A.取函数f(x)＝－(x－1)2，则x＝1是f(x)的极大值点，f(－x)＝－(x＋1)2，－1不是f(－x)的极小值点，∴排除B；－f(x)＝(x－1)2，－1不是－f(x)的极小值点，∴排除C.故选D.答案：D11．若函数y＝f(x)满足xf′(x)－f(x)在R上恒成立，且ab，则()A．af(b)bf(a)B．af(a)bf(b)C．af(a)bf(b)D．af(b)bf(a)解析：设g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)0，∴g(x)在R上是增函数，又ab，∴g(a)g(b)即af(a)bf(b)．答案：B12．设函数f(x)满足x2f′(x)＋2xf(x)＝exx，f(2)＝e28，则x0时，f(x)()A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值解析：由题意知f′(x)＝exx3－2fxx＝ex－2x2fxx3.令g(x)＝ex－2x2f(x)，则g′(x)＝ex－2x2f′(x)－4xf(x)＝ex－2(x2f′(x)＋2xf(x))＝ex－2exx＝ex1－2x.由g′(x)＝0得x＝2，当x＝2时，g(x)min＝e2－2×22×e28＝0，即g(x)≥0，则当x0时，f′(x)＝gxx3≥0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，既无极大值也无极小值．答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．若抛物线y＝x2－x＋c上一点P的横坐标为－2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则c的值为________．解析：∵y′＝2x－1，∴y′|x＝－2＝－5.又P(－2,6＋c)，∴6＋c－2＝－5.∴c＝4.答案：414．如果函数f(x)＝x3－6bx＋3b在区间(0,1)内存在与x轴平行的切线，则实数b的取值范围是________．解析：存在与x轴平行的切线，即f′(x)＝3x2－6b＝0有解，∵x∈(0,1)，∴b＝x22∈(0，12)．答案：{b|0b12}15．已知a≤4x3＋4x2＋1对任意x∈[－1,1]都成立，则实数a的取值范围是________．解析：设f(x)＝4x3＋4x2＋1，则f′(x)＝12x2＋8x＝4x(3x＋2)，令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝－23.又f(－1)＝1,f(－23)＝4327，f(0)＝1，f(1)＝9，故f(x)在[－1,1]上的最小值为1，故a≤1.答案：(－∞，1]16．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的导数为f′(x)，f′(0)0，若∀x∈R，恒有f(x)≥0，则f1f′0的最小值是________．解析：二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的导数为f′(x)＝2ax＋b，由f′(0)0，得b0，又对∀x∈R，恒有f(x)≥0，则a0，且Δ＝b2－4ac≤0，故c0，所以f1f′0＝a＋b＋cb＝ab＋cb＋1≥2acb2＋1≥2ac4ac＋1＝2，所以f1f′0的最小值为2.答案：2三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知函数f(x)＝ln(2x＋a)＋x2，且f′(0)＝23.(1)求f(x)的解析式；(2)求曲线f(x)在x＝－1处的切线方程．解：(1)∵f(x)＝ln(2x＋a)＋x2，∴f′(x)＝12x＋a·(2x＋a)′＋2x＝22x＋a＋2x.又∵f′(0)＝23，∴2a＝23，解得a＝3.故f(x)＝ln(2x＋3)＋x2.(2)由(1)知f′(x)＝22x＋3＋2x＝4x2＋6x＋22x＋3，且f(－1)＝ln(－2＋3)＋(－1)2＝1，f′(－1)＝4×－12＋6×－1＋22－1＋3＝0，因此曲线f(x)在(－1,1)处的切线方程是y－1＝0(x＋1)，即y＝1.18．(12分)已知函数f(x)＝13x3＋ax＋b(a，b∈R)在x＝2处取得极小值－43.(1)求函数f(x)的增区间；(2)若f(x)≤m2＋m＋103对x∈[－4,3]恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)由已知得f(2)＝－43，f′(2)＝0，又f′(x)＝x2＋a，所以83＋2a＋b＝－43，4＋a＝0，所以a＝－4，b＝4，则f(x)＝13x3－4x＋4，令f′(x)＝x2－40，得x－2或x2，所以增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)．(2)f(－4)＝－43，f(－2)＝283，f(2)＝－43，f(3)＝1，则当x∈[－4,3]时，f(x)的最大值为283，故要使f(x)≤m2＋m＋103对∈[－4,3]恒成立，只要283≤m2＋m＋103，所以实数m的取值范围是m≥2或m≤－3.19．(12分)已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．解：(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b＝4，a＋b－4＝4，所以a＝4，b＝4.(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)(ex－12)．令f′(x)＝0，得x＝－ln2或x＝－2.从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f′(x)0；当x∈(－2，－ln2)时，f′(x)0.故f(x)在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减．当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．20．(12分)已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R)．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程．(2)求函数f(x)的极值．解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－ax.(1)当a＝2时，f(x)＝x－2lnx，f′(x)＝1－2x(x0)，所以f(1)＝1，f′(1)＝－1，所以y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.(2)由f′(x)＝1－ax＝x－ax，x0可知：①当a≤0时，f′(x)0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；②当a0时，由f′(x)＝0，解得x＝a；因为x∈(0，a)时，f′(x)0，x∈(a，＋∞)时，f′(x)0，所以f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－alna，无极大值．综上：当a≤0时，函数f(x)无极值，当a0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－alna，无极大值．21.(12分)某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快，欲将这种食品价格控制在适当范围内，决定给这种食品生产厂家提供政府补贴，设这种食品的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克，根据市场调查，当16≤x≤24时，这种食品日供应量p万千克，日需量q万千克近似地满足关系：p＝2(x＋4t－14)(t0)，q＝24＋8ln20x.当p＝q时的市场价格称为市场平衡价格．(1)将政府补贴表示为市场平衡价格的函数，并求出函数的值域；(2)为使市场平衡价格不高于20元/千克，政府补贴至少为多少元/千克？解：(1)由p＝q得2(x＋4t－14)＝24＋8ln20x(16≤x≤24，t0)，即t＝132－14x＋ln20x(16≤x≤24)．∵t′＝－14－1x0，∴t是x的减函数．∴tmin＝132－14×24＋ln2024＝12＋ln2024＝12＋ln56；tmax＝132－14×16＋ln2016＝52＋ln54，∴值域为12＋ln56，52＋ln54.(2)由(1)知t＝132－14x＋ln20x(16≤x≤24)．而当x＝20时，