中职数学5--排列组合和二项式定理排列定义及排列数公式

教学目标：知识与技能：了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。过程与方法：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题情感、态度与价值观：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题.教学重点：排列、排列数的概念教学难点：排列数公式的推导教学内容师生互动设计意图教学过程：一、复习引入：1分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有1m种不同的方法，在第二类办法中有2m种不同的方法，……，在第n类办法中有nm种不同的方法那么完成这件事共有12nNmmm种不同的方法2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有1m种不同的方法，做第二步有2m种不同的方法，……，做第n步有nm种不同的方法，那么完成这件事有12nNmmm种不同的方法二、讲解新课：1问题：问题1．从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？解决这一问题可分两个步骤：图1.2一1把上面问题中被取的对象叫做元素，于是问题可叙述为：从3个不同的元素a,b，。中任取2个，然后按照一定的顺序排成一列，师：分类，分步的解决问题的区别？生：应用两种原理解题:1.分清要完成的事情是什么；2.是分类完成还是分步完成,“类”间互相独立，“步”间互相联系；3.有无特殊条件的限制师分析：第1步，确定参加上午活动的同学，从3人中任选1人，有3种方法；第2步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从余下的2人中去选，于是有2种方法．根据分复习巩固，为引出排列的概念做准备一共有多少种不同的排列方法？所有不同的排列是ab,ac,ba,bc,ca,cb,共有3×2=6种．问题2．从1,2,3,4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？第1步，确定百位上的数字，在1,2,3,4这4个数字中任取1个，有4种方法；第2步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的3个数字中去取，有3种方法；第3步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的2个数字中去取，有2种方法．根据分步乘法计数原理，从1,2,3,4这4个不同的数字中，每次取出3个数字，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，共有4×3×2=24种不同的排法，因而共可得到24个不同的三位数，如图1.2一2所示．由此可写出所有的三位数：123，124,132,134,142,143，213，214,231,234,241,243，312，314,321,324,341,342，412，413,421,423,431,432。同样，问题2可以归结为：从4个不同的元素a,b,c，d中任取3个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？所有不同排列是abc,abd,acb,acd,adb,adc,bac,bad,bca,bcd,bda,bdc,cab,cad,cba,cbd,cda,cdb,dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.共有4×3×2=24种.2．排列的概念：从n个不同元素中，任取m（mn）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个步乘法计数原理，在3名同学中选出2名，按照参加上午活动在前，参加下午活动在后的顺序说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素的一个排列．．．．3．排列数的定义：从n个不同元素中，任取m（mn）个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号mnA表示4．排列数公式及其推导：由2nA的意义：假定有排好顺序的2个空位，从n个元素12,,naaa中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列，反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数2nA．由分步计数原理完成上述填空共有(1)nn种填法，∴2nA=(1)nn由此，求3nA可以按依次填3个空位来考虑，∴3nA=(1)(2)nnn，求mnA以按依次填m个空位来考虑(1)(2)(1)mnAnnnnm，排列数公式：(1)(2)(1)mnAnnnnm（,,mnNmn）例1．用计算器计算：(1）410A；(2）518A;(3）18131813AA.解：用计算器可得：由（2)(3）我们看到，51813181813AAA．那么，这个结果有没有一般性呢？即!()!nmnnnmnmAnAAnm.排列数的另一个计算公式：(1)(2)(1)mnAnnnnm元素，②按一定的顺序排列；（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同说明：（1）公式特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是1nm，共有m个因数；（2）全排列：当nm时即n个不同元素全部取出的一个排列全排列数：(1)(2)21!nnAnnnn（叫做n的阶乘）另外，我们规定0!=1.(1)(2)(1)()321()(1)321nnnnmnmnmnm!()!nnm=nnnmnmAA.即mnA=!()!nnm例2．解方程：3322126xxxAAA．解：由排列数公式得：3(1)(2)2(1)6(1)xxxxxxx，∵3x，∴3(1)(2)2(1)6(1)xxxx，即2317100xx，解得5x或23x，∵3x，且xN，∴原方程的解为5x．例3．解不等式：2996xxAA．解：原不等式即9!9!6(9)!(11)!xx，也就是16(9)!(11)(10)(9)!xxxx，化简得：2211040xx，解得8x或13x，又∵29x，且xN，所以，原不等式的解集为2,3,4,5,6,7．例4．求证：（1）nmnmnnnmAAA；（2）(2)!135(21)2!nnnn．证明：（1）!()!!()!mnmnnmnAAnmnnmnnA，∴原式成立（2）(2)!2(21)(22)43212!2!nnnnnnnn2(1)21(21)(23)312!nnnnnnn排列数定义出发解方程复习巩固本节课所学知识巩固排列数概念!13(23)(21)!nnnn135(21)n右边∴原式成立说明：（1）解含排列数的方程和不等式时要注意排列数mnA中，,mnN且mn这些限制条件，要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围；（2）公式(1)(2)(1)mnAnnnnm常用来求值，特别是,mn均为已知时，公式mnA=!()!nnm，常用来证明或化简例5．化简：⑴12312!3!4!!nn；⑵11!22!33!!nn⑴解：原式11111111!2!2!3!3!4!(1)!!nn11!n⑵提示：由1!1!!!nnnnnn，得!1!!nnnn，原式1!1n说明：111!(1)!!nnnn．例7．．(1）从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？(2）从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？解：(1）从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是35A=5×4×3=60.(2）由于有5种不同的书，送给每个同学的1本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学每人各1本书的不同方法种数是5×5×5=125.例8中两个问题的区别在于：(1）是从5本不同的书中选出3本分送3名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；而（2）中，由于不同的人得到的书可能相同，因此不符合使用排列数公式的条件，只能用分步乘法计数原理进行计算．重复数字的三位数的个数．从上述问题的解答过程可以看到，引师生分析，是否为排列问题排列的典型例题进排列的概念，以及推导求排列数的公式，可以更加简便、快捷地求解“从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有排列的个数”这类特殊的计数问题．四、课堂练习：1．若!3!nx，则x（）()A3nA()B3nnA()C3nA()D33nA2．与37107AA不等的是（）()A910A()B8881A()C9910A()D1010A3．若532mmAA，则m的值为（）()A5()B3()C6()D74．计算：5699610239!AAA；11(1)!()!nmmAmn．5．若11(1)!242mmmA，则m的解集是．6．（1）已知101095mA，那么m；（2）已知9!362880，那么79A=；（3）已知256nA，那么n；（4）已知2247nnAA，那么n．7．一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假定每股岔道只能停放1列火车）？学生练习教师讲解纠错