2020高考数学专题练习外接球

2020高考数学专题练习外接球1．正棱柱，长方体的外接球球心是其中心例1：已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为，体积为，则这个球的表面积是（）A．B．C．D．2．补形法（补成长方体）例2：若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是．3．依据垂直关系找球心例3：已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（）A．B．C．D．一、单选题1．棱长分别为2、、的长方体的外接球的表面积为（）41616π20π24π32πcab图1CPABabc图2PCBAabc图3CBPAabc图4PCO2BA3PABCABC△6BABCπ2ABC8π16π16π332π335A．B．C．D．2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．12πB．28πC．44πD．60π3．把边长为3的正方形沿对角线对折，使得平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．4．某几何体是由两个同底面的三棱锥组成，其三视图如下图所示，则该几何体外接球的面积为（）A．B．C．D．5．三棱锥的所有顶点都在球的表面上，平面，，，则球的表面积为（）A．B．C．D．6．如图是边长为1的正方体，是高为1的正四棱锥，若点，，，，在同一个球面上，则该球的表面积为（）4π12π24π48π23ABCDACABCADCDABC32π27π18π9π2πa22πa23πa24πaABCDOABBCD2BCBD243ABCDO16π32π60π64π1111ABCDABCDSABCDS1A1B1C1DA．B．C．D．7．已知球的半径为，，，三点在球的球面上，球心到平面的距离为，，，则球的表面积为（）A．B．C．D．8．已知正四棱锥(底面四边形是正方形，顶点P在底面的射影是底面的中心)的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为，若该正四棱锥的体积为，则此球的体积为（）A．B．C．D．9．如图，在中，，，点为的中点，将沿折起到的位置，使，连接，得到三棱锥．若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A．B．C．D．10．四面体中，，，，则此四面9π1625π1649π1681π16ORABCOOABC12R2ABAC120BACO16π916π364π964π3PABCDABCD1050318π8636π323πABC△6ABBC90ABCDACABD△BDPBD△PCPDPCPBCD7π5π3ππABCD60ABCABDCBD3AB2CBDB体外接球的表面积为（）A．B．C．D．11．将边长为2的正沿着高折起，使，若折起后四点都在球的表面上，则球的表面积为（）A．B．C．D．12．在三棱锥中，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．二、填空题13．棱长均为6的直三棱柱的外接球的表面积是_________．14．已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为，则该正四棱锥内切球的表面积为________．15．已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，，，，则此球的表面积等于______．16．在三棱锥中，，，，，则三棱锥外接球的体积的最小值为_____．19π21938π2417π1717π6ABC△AD120BDCABCD、、、OO7π27π13π213π3ABCD6ABCD5ACBDADBC4343π244343π643π243π163111ABCABC32AB1AC60BACABCDABACDBDC4ABDBABBDABCD1．正棱柱，长方体的外接球球心是其中心例1：已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A．16πB．20πC．24πD．32π【答案】C【解析】162haV，2a，24164442222haaR，24πS，故选C．2．补形法（补成长方体）例2：若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是．【答案】9π【解析】933342R，24π9πSR．3．依据垂直关系找球心cab图1CPABabc图2PCBAabc图3CBPAabc图4PCO2BA例3：已知三棱锥PABC的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC△满足6BABC，π2ABC，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（）A．8πB．16πC．16π3D．32π3【答案】D【解析】因为ABC△是等腰直角三角形，所以外接球的半径是11232r，设外接球的半径是R，球心O到该底面的距离d，如图，则1632ABCS△，3BD，由题设116336ABCVShh△，最大体积对应的高为3SDh，故223Rd，即2233RR，解之得2R，所以外接球的体积是3432ππ33R，故答案为D．一、单选题1．棱长分别为2、3、5的长方体的外接球的表面积为（）A．4πB．12πC．24πD．48π【答案】B【解析】设长方体的外接球半径为R，由题意可知：22222235R，则：23R，该长方体的外接球的表面积为24π4π312πSR．本题选择B选项．2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为23，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．12πB．28πC．44πD．