第1章有限元法简介

有限元方法与分析应用主讲教师：吕言新机电工程学院课程参考书•曾攀.有限元分析及应用.清华大学出版社;•王勖成，绍敏.有限单元法基本原理和数值方法.清华大学出版社;•陈惠发.弹性与塑性力学.•王新荣.ANSYS有限元基础教程.电子工业出版社;•徐芝纶.弹性力学.高等教育出版社；•RaoSS.TheFiniteElementMethodinEngineering.Oxford:pergamonPress.有限元分析（FEA）有限元方法（FEM）应用与实施包括的三方面内容：计算原理、计算机软件、计算机硬件。理论分析实验研究科学计算获取复杂结构各种信息；对工程设计进行评判；对工程事故进行技术分析虚拟试验人类认识客观世界，获取复杂对象各类信息的三类科学研究方法：第1章有限元法简介第1章有限元法简介1.1有限元法的产生传统的一些方法往往难以完成对工程实际问题的有效分析。为了正确、合理地确定最佳设计方案，需要寻求一种简单而又精确的数值计算方法。有限元法正是适应这种要求而产生和发展起来的。有限元法是结构分析的一种数值计算方法。它在20世纪50年代初期随着计算机的发展应运而生。理论基础牢靠，物理概念清晰，解题效率高，适应性强，目前已成为工程、结构或构件进行动、静、热特性分析的重要手段，它的程序包是计算机辅助设计方法库中不可缺少的内容之一。钱伟长钱学森胡海昌徐芝伦杨桂通软件名称简介MSC/Nastran著名结构分析程序，最初由NASA研制。LS-DynaMSC/Dytran动力学分析程序（大多为显式算法）MSC/Marc非线性分析软件ANSYS通用结构分析软件（耦合场分析）FLUENT流场分析软件ABAQUS非线性分析软件（非协调单元，非线性直接解算方法）FLAC3D……岩土，焊接，金属成形，海洋，爆炸，电磁场，热场，耦合场等等前处理几何建模材料属性和单元定义网格划分求解选择求解方法施加边界载荷求解设置后处理通用后处理时间历程后处理设计分析……1.1.2有限元法的基本思想“化整为零，集零为整”。也就是将一个原来连续的物体假想地分割成由有限个单元所组成的集合体，简称“离散化”。然后对每个单元进行力学特征分析，即建立单元节点力和节点位移之间的关系。最后，把所有单元的这种关系式集合起来，形成整个结构的力学特性关系，即得到一组以节点位移为未知量的代数方程组。处理后即可求解，求得结点的位移，进一步求出应变和应力。网格划分中的每一个小部分称为单元。网格间相互联结点称为节点。网格与网格的交界线称为边界。显然，图中的节点数是有限的，单元数目也是有限的，这就是“有限元”一词的由来。1.1.3有限元法基本求解方法位移载荷平衡方程应变应力几何方程物理方程基本未知量解题思路已知量1.2有限元法的步骤1.2.1有限元法基本步骤1、结构的离散化——把连续的结构看成由有限个单元组成的集合体。注意：（1）离散后单元与单元之间利用单元的节点相互连结起来。（2）单元的类型及形状的选择。（3）网格的大小及疏密的合理布置。（4）用有限元分析计算所获得的结果只是近似的。如果划分单元数目非常多而又合理，则所获得的计算结果就越逼近实际情况。2.单元分析——找出单元节点力和节点位移的关系式。（1）选择位移模式选用一种函数，来近似地表示单元内任意点的位移随坐标变量变化的函数，这种函数称为位移模式。（2）建立单元刚度方程式中角标e—单元编号；—单元的节点位移向量；—单元的节点力向量；—单元刚度矩阵。（3）计算等效节点力eeeFkeeFeke3.整体分析有限元法的分析过程是先分后合。即先进行单元分析，在建立了单元刚度方程以后，再进行整体分析，把这些方程集成起来，形成求解区域的刚度方程，称为有限元位移法基本方程。式中——整体结构的刚度矩阵；——整体节点位移向量；——整体载荷向量。FKδKF弹簧单元及弹簧系统弹簧单元及弹簧系统弹簧单元及弹簧系统弹簧单元及弹簧系统弹簧单元及弹簧系统弹簧单元及弹簧系统弹簧单元及弹簧系统弹簧单元及弹簧系统弹簧单元及弹簧系统弹簧单元及弹簧系统杆件系统的有限元分析方法杆件只承受轴向力，可以视为一种特殊的梁单元，本节将采用有限元法来分析杆件系统，以下给出规范的有限元法中关于杆单元的推导过程，以及整个杆系的求解过程。如图所示的杆件结构，左端铰支，右端作用一个集中力，相关参数如图。具体求解过程如下：x123310NF111,,EAl单元11u222,,EAl2u单元2杆件结构（1）确定坐标系、单元离散，确定位移变量,外载荷及边界条件。L—杆长A—截面积E—弹性模量考虑一个2节点一维等截面杆单元：杆单元杆单元杆单元杆单元杆单元伸长量：if：节点力，沿X轴正向为正，沿X轴负向为负iF：杆件轴力，拉正压负jjiEAfFuuLijiEAfFuuL令杆件两端节点分别产生单位位移，可以计算产生这样的单位位移所需要的力，而力的大小就是刚度系数。lEAklEAkjjij,lEAklEAkjiii,1111lEAkkkkKjjjiijii同理，取ui=0,uj=1，则，则，和力的规定，。