三角函数单元检测及答案

三角函数单元检测及答案一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填在题)1．角α，β的终边关于x轴对称，若α＝30°，则β＝________.2．已知函数f(x)＝2x3，x0，－tanx，0≤xπ2，则f(f(π4))＝________.3．函数y＝3cos(25x－π6)的最小正周期是________．4．已知角θ的终边经过点P(－4cosα，3cosα)(π2＜α＜3π2)，则sinθ＋cosθ＝________.5．如果sin(π＋A)＝－12，则cos(32π－A)＝________.6．已知tanθ＝2，则sinθsin3θ－cos3θ＝________.7．已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________．8．函数y＝25－x2＋log3sin(π－x)的定义域为________．9．函数y＝2cos(x－π3)(π6≤x≤2π3)的最大值和最小值之积为________．10．将函数y＝sin(3x＋π4)的图象向右平移π8个单位，再将图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍(纵坐标不变)，则所得的函数解析式是________．11．设ω＞0，函数y＝sin(ωx＋π3)＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是________．12．如图1为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(ω＞0，A＞0，|φ|＜π2)图象的一部分，则f(x)的解析式为________．13．函数y＝2sin(2x＋π3)在[0，π]上的单调增区间为________．14．关于函数f(x)＝4sin(2x＋π3)(x∈R)，有下列命题：①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2必是π的整数倍；②y＝f(x)的表达式可改为y＝4cos(2x－π6)；1③y＝f(x)的图象关于点(－π6，0)对称；④y＝f(x)的图象关于直线x＝－π6对称．其中正确的命题是________．(把你认为正确的命题序号都填上)二、解答题(本大题共6小题，共计90分．)15．求值sin2120°＋cos180°＋tan45°－cos2(－330°)＋sin(－210°)．16．已知α是第三象限角，且f(α)＝sinα－π2cos3π2＋αtanπ－αtan－α－π·sin－π－α.17．已知函数y＝asin(2x＋π6)＋b在x∈[0，π2]上的值域为[－5,1]，求a，b的值．18．已知函数f(x)＝2sin(2x＋π6)＋a＋1(其中a为常数)．(1)求f(x)的单调区间；(2)若x∈[0，π2]时，f(x)的最大值为4，求a的值；(3)求f(x)取最大值时x的取值集合．219．将函数y＝f(x)的图象上各点的纵坐标缩短到原来的13倍，再将曲线上各点的横坐标缩短到原来的12倍，然后把整个曲线向左平移π3，得到函数y＝sinx的图象，求函数f(x)的解析式，并画出函数y＝f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图．20．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的一系列对应值如下表：x－π6π35π64π311π67π317π6y－1131－113(1)根据表格提供的数据求出函数f(x)的一个解析式；(2)根据(1)的结果，若函数y＝f(kx)(k＞0)的周期为2π3，当x∈[0，π3]时，方程f(kx)＝m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．31.【解析】画出图形可知β的终边与－α的终边相同，故β＝－30°＋k·360°，k∈Z.【答案】－30°＋k·360°，k∈Z2.【解析】∵π4∈[0，π2)，∴f(π4)＝－tanπ4＝－1，∴f(f(π4))＝f(－1)＝2×(－1)3＝－2.【答案】－23.【解析】T＝2π25＝5π.【答案】5π4.解析】∵r＝－4cosα2＋3cosα2＝5|cosα|＝－5cosα，∴sinθ＝3cosα－5cosα＝－35，cosα＝－4cosα－5cosα＝45.∴sinθ＋cosθ＝－35＋45＝15.【答案】155.【解析】sin(π＋A)＝－sinA＝－12，∴sinA＝12，cos(32π－A)＝cos[π＋(π2－A)]＝－cos(π2－A)＝－sinA＝－12.【答案】－126.【解析】sinθsin3θ－cos3θ＝sinθsin2θ＋cos2θsin3θ－cos3θ＝tan3θ＋tanθtan3θ－1＝23＋223－1＝107.【答案】1077.【解析】设扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r，弧长为l，则l＋2r＝6，12lr＝2，解得r＝1，l＝4，或r＝2，l＝2，∴α＝4或α＝1.【答案】1或48.