剪力弯矩计算

杆件的内力及其求法梁的内力图及其绘制弯矩、剪力、荷载集度间的关系叠加法作剪力图和弯矩图其它杆件的内力计算方法小结第一节第二节第三节第四节第五节返回第一节杆件的内力及其求法一、杆件的外力与变形特点平面弯曲—荷载与反力均作用在梁的纵向对称平面内，梁轴线也在该平面内弯成一条曲线。1.弯曲—梁（横向力作用）受力特点：垂直杆轴方向作用外力，或杆轴平面内作用外力偶；变形特点：杆轴由直变弯。单跨静定梁的基本形式：返回下一张上一张小结返回下一张上一张小结2、轴向拉伸与压缩—杆（纵向力作用）受力特点：外力与杆轴线方向重合；变形特点：杆轴沿外力方向伸长或缩短。3、扭转—轴（外力偶作用）受力特点：外力偶作用在垂直杆轴平面内；变形特点：截面绕杆轴相对旋转。4、组合变形—两种或两种以上基本变形的组合。返回下一张上一张小结返回下一张上一张小结二、梁的内力及其求法1、剪力和弯矩的概念图示简支梁在荷载及支座反力共同作用下处于平衡状态。求距支座A为x的横截面m-m.上的内力。用截面法求内力。步骤：1)截开2)代替内力—外力引起的受力构件内相邻部分之间相互作用力的改变量。杆件横截面上的内力有：轴力，剪力，弯矩，扭矩等。剪力Q——限制梁段上下移动的内力;弯矩M——限制梁段转动的内力偶。单位：剪力QKN,N；弯矩MKN.m，N.m3)平衡0Y0QRAARQ0oM0xRMAoxRMAo若取右半段梁为研究对象,可得：QQ'ooMM'返回下一张上一张小结返回下一张上一张小结1）剪力Q：截面上的剪力Q使所取脱离体产生顺时针转动趋势时（或者左上右下）为正，反之为负。2）弯矩M：截面上的弯矩M使所取脱离体产生下边凸出的变形时（或者左顺右逆）为正，反之为负。为避免符号出错,要求：未知内力均按符号规定的正向假设。返回下一张上一张小结2、剪力和弯矩的符号规定返回下一张上一张小结例3-1：悬臂梁如图所示。求1-1截面和2-2截面上的剪力和弯矩。解：1）求1-1截面上的内力0YqlPQ21100M218121qlPlM0211QqlP04)21(21MlqllP求得的Q1、M1均为负值,说明内力实际方向与假设方向相反。矩心O是1-1截面的形心。2）求2-2截面上的内力0YqlPQ200M2221qlPlM02QqlP02)(2MlqllP求得的Q2、M2均为负值,说明内力实际方向与假设方向相反。矩心O1是2-2截面的形心。返回下一张上一张小结返回下一张上一张小结例3-2外伸梁如图，试求1-1，2-2截面上的剪力和弯矩。解：1、求支座反力：由整体平衡0638,021ABYPPMkNYA140632,021BAYPPMkNYB9校核：反力无误。020391421PPYYYBA2、求1-1截面上的内力：取左半段研究0,011QPYYAkNPYQA1131411013,011MYPMAo矩心o—1-1截面形心3、求2-2截面上的内力：取右半段研究0,02BYQYkNYQB9205.1,02'MYMBomkNPYMA53111mkNYMB5.135.12若取左半段梁研究，则0',0221QPPYYAkNPPYQA920314'2120'5.15.65.4,0221'MPPYMAomkNPPYMA5.135.15.65.4'212矩心o’—2-2截面形心返回下一张上一张小结返回下一张上一张小结3、直接法求梁的内力：（由外力直接求梁横截面上的内力）（1）梁任一横截面上的剪力在数值上等于该截面一侧（左侧或右侧）所有外力沿截面方向投影的代数和；iQPQ符号规定：外力使截面产生顺时针转动趋势时（或左上右下）该截面剪力为正，否则为负；（2）梁任一横截面上的弯矩在数值上等于该截面一侧（左侧或右侧）所有外力对截面形心力矩的代数和；)(iQoPMM符号规定：外力使梁段产生上凹下凸变形时（或左顺右逆）该截面弯矩为正，否则为负；计算时可按二看一定的顺序进行：一看截面一侧有几个力，二看各力使梁段产生的变形，最后确定该截面内力的数值。