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第1页基本不等式一．选择题（共26小题）1．若实数a，b满足+=，则ab的最小值为（）A．B．2C．2D．42．若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（）A．2B．3C．4D．53．如果函数f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[]上单调递减，那么mn的最大值为（）A．16B．18C．25D．4．在R上定义运算⊕：x⊗y=x（1﹣y）若对任意x＞2，不等式（x﹣a）⊗x≤a+2都成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，7]B．（﹣∞，3]C．（﹣∞，7]D．（﹣∞，﹣1]∪[7，+∞）5．已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则的最小值是（）A．2B．2C．4D．26．设x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（其中a＞0，b＞0）的最大值为3，则的最小值为（）A．4B．3C．2D．17．已知直线l1：a2x+y+2=0与直线l2：bx﹣（a2+1）y﹣1=0互相垂直，则|ab|的最小值为（）A．5B．4C．2D．18．已知正项等比数列{an}满足：a7=a6+2a5，若存在两项am，an，使得aman=16a12，则+的最小值为（）A．B．C．D．不存在9．若a＞0，b＞0，且a+2b﹣2=0，则ab的最大值为（）第2页A．B．1C．2D．410．已知不等式的解集为{x|a＜x＜b}，点A（a，b）在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则的最小值为（）A．B．8C．9D．1211．已知M是△ABC内的一点，且，∠BAC=，若△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为，x，y，则的最小值为（）A．16B．18C．20D．2412．已知向量=（3，﹣2），=（x，y﹣1）且∥，若x，y均为正数，则+的最小值是（）A．B．C．8D．2413．已知a＞0，b＞0，c＞0，且ab=1，a2+b2+c2=4，则ab+bc+ac的最大值为（）A．B．C．3D．414．设a＞0，b＞0，A（1，﹣2），B（a，﹣1），C（﹣b，0），若A、B、C三点共线，则+的最小值是（）A．3+2B．4C．6D．15．已知m，n是满足m+n=1，且使取得最小值的正实数．若曲线y=xα过点P（m，n），则α的值为（）A．﹣1B．C．2D．316．若正数x，y满足3x+y=5xy，则4x+3y的最小值是（）A．2B．3C．4D．517．若x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（）A．B．3C．D．4第3页18．已知正实数m，n满足m+n=1，且使取得最小值．若曲线y=xa过点P（，），则a的值为（）A．﹣1B．C．2D．319．已知a＞0，b＞1且2a+b=4，则+的最小值为（）A．8B．4C．2D．20．若4x+4y=1，则x+y的取值范围是（）A．[0，1]B．[﹣1，0]C．[﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]21．设a＞0，b＞0，若3是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．8B．C．4D．22．已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且BD=2AD，AE=2EC，点P是线段DE上的任意一点，若=x+y，则xy的最大值为（）A．B．C．D．23．设a＞0，b＞0．若4a+b=ab，则a+b的最小值是（）A．1B．5C．7D．924．小王从甲地到乙地的往返时速分别为a和b（a＜b），其全程的平均时速为v，则（）A．a＜v＜B．v=C．＜v＜D．v=25．已知x＞0，y＞0，若恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m≥4或m≤﹣2B．m≥2或m≤﹣4C．﹣2＜m＜4D．﹣4＜m＜226．已知二次函数f（x）=ax2+2x+c的值域是[0，+∞），那么的最小值是（）A．1B．2C．D．3二．填空题（共4小题）27．设x，y是正实数，且x+y=1，则的最小值是．第4页28．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x为（m）．29．实数a＞b＞c且a+b=1﹣c，a•b=c（c﹣1），则c的取值范围为．30．设实数a，b满足lg（a﹣1）+lg（b﹣1）=lg4，则a•b的取值范围是．第5页基本不等式一．选择题（共26小题）1．（2015•湖南）若实数a，b满足+=，则ab的最小值为（）A．B．2C．2D．4考点：基本不等式．菁优网版权所有专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：由+=，可判断a＞0，b＞0，然后利用基础不等式即可求解ab的最小值解答：解：∵+=，∴a＞0，b＞0，∵（当且仅当b=2a时取等号），∴，解可得，ab，即ab的最小值为2，故选：C．点评：本题主要考查了基本不等式在求解最值中的简单应用，属于基础试题2．（2015•福建）若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（）A．2B．3C．4D．5考点：基本不等式在最值问题中的应用．菁优网版权所有专题：不等式．分析：将（1，1）代入直线得：+=1，从而a+b=（+）（a+b），利用基本不等式求出即可．解答：解：∵直线+=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），∴+=1（a＞0，b＞0），所以a+b=（+）（a+b）=2++≥2+2=4，当且仅当=即a=b=2时取等号，∴a+b最小值是4，故选：C．点评：本题考察了基本不等式的性质，求出+=1，得到a+b=（+）（a+b）是解题的关第6页键．3．（2015•四川）如果函数f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[]上单调递减，那么mn的最大值为（）A．16B．18C．25D．考点：基本不等式在最值问题中的应用；利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用；不等式的解法及应用．