60π【答案】B【解析】设底面三角形的外接圆半径为r，由正弦定理可得：232sin60r，则2r，设外接球半径为R，结合三棱柱的特征可知外接球半径222327R，外接球的表面积24π28πSR．本题选择B选项．3．把边长为3的正方形ABCD沿对角线AC对折，使得平面ABC平面ADC，则三棱锥DABC的外接球的表面积为（）A．32πB．27πC．18πD．9π【答案】C【解析】把边长为3的正方形ABCD沿对角线AC对折，使得平面ABC平面ADC，则三棱锥DABC的外接球直径为32AC，外接球的表面积为24π18πR，故选C．4．某几何体是由两个同底面的三棱锥组成，其三视图如下图所示，则该几何体外接球的面积为（）A．2πaB．22πaC．23πaD．24πa【答案】C【解析】由题可知，该几何体是由同底面不同棱的两个三棱锥构成，其中底面是棱长为2a的正三角形，一个是三条侧棱两两垂直，且侧棱长为a的正三棱锥，另一个是棱长为2a的正四面体，如图所示：该几何体的外接球与棱长为𝑎的正方体的外接球相同，因此外接球的直径即为正方体的体对角线，所以2223232RaaaaRa，所以该几何体外接球面积22234π4π3π2SRaa，故选C．5．三棱锥ABCD的所有顶点都在球O的表面上，AB平面BCD，2BCBD，243ABCD，则球O的表面积为（）A．16πB．32πC．60πD．64π【答案】D【解析】因为2BCBD，23CD，所以22222231cos2222CBD，2π3CBD，因此三角形BCD外接圆半径为122sinCDCBD，设外接球半径为R，则222=2+412162ABR，2=4π64πSR，故选D．6．如图1111ABCDABCD是边长为1的正方体，SABCD是高为1的正四棱锥，若点S，1A，1B，1C，1D在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．9π16B．25π16C．49π16D．81π16【答案】D【解析】如图所示，连结11AC，11BD，交点为M，连结SM，易知球心O在直线SM上，设球的半径ROSx，在1RtOMB△中，由勾股定理有：22211OMBMBO，即：222222xx，解得：98x，则该球的表面积229814π4ππ816SR．本题选择D选项．7．已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为12R，2ABAC，120BAC，则球O的表面积为（）A．16π9B．16π3C．64π9D．64π3【答案】D【解析】由余弦定理得：44222cos12023BC，设三角ABC外接圆半径为r，由正弦定理可得：232sin120r，则2r，又22144RR，解得：2163R，则球的表面积2644ππ3SR．本题选择D选项．8．已知正四棱锥PABCD(底面四边形ABCD是正方形，顶点𝑃在底面的射影是底面的中心)的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为10，若该正四棱锥的体积为503，则此球的体积为（）A．18πB．86C．36πD．323π【答案】C【解析】如图，设正方形ABCD的中点为E，正四棱锥PABCD的外接球心为O，底面正方形的边长为10，5EA，正四棱锥的体积为503，21501033PABCDVPE，则5PE，5OER，在AOE△中由勾股定理可得：2255RR，解得3R，34π36π3VR球，故选C．9．如图，在ABC△中，6ABBC，90ABC，点D为AC的中点，将ABD△沿BD折起到PBD△的位置，使PCPD，连接PC，得到三棱锥PBCD．若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A．7πB．5πC．3πD．π【答案】A【解析】由题意得该三棱锥的面PCD是边长为3的正三角形，且BD平面PCD，设三棱锥PBDC外接球的球心为O，PCD△外接圆的圆心为1O，则1OO面PCD，∴四边形1OODB为直角梯形，由3BD，11OD，及OBOD，得72OB，∴外接球半径为72R，∴该球的表面积274π4π7π4SR．故选A．10．四面体ABCD中，60ABCABDCBD，3AB，2CBDB，则此四面体外接球的表面积为（）A．19π2B．1938π24C．17πD．1717π6【答案】A【解析】由题意，BCD△中，2CBDB，60CBD，可知BCD△是等边三角形，3BF，∴BCD△的外接圆半径233rBE，33FE，∵60ABCABD，可得7ADAC，可得6AF，∴AFFB，∴AFBCD，∴四面体ABCD高为6AF．设外接球R，O为球心，OEm，可得：222rmR……①，2226πEFR……②由①②解得：198R．四面体外接球的表面积：2194ππ2SR．故选A．11．将边长为2的正ABC△沿着高AD折起，使120BDC，若折起后ABCD、、、四点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）A．7π2B．7πC．13π2D．13π3【答案】B【解析】BCD△中，1BD，1CD，120BDC，底面三角形的底面外接圆圆心为M，半径为r，由余弦定理得到3BC，再由正弦定理得到321sin120rr，见图示：AD是球的弦，3DA，将底面的圆心M平行于AD竖直向上提起，提起到AD的高度的一半，即为球心的位置O，∴32OM，在直角三角形OMD中，应用勾股定理得到OD，OD即为球的半径．∴球的半径37142OD．该球的表面积为24π7πOD；故选B．12．在三棱锥ABCD中，6ABCD，5ACBDADBC，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．4343π24B．4343π6C．43π2D．43π【答案】D【解析】分别取AB，CD的中点E，F，连接相应的线段CE，ED，EF，由条件，4ABCD，5BCACADBD，可知，ABC△与ADB△，都是等腰三角形，AB平面ECD，∴ABEF，同理CDEF，∴EF是AB与CD的公垂线，球心G在EF上，推导出AGBCGD△≌△，可以证明G为EF中点，2594DE