【解析】∵y＝25－x2＋log3sin(π－x)＝25－x2＋log3sinx，∴要使函数有意义，则25－x2≥0，sinx0，∴－5≤x≤5，2kπx2kπ＋πk∈Z，∴－5≤x－π或0xπ.【答案】[－5，－π)∪(0，π)9.【解析】∵π6≤x≤23π，∴－π6≤x－π3≤π3，∴12≤cos(x－π3)≤1，∴1≤2cos(x－π3)≤2，故所求最大值和最小值之积1×2＝2.【答案】2410.【解析】y＝sin(3x＋π4)向右平移π8个单位得y＝sin[3(x－π8)＋π4]，再将图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍(纵坐标不变)，得到y＝sin(x－π8)．【答案】y＝sin(x－π8)11.【解析】由函数的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，得43π是此函数周期的整数倍．又ω＞0，∴2πω·k＝43π(k∈Z)，∴ω＝32k(k∈Z)，∴ωmin＝32.【答案】3212.【解析】A＝3－－12＝2，B＝3＋－12＝1，由图可知2sinφ＝1，|φ|＜π2，所以φ＝π6，所以2sin(－πω＋π6)＋1＝－1，可得－πω＋π6＝－π2，所以ω＝23，所以f(x)＝2sin(23x＋π6)＋1.【答案】2sin(23x＋π6)＋113.【解析】由－π2＋2kπ≤2x＋π3≤π2＋2kπ(k∈Z)，解得－512π＋kπ≤x≤π12＋kπ(k∈Z)，令k＝0,1得所求单调递增区间为[0，π12]，[712π，π]．【答案】[0，π12]，[712π，π]14.【解析】函数f(x)＝4sin(2x＋π3)的最小正周期T＝π，由相邻两个零点的横坐标间的距离是T2＝π2知①错．利用诱导公式得f(x)＝4cos[π2－(2x＋π3)]＝4cos(π6－2x)＝4cos(2x－π6)，知②正确．由于曲线f(x)与x轴的每个交点都是它的对称中心，将x＝－π6代入得f(x)＝4sin[2×(－π6)＋π3]＝4sin0＝0，因此点(－π6，0)是f(x)图象的一个对称中心，故命题③正确．曲线f(x)的对称轴必经过图象的最高点或最低点，且与y轴平行，而x＝－π6时y＝0，点(－π6，0)不是最高点也不是最低点，故直线x＝－π6不是图象的对称轴，因此命题④不正确．【答案】②③515.【解】原式＝(32)2－1＋1－cos230°＋sin30°＝(32)2－1＋1－(32)2＋12＝12.16.【解】(1)f(α)＝－cosα·sinα·－tanα－tanα·sinα＝－cosα.(2)∵cos(α－3π2)＝cos(－3·π2＋α)＝－sinα＝15，∴sinα＝－15，cosα＝－1－－152＝－265，∴f(α)＝265.17.解：由题意知a≠0.∵x∈[0，π2]，∴2x＋π6∈[π6，7π6]，∴sin(2x＋π6)∈[－12，1]．当a＞0时，a＋b＝1，－a2＋b＝－5，解得a＝4，b＝－3.当a＜0时，－12a＋b＝1，a＋b＝－5，解得a＝－4，b＝－1.∴a，b的取值分别是4，－3或－4，－1.18.解：(1)由－π2＋2kπ≤2x＋π6≤π2＋2kπ，k∈Z，解得－π3＋kπ≤x≤π6＋kπ，k∈Z，∴函数f(x)的单调增区间为[－π3＋kπ，π6＋kπ](k∈Z)，由π2＋2kπ≤2x＋π6≤3π2＋2kπ，k∈Z，解得π6＋kπ≤x≤2π3＋kπ，k∈Z，∴函数f(x)的单调减区间为[π6＋kπ，2π3＋kπ](k∈Z)．(2)∵0≤x≤π2，∴π6≤2x＋π6≤7π6，∴－12≤sin(2x＋π6)≤1，∴f(x)的最大值为2＋a＋1＝4，∴a＝1，(3)当f(x)取最大值时，2x＋π6＝π2＋2kπ，∴2x＝π3＋2kπ，∴x＝π6＋kπ，k∈Z.∴当f(x)取最大值时，x的取值集合是{x|x＝π6＋kπ，k∈Z}．19.【解】将正弦曲线y＝sinx向右平移π3个单位长度，得函数y＝sin(x－π3)6的图象，再将曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得函数y＝sin(x2－π3)的图象，然后将曲线上各点的纵坐标伸长到原来的3倍，得函数y＝3sin(x2－π3)的图象．∴f(x)＝3sin(x2－π3)．令z＝x2－π3，则x＝2z＋2π3.列表：z0π2π3π22πx2π35π38π311π314π3y030－30描点画图(如图)：20.【解】(1)设f(x)的最小正周期为T，得T＝11π6－(－π6)＝2π.由T＝2πω得ω＝1.，又B＋A＝3，B－A＝－1，解得A＝2，B＝1，令ω·5π6＋φ＝π2＋2kπ，即5π6＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z，又|φ|＜π2，解得φ＝－π3.∴f(x)＝2sin(x－π3)＋1.(2)∵函数y＝f(kx)＝2sin(kx－π3)＋1的周期为2π3，又k＞0，∴k＝3.令t＝3x－π3，∵x∈[0，π3]，∴t∈[－π3，2π3]．如图，sint＝s在[－π3，2π3]上有两个不同的解的条件是s∈[32，1)，∴方程f(kx)＝m在x∈[0，π3]时恰有两个不同的解的条件是m∈[3＋1,3)，即实数m的取值范围是[3＋1,3)．7