按照局部坐标系此时需要压力，首先取ijiiijiulEAFulEAFulEAuu,01lui设节点位移和节点力矢量形式：＝jijjjiijiijiuukkkkFFKFjijiFFFuuδ＝设节点位移和节点力之间关系：注意：ui=1和uj=0，kii表示第i节点产生单位位移，而其它点固定时，需要在第i节点所施加的力。kji表示第i节点产生单位位移，而其它点固定时，需要在第j节点所施加的力。刚度系数的物理意义：产生单位节点位移所需要的节点力。杆单元x123310NF111,,EAl单元11u222,,EAl2u单元2jijijjjiijiijiuulEAuukkkkFF1111＝0000jxixjxixuuKFF＝00000001010000010100000000000000jxixjxixjjjiijiiuulEAuukkkk＝jyjxiyixjyjxiyixvuvuKFFFF＝jyjxiyixjyjxiyixjjjiijiivuvulEAvuvukkkk0000010100000101000000000000＝[K]若考虑y方向，则有：考虑y方向的单元刚度矩阵1.3有限元法的应用1.3.1有限元法的应用领域应用范围极为广泛。已由杆件结构问题扩展到弹性力学问题；由平面问题扩展到空间问题；由静力学问题扩展到动力学问题；由固体力学问题扩展到流体力学、热力学、电磁学问题。1.3.2有限元法在工程中的应用2.有限元法在鸟巢建设中的应用支撑塔架的卸载，对整个钢结构本身来说其实是加载，如何卸载，需要进行非常详细的数值分析，以确定出最佳的卸载方案。2006年9月17日成功地完成了整体钢结构施工的最后卸载。1.3.3有限元法在工程中的应用在现代产品开发过程中，CAD/CAE/CAM已成为基本工具，作为CAE工具重要组成之一的有限元法，更是成为产品开发必不可少的工具。CAD工具用于产品结构设计，形成产品的数字化模型。有限元法则用于产品性能的分析与仿真，帮助设计人员了解产品的物理性能和破坏的可能原因，分析结构参数对产品性能的影响，对产品性能进行全面预测和优化，帮助工艺人员对产品的制造工艺及试验方案进行分析设计。弹性力学基本假设•工程问题的复杂性是诸多方面因素组成的。如果不分主次考虑所有因素，则问题的复杂，数学推导的困难，将使得问题无法求解。•根据问题性质，忽略部分暂时不必考虑的因素，提出一些基本假设。使问题的研究限定在一个可行的范围。•基本假设是学科的研究基础。•超出基本假设的研究领域是固体力学其它学科的研究。弹性力学的基本假定五个基本假定：1、连续性(Continuity)2、线弹性(Linearelastic)3、均匀性(Homogeneity)4、各向同性(Isotropy)5、小变形假定(Smalldeformation)弹性力学的基本假定1、连续性(Continuity)整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满,不留任何空隙.即，各个质点之间不存在任何空隙好处：物体内的物理量,例如应力形变和应变,才可能是连续的,才可以用连续函数来表示;——宏观假设弹性力学的基本假定2、线弹性(Linearelastic)物体的变形与外力作用的关系是线性的，除去外力，物体可回复原状，而且这个关系和时间无关，也和变形历史无关，称为完全线弹性材料好处：应力应变之间的函数简化为线性函数，且材料弹性常数不随应力或应变的变化而改变弹性力学的基本假定3、均匀性(Homogeneity)物体是均匀的,整个物体由同一材料组成好处：各部分物理性质相同，不因位置改变而改变。可以截取任意部分为研究对象。对于环氧树脂基碳纤维复合材料，不能处理为均匀材料。弹性力学的基本假定4、各向同性(Isotropy)物体的弹性性质在所有各个方向都相同好处：物体材料常数不随坐标方向改变而改变像木材，竹子以及纤维增强材料等，属于各向异性材料。弹性力学的基本假定5、小变形假定(Smalldeformation):物体的位移和形变是微小的.即物体的位移远小于物体原来的尺寸,而且应变和转角都远小于1好处：变形与结构原尺寸相比属高阶小量，可略去因变形引起的结构尺寸变化位移：在载荷作用下，物体内各点之间的距离改变称为位移。Twuwu物体内某一点的位移记为：称为位移列阵或位移向量弹性力学中的位移弹性力学中的力内力——外界因素作用下，物体内部各个部分之间的相互作用力。应力应力矢量pn随截面的法线方向n的方向改变而变化SSFplim0n应力分量的矩阵称为应力列阵应力：物体内任一点处所有各截面上应力的大小和方向就表示了这一点的应力状态。通常用六个应力分量表示一点的应力状态。Tzxyzxyzyxzxyzxyzyx弹性力学中的力正应变（线应变）xuxddσσxxdxdxxxuu+du弹性力学中的应变切应变（角应变）τβα直角改变量τγ=α+β弹性力学中的应变应变：xyzxyyzzxzxyzxyzyx称作应变列阵剪应变：线段之间夹角的改变量称为剪应变。正应变：线段的每单位长度的伸缩。弹性力学中的应变弹性力学基本变量小结弹性模量应力应变位移物体变形后的位置物体的变形程度物体的受力状态物体的材料特性变形体的描述及所需变量弹性力学的基本方程应力应变位移几何方程物理方程平衡方程弹性力学三大方程请大家批评指正！谢谢！