基本不等式课件

§3.4基本不等式2002年国际数学家大会会标创设情境、体会感知：三国时期吴国数学家赵爽ADCBc22abHGFEab问：那么它们有相等的情况吗？何时相等？图形演示一、探究易得:222abab即:(当时,=号成立)ba结论：一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立222abab问5：当a,b为任意实数时，还成立吗？形数此不等式称为重要不等式222abab2.代数意义：几何平均数小于等于算术平均数2.代数证明:3.几何意义：半弦长小于等于半径(0,0)2ababab（当且仅当a=b时，等号成立）二、新课讲解算术平均数几何平均数3.几何证明:从数列角度看:两个正数的等比中项小于等于它们的等差中项1.思考:如果当用去替换中的,能得到什么结论?0,0ba,ab222ababba,基本不等式基本不等式：当且仅当a=b时，等号成立.当且仅当a=b时，等号成立.222(ababaR、b）重要不等式：(0,0)2ababab注意：（1）不同点：两个不等式的适用范围不同。（2）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。构造条件三、应用0,02ababab（）20,0ababab（）例1、若,求的最小值.10xyxx变3:若,求的最小值.133xyxx变2:若,求的最小值.0,0baabyab发现运算结构，应用不等式问:在结论成立的基础上,条件“a0,b0”可以变化吗？变1:若求的最小值,0xxxy230,02ababab（）0,02ababab2（）三、应用例2、已知,求函数的最大值.01(1)xyxx变式:已知,求函数的最大值.10(12)2xyxx发现运算结构，应用不等式应用要点：一正数二定值三相等结论1：两个正数积为定值，则和有最小值结论2：两个正数和为定值，则积有最大值3.已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时,两条直角边的和最小，最小值是多少？4.用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应怎样折？四、巩固.,,3,6,.2.,,,6,.1nmnmmnnmnmmnnmnm此时值有最则满足若正数此时值有最则满足若正数大933小262322100mxy例3．用篱笆围一个面积为的矩形菜园,问该矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短，最短的篱笆是多少?2100m三、应用解:(1)设矩形菜园的长为,宽为,则,篱笆的长为.xm100xyymmyx)(2xyyx2由1002yx等号当且仅当时成立,此时因此,这个矩形的长和宽都是10m时,所用的篱笆最短,最短为40myx10yx402　yx得即1、本节课主要内容？你会了吗？五、小结2、两个结论:两个正数,积定和最小;和定积最大。.,.)2()2(;2)1(:2号成立时当且仅当即babaababba作业课本P100习题3.4A组第1,2题再见!证明:要证abba2只要证ba()①②要证②，只要证ba0()③要证③，只要证（－)20ab2ab2ab④ba显然:是成立的,当且仅当时④④中的等号成立.证明:当时,.abba20,0baoabABPQ1.如图,AB是圆o的直径，Q是AB上任一点，AQ=a,BQ=b,过点Q作垂直于AB的弦PQ，连AP,BP,则半弦PQ=____,半径AO=_____ab2ba几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长动态演示你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?2.PQ与AO的大小关系怎样?2,1,1212101,0:minyxxxxxxxyxx时即当解62,36,23622322302,03,0:minyxxxxxxxyxxx时即当解5,4,313532331)3(2331331031,03,3:minyxxxxxxxxxyxxx时即当解