基本不等式知识梳理

第1页共9页基本不等式【考纲要求】1.了解基本不等式2abab的证明过程，理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2.会用基本不等式2abab解决最大（小）值问题.3.会应用基本不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题【知识网络】【考点梳理】考点一：重要不等式及几何意义1．重要不等式：如果,Rab，那么222abab（当且仅当ab时取等号“=”）.2．基本不等式：如果,ab是正数，那么2abab（当且仅当ab时取等号“=”）.要点诠释：222abab和2abab两者的异同：（1）成立的条件是不同的：前者只要求,ab都是实数，而后者要求,ab都是正数；（2）取等号“=”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当ab时取等号”。（3）222abab可以变形为：222abab，2abab可以变形为：2()2abab.3.如图，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，ACa,BCb，过点C作DCAB交圆于点D，连接AD、BD.基本不等式重要不等式222abab最大（小）值问题基本不等式2abab基本不等式的应用第2页共9页易证~RtACDRtDCB，那么2CDCACB，即CDab.这个圆的半径为2ba，它大于或等于CD，即abba2，其中当且仅当点C与圆心重合，即ab时，等号成立.要点诠释：1.在数学中，我们称2ba为,ab的算术平均数，称ab为,ab的几何平均数.因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2.如果把2ba看作是正数,ab的等差中项，ab看作是正数,ab的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.考点二：基本不等式2abab的证明1.几何面积法如图，在正方形ABCD中有四个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a、b，那么正方形的边长为22ab。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形ABCD的面积为22ab。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：222abab。当直角三角形变为等腰直角三角形，即ab时，正方形EFGH缩为一个点，这时有222abab。得到结论：如果+,Rab，那么222abab（当且仅当ab时取等号“=”）特别的，如果0a，0b,我们用a、b分别代替a、b，可得：如果0a，0b,则2abab，（当且仅当ab时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果0a，0b,2abab，（当且仅当ab时取等号“=”）2.代数法∵2222()0ababab，当ab时，2()0ab；第3页共9页当ab时，2()0ab.所以22()2abab，（当且仅当ab时取等号“=”）.特别的，如果0a，0b,我们用a、b分别代替a、b，可得：如果0a，0b,则2abab，（当且仅当ab时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果0a，0b,2abab，（当且仅当ab时取等号“=”）.要点三、用基本不等式2abab求最大（小）值在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。①一正：函数的解析式中，各项均为正数；②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。要点四、几个常见的不等式1）Rbaabba,222，当且仅当a=b时取“=”号。2）Rbaabba,2，当且仅当a=b时取“=”号。3）02baabba；特别地：021aaa；4）baababbaba22222,abR5）Rbababa,411；【典型例题】类型一：基本不等式2abab的理解例1.0a，0b，给出下列推导，其中正确的有（填序号）.（1）1abab的最小值为22；（2）11()()abab的最小值为4；（3）14aa的最小值为2.【解析】（1）；（2）（1）∵0a，0b，∴11222abababab（当且仅当22ab时取等号）.第4页共9页（2）∵0a，0b，∴112()()24abababab（当且仅当ab时取等号）.（3）∵0a，∴111442(4)42444aaaaaa，（当且仅当144aa即413aa，时取等号）∵0a，与3a矛盾，∴上式不能取等号，即124aa【总结升华】在用基本不等式求函数的最值时，必须同时具备三个条件：一正二定三取等，缺一不可.举一反三：【变式1】给出下面四个推导过程：①∵,abR，∴22ababbaba；②∵,xyR，∴lglg2lglgxyxy；③∵aR，0a，∴4424aaaa；④∵,xyR，0xy，∴[()()]2()()2xyxyxyyxyxyx.其中正确的推导为（）A.①②B.②③C.③④D.①④【解析】①∵,abR，∴,baRab，符合基本不等式的条件，故①推导正确.