返回下一张上一张小结返回下一张上一张小结返回下一张上一张小结返回下一张上一张小结例3-3：简支梁如图所示。试计算1-1、2-2、3-3、4-4截面上的剪力和弯矩。解：1）求支座反力0AM0322LVLPpLB0MB06P7P6PVPVYBA61PVQA)(6032PVLVLPPLAA2）计算截面内力1-1截面：)(67PVB反力无误。校核1831PLLVMA2-2截面：62PVQA9423632PLPLLpmLVMA3-3截面：63PVQA1872326)33(3PLPLLPmLLVMA4-4截面:674PVQB18736734PLLPLVMB返回下一张上一张小结返回下一张上一张小结第二节梁的内力图及其绘制梁各截面的内力随截面位置而变化，其函数关系式Qx=Q(x),Mx=M(x)称作剪力方程和弯矩方程。列内力方程即求任意截面的内力。qxPxQ)(221)(qxPxxM反映剪力（弯矩）随截面位置变化规律的曲线，称作剪力（弯矩）图。二、剪力图和弯矩图的作法：取平行梁轴的轴线表示截面位置，规定正值的剪力画轴上侧，正值的弯矩画轴下侧；可先列内力方程再作其函数曲线图。)0(lx)0(lx如悬臂梁：当x=o,Q(x)=-P,M(x)=0;x=l,Q(x)=-P-ql,M(x)=-Pl-ql2/2.其剪力图和弯矩图如图示。221qlPl返回下一张上一张小结一、剪力图和弯矩图的概念返回下一张上一张小结例3-4作图示悬臂梁的内力图。解：1.列内力方程：（先确定x坐标，再由直接法求x截面的内力。）)0(,)(lxPxQ)0(,)(lxPxxM2.作内力图：（先取坐标系确定端点坐标，再按内力方程特征绘图。）Q(x)等于常数，为水平线图形；由;)(,,)0(,0PlQlxPQx作剪力图M(x)等于x的一次函数，为斜直线图形；由;)(,;0)0(,0PllMlxMx作弯矩图结论：当梁段上没有荷载q作用时，剪力图为水平线，弯矩图为斜直线。返回下一张上一张小结返回下一张上一张小结例3-5作图示简支梁的内力图。解：1.列内力方程：先求支座反力)0(,21)(lxqxqlqxVxQA)0(),(2121)(22lxxlxqqxxVxMA利用对称性：)(21qlVVBA2.作内力图：Q(x)为x的一次函数，Q图为斜直线；;21)(,;21)0(,0qllQlxqlQx作M(x)为x的二次函数，M图为抛物线；;81)2(,2;0)(,;0)0(,02qllMlxlMlxMx结论：当梁段上有均布荷载q作用时，Q图为斜直线，M图为二次抛物线。作返回下一张上一张小结返回下一张上一张小结例3-6作图示简支梁的内力图。解：1.列内力方程：求支座反力：由整体平衡),(lPbVA);(lPaVB校核无误。因P作用，内力方程应分AC和CB两段建立。AC段：)0(;)(,)(axxlPbxVxMlPbVxQAACB段：);()()(,)(1111xllPaxlVxMlPaVxQBB)(1lxa2.作内力图：)0(;)(,)(2222bxxlPaxMlPaxQ;0)0(,)0(,0MlPaQx;0)(,)(,aMlPbaQax;)(,)(),(,21lPabaMlPbaQbxax.0)(,)(),0(,21lMlPalQxlxAC段：CB段：返回下一张上一张小结返回下一张上一张小结结论：在集中力P作用截面，Q图发生突变，突变值等于该集中力P的大小；M图有尖角，尖角的指向与集中力P相同。