分析：函数f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[]上单调递减，则f′（x）≤0，故（m﹣2）x+n﹣8≤0在[，2]上恒成立．而（m﹣2）x+n﹣8是一次函数，在[，2]上的图象是一条线段．故只须在两个端点处f′（）≤0，f′（2）≤0即可．结合基本不等式求出mn的最大值．解答：解：∵函数f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[]上单调递减，∴f′（x）≤0，故（m﹣2）x+n﹣8≤0在[，2]上恒成立．而（m﹣2）x+n﹣8是一次函数，在[，2]上的图象是一条线段．故只须在两个端点处f′（）≤0，f′（2）≤0即可．即由（2）得m≤（12﹣n），∴mn≤n（12﹣n）≤=18，当且仅当m=3，n=6时取得最大值，经检验m=3，n=6满足（1）和（2）．故选：B．解法二：∵函数f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[]上单调递减，∴①m=2，n＜8对称轴x=﹣，②即第7页③即设或或设y=，y′=，当切点为（x0，y0），k取最大值．①﹣=﹣2．k=2x，∴y0=﹣2x0+12，y0==2x0，可得x0=3，y0=6，∵x=3＞2∴k的最大值为3×6=18②﹣=﹣．，k=，第8页y0==，2y0+x0﹣18=0，解得：x0=9，y0=∵x0＜2∴不符合题意．③m=2，n=8，k=mn=16综合得出：m=3，n=6时k最大值k=mn=18，故选；B点评：本题综合考查了函数方程的运用，线性规划问题，结合导数的概念，运用几何图形判断，难度较大，属于难题．4．（2015•河东区一模）在R上定义运算⊕：x⊗y=x（1﹣y）若对任意x＞2，不等式（x﹣a）⊗x≤a+2都成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，7]B．（﹣∞，3]C．（﹣∞，7]D．（﹣∞，﹣1]∪[7，+∞）考点：其他不等式的解法．菁优网版权所有专题：压轴题；新定义；不等式的解法及应用．分析：由x⊗y=x（1﹣y），把（x﹣a）⊗x≤a+2转化为（x﹣a）（1﹣x）≤a+2，由任意x＞2，不等式（x﹣a）⊗x≤a+2都成立，知a≤．令f（x）=，x＞2，则a≤[f（x）]min，x＜2．由此能求出结果．解答：解：∵x⊗y=x（1﹣y），∴（x﹣a）⊗x≤a+2转化为（x﹣a）（1﹣x）≤a+2，∴﹣x2+x+ax﹣a≤a+2，a（x﹣2）≤x2﹣x+2，∵任意x＞2，不等式（x﹣a）⊗x≤a+2都成立，∴a≤．令f（x）=，x＞2，则a≤[f（x）]min，x＞2而f（x）===（x﹣2）++3第9页≥2+3=7，当且仅当x=4时，取最小值．∴a≤7．故选：C．点评：本题考查了在新定义下对函数恒成立问题的应用．关于新定义型的题，关键是理解定义，并会用定义来解题．5．（2015•武清区模拟）已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则的最小值是（）A．2B．2C．4D．2考点：基本不等式．菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用．分析：利用对数的运算法则和基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵lg2x+lg8y=lg2，∴lg（2x•8y）=lg2，∴2x+3y=2，∴x+3y=1．∵x＞0，y＞0，∴==2+=4，当且仅当x=3y=时取等号．故选C．点评：熟练掌握对数的运算法则和基本不等式的性质是解题的关键．6．（2014秋•许昌月考）设x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（其中a＞0，b＞0）的最大值为3，则的最小值为（）A．4B．3C．2D．1考点：基本不等式；简单线性规划．菁优网版权所有专题：计算题；作图题．分析：本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再根据目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为3，求出a，b的关系式，再利用基本不等式求出的最小值．解答：解：满足约束条件的区域是一个三角形，如图第10页3个顶点是A（﹣3，0），B（﹣2，0），C（1，2），由图易得目标函数在（1，2）取最大值3，即a+2b=3．∴=（a+2b）•（）=（1+4++）≥×9=3（当且仅当a=b=1时取“=”）．故选B．点评：本题考查的知识点是线性规划，作出线性规划的图形是关键，明确目标函数过点C（1，2）其最优解为3是难点，属于中档题．7．（2015•嘉兴一模）已知直线l1：a2x+y+2=0与直线l2：bx﹣（a2+1）y﹣1=0互相垂直，则|ab|的最小值为（）A．5B．4C．2D．1考点：基本不等式；直线的一般式方程与直线的垂直关系．菁优网版权所有专题：计算题．分析：由题意可知直线的斜率存在，利用直线的垂直关系，求出a，b关系，然后求出ab的最小值．解答：解：∵直线l1与l2的斜率存在，且两直线垂直，∴a2b﹣（a2+1）=0，∴b=＞0，当a＞0时，|ab|=ab=a+≥2；当a＜0时，|ab|=﹣ab=﹣a﹣≥2，综上，|ab|的最小值为2．故选C点评：此题考查了直线的一般式方程与直线的垂直关系，以及基本不等式的运用，熟练掌握直线垂直时满足的关系是解本题的关键．第11页8．（2015•河南模拟）已知正项等比数列{an}满足：a7=a6+2a5，若存在两项am，an，使得aman=16a12，则+的最小值为（）A．B．C．D．不存在考点：基本不等式；等比数列的通项公式．菁优网版权所有专题：常规题型；高考数学专题．分析：应先从等比数列入手，利用通项公式求出公比q，然后代入到aman=16a12中，可得到关于m，n的关系式，再利用基本不等式的知识解决问题．解答：解：设正项等比数列{an}的公比为q，易知q≠1，由a7=a6+2a5，得到a6q=a6+2，解得q=﹣1或q=2，因为{an}是正项等比数列，所以q＞0，因此，q=﹣1舍弃．所以，q=2因为aman=16a12，所以，所以m+n=6，（m＞0，n＞0），所以≥，当且仅当m+n=6，即m=2，n=4时等号成立．故选A点评：对等比数列的考查一定要突出基本量思想，常规思路一般利用同项、求和公式，利用首项，公比表示已知，进一步推出我们需要的隐含条件或结论；基本不等式要重视其适用条件的判断，这里容易在取“=”时出错．9．（2015•泉州校级模拟）若a＞0，b＞0，且a+2b﹣2=0，则ab的最大