②虽然,xyR，但当(0,1)x或(0,1)y时，lg,lgxy是负数，∴②的推导是错误的.③由,aR不符合基本不等式的条件，∴4424aaaa是错误的.④由0,xy得,yxxy均为负数，但在推导过程中，将整体xyyx提出负号后，()()xyyx均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确.选D.【变式2】下列命题正确的是（）A.函数1yxx的最小值为2.B.函数2232xyx的最小值为2C.函数423(0)yxxx最大值为243D.函数423(0)yxxx的最小值为2【答案】C【解析】A选项中，∵0x，∴当0,x时由基本不等式12xx；第5页共9页当0x时12xx.∴选项A错误.B选项中，∵22222232112222xxyxxxx的最小值为2（当且仅当221x时，成立）但是222x，∴这是不可能的.∴选项B错误.C选项中，∵0x，∴44232(3)243yxxxx，故选项C正确。类型二：利用基本不等式2abab求最值例2．设0ab，则211()aabaab的最小值是A．1B．2C．3D．4【解析】221111()()11()()()4aaabababaababaabaababaabab当且仅当1()()1aabaababab即22,2ab时取等号.【答案】D举一反三：【变式1】若0x,求9()4fxxx的最大值.【解析】因为0x,所以0x,由基本不等式得:999()(4)(4)()2(4)()23612fxxxxxxx,（当且仅当94xx即32x时,取等号）故当32x时,9()4fxxx取得最大值12.【变式2】已知0x，求16()204fxxx的最大值.【解析】∵0x，∴0x，第6页共9页∴44()2()224xxxx（当且仅当4xx，即2x时，等号成立）∴4()204[()]20444fxxx（当且仅当4xx，即2x时，等号成立）故当2x时，()fx的最大值为4.例3.已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝14ab的最小值是A．72B．4C．92D．5【解析】∵0a,0b，∴1411414149()()(5)(52)2222babaababababab答案选C举一反三：【变式1】若0x,0y,且281xy,求xy的最小值.【解析】∵0x,0y，∴2828812xyxyxy（当且仅当2812xy即4x，16y时，等号成立）∴64xy（当且仅当4x，16y时，等号成立）故当4x，16y时，xy的最小值为64.【变式2】已知x＞0，y＞0，且191xy，求x+y的最小值。【解析】∵191xy，∴199()10yxxyxyxyxy∵x＞0，y＞0，∴9926yxyxxyxy（当且仅当9yxxy，即y=3x时，取等号）第7页共9页又191xy，∴x=4，y=12∴当x=4，y=12时，x+y取最小值16。类型三：基本不等式应用例4.设,xyR,1xy,求证：1125()()4xyxy【证明】11254xyxy222222222251042512104332041804124xyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxy1804xyxy成立举一反三：【变式1】已知3a，求证:473aa【解析】444(3)32(3)32437333aaaaaa（当且仅当433aa即5a,等号成立）.【例5】(2015春东城区期末)已知0,0,0abc，且1abc.(1)若abc则111111abc的值为.(2)求证：1111118abc【解析】(1)由题意可得13abc带入计算可得1111118abc第8页共9页(2)由题意和基本不等式可得20abab，20acac，20bcbc1abc111111112228abcabcabcabcabcbcacabbcacababcabc1111118abc举一反三：【变式】(2015石家庄一模)已知函数13fxxxm的定义域为R.(1)求实数m的取值范围.(2)若m的最大值为n，当正数a、b满足2132nabab时，求7a+4b的最小值.【解析】(1)因为函数的定义域为R,130xxm恒成立设函数13gxxx则m不大于gx的最小值13134xxxx即gx的最小值为4，4m(2)由(1)知n=421432abab1217462243222322211322955224234234ababababababababababababab当且仅当23abab时，即2ba时取等号.74ab的最小值为94类型四：基本不等式在实际问题中的应用例6.某农场有废弃的猪圈，留有一面旧墙长12m,现准备在该地区重新建立一座猪圈，平面图为矩形，面积为2112m，预计（1）修复1m旧墙的费用是建造1m新墙费用的25%，（2）拆去1m旧墙用以改造建成1m新墙的费用是建1m新墙的50%，（3）为安装圈门，要在围墙的适当处留出1m的空缺。试问：这里建造猪圈的围墙应怎样利用旧墙，才能使所需的总费用最小？【解析】显然，使旧墙全部得到利用，并把圈门留在新墙处为好。设修复成新墙的旧墙为xm,则拆改成新墙的旧墙为(12)xm，于是还需要建造新墙的长为1122242(1)(12)213.xxxxx第9页共9页设建造1m新墙需用a元，建造围墙的总造价为y元，则22425%(12)50%(213)yxaxaxax