内力函数的不连续是由于将集中力的作用范围简化为一个点的结果。若考虑集中力为微梁段上的均布荷载，则C截面的Q图和M图应为斜直线和抛物线。因此，当谈到集中力作用出的剪力时，必须指明是集中力的左侧截面（C左）还是集中力的右侧截面（C右）。返回下一张上一张小结返回下一张上一张小结例3-7作图示简支梁的内力图。解：1.列内力方程：求支座反力)(lmVVBA校核无误。AC段：)0(;)(,)(axxlmxMlmxQCB段：)();()(,)(1111lxaxllmxMlmxQ)0(;)(,)(2222bxxlmxMlmxQ2.作内力图：;0)0(,)0(:0MlmQx;)(,)(:lmaaMlmaQax;)(,)(:1lmbaMlmaQax.0)(,)(:1lMlmlQlxAC段：CB段：结论：在集中力偶作用截面，Q图不受影响；M图有突变，突变值等于该集中力偶的力偶矩。（谈弯矩时，必须指明集中力偶作用截面的左侧或者右侧。）返回下一张上一张小结返回下一张上一张小结第三节弯矩、剪力、荷载集度间的关系一、弯矩、剪力、荷载集度间的关系由梁微段的平衡条件：0)()]()([)(,0dxxqxdQxQxQY))......(()(axqdxxdQ;02)()()()]()([,0dxdxxqdxxQxMxdMxMMO(Mo—矩心O取在右侧截面的形心。)))......(()(bxQdxxdM将(b)代入(a)，))......(()(22cxqdxxMd(a)、(b)、(c)三式即Q、M、q间的关系。力学意义：微分形式的平衡方程；几何意义：反映内力图的凹凸性；（一阶导数反映切线斜率；二阶导数反映曲线凹凸性。）返回下一张上一张小结返回下一张上一张小结二、M、Q、q三者间关系在内力图绘制中的应用（内力图特征）q=0梁段q=c梁段P作用截面m作用梁段梁上外力剪力图弯矩图返回下一张上一张小结返回下一张上一张小结例3-8：用简捷法绘出图示简支梁的内力图。解：1）计算支座反力)(KN6VA)(18KNVB0461864qVVYBAKNqVQKNQABC184664,6KNVQQAcA6,0AM0)(qxVxQBmqVxB3618mKNqVMB2723330mKNVMAC122在Q=0处，弯矩有极值,数值为：由BC段：AB段：BC段：AB段：3）画内力图：（先求控制截面内力值，再按内力图特征画图。）剪力图校核无误。2)梁分段：为AC,CB两段。弯矩图返回下一张上一张小结4）确定内力最大值：,18||maxkNQ在B支座处。,.27||maxmkNM在距B支座3m处。返回下一张上一张小结0BMm,24KN122AVCM三、简捷法绘梁内力图的步骤：1.求支座反力；（注意校核！悬臂梁可省略。）2.将梁分段；（以梁上荷载变化处为界，包括：P、m作用点，q的起止点，梁的支座和端点等。）3.绘内力图；（先确定控制截面内力值，再按绘图，最后用内力图特征检验。控制截面即梁分界截面。注意P、m作用处应取两侧截面。）4.确定内力最大值及其位置。(从图上直接找。)maxmax||,||MQ简捷法绘梁内力图的关键是：正确确定控制截面内力值（一般用直接法）；熟记内力图的特征。确定控制截面内力值的方法有三种：1）截面法；（三个步骤，两套符号规定。）2）直接法；（由外力定内力符号看梁的变形。）3）积分法。（微分关系逆运算的应用。）返回下一张上一张小结返回下一张上一张小结内力图特征＊3）积分法求指定截面的内力：假定梁段上从左向右依次有A、B两个点，A点的QA、MA已知，可由此计算