计算机控制系统(天津大学自动化学院研究生课件)第八章

第八章二次最优控制系统何熠本章结构•概述•二次最优控制•稳态二次最优控制•本章小结本章结构•概述•二次最优控制•稳态二次最优控制•本章小结昀优控制：对于给定初始状态，找到可行的控制向量，使转移到在状态空间中所期望的区域，而且满足性能指标(能量、时间等)昀小。()uk(0)x概述(0)x(0)x()xn指标()Uk性能指标：使系统的误差昀小使系统的误差昀小完成控制所需能量昀小等。完成控制所需能量昀小等。大多数情况下大多数情况下,,系统通过选取系统通过选取控制向量控制向量使性能指标极小（或极使性能指标极小（或极大）来实现昀优化。大）来实现昀优化。合适的性能指标的选取很重合适的性能指标的选取很重要，它决定控制系统是否为线性、非线要，它决定控制系统是否为线性、非线性、固定、时变等。性、固定、时变等。()uk概述昀优化问题的公式表示：当下面的条件给定时，控制系统的昀优问题可以用公式表示：1、系统方程2、允许控制向量集3、问题的约束4、性能指标5、系统参数概述昀优控制问题是在一组可选的控制向量中决定昀优控制向量。这个向量由下面因素决定：1、性能指标的特性2、系统约束的特性3、初始状态或初始输出4、欲得的状态或输出概述昀优控制向量存在性问题很重要，因为它们提示设计者对于一个给定的系统和限制集合，昀优控制是否可行。这些问题中昀重要的两个是可控性和可观测性（见第六章）。注：注：需要指出基于某个性能指标的控制系统总体上是昀优的，但在其他性能指标之下却不一定昀优。在实际的系统中,寻求近似的昀优控制律比单一性能指标更有意义。概述昀优控制问题解的存在性问题：二次昀优控制：给定线性离散时间控制系统其中：：状态向量（n维）：控制向量（r维）：n×n矩阵：n×r矩阵()uk(1)()(),(0)xkGxkHukxc+=+=概述()xkGH二次昀优控制：如果性能指标泛函是状态向量和（或）控制向量的二次型函数的积分，则这样的昀优控制问题称为二次昀优控制。二次昀优控制的优点：除特殊情况，采用二次昀优控制的系统总能够渐进稳定。性能指标：概述10***()(1[]21()((2)))()NkxkQxxNSxukRukNkJ−==++∑二次性能指标：其中是的共轭转置。Q状态加权矩阵：n×n正定的或半正定的Hermitian矩阵（或实对称矩阵）R控制加权矩阵：r×r正定的Hermitian矩阵（或实对称矩阵）S终端加权矩阵：n×n正定的或半正定的Hermitian矩阵（或实对称矩阵）*()xN()xN概述10***()(1[]21()((2)))()NkxkQxxNSxukRukNkJ−==++∑二次性能指标：其中是的共轭转置。Q状态加权矩阵：n×n正定的或半正定的Hermitian矩阵（或实对称矩阵）R控制加权矩阵：r×r正定的Hermitian矩阵（或实对称矩阵）S终端加权矩阵：n×n正定的或半正定的Hermitian矩阵（或实对称矩阵）*()xN()xN概述第一项是末值项，为终端代第一项是末值项，为终端代价。表示在给定的终端时间价。表示在给定的终端时间到来时，系统终态到来时，系统终态x(Nx(N))接近接近预定终态的程度。这一项对预定终态的程度。这一项对于控制导弹拦截或飞船会合于控制导弹拦截或飞船会合等问题十分重要。（若对终等问题十分重要。（若对终态无要求则此项可为态无要求则此项可为00））10***()(1[]21()((2)))()NkxkQxxNSxukRukNkJ−==++∑二次性能指标：其中是的共轭转置。Q状态加权矩阵：n×n正定的或半正定的Hermitian矩阵（或实对称矩阵）R控制加权矩阵：r×r正定的Hermitian矩阵（或实对称矩阵）S终端加权矩阵：n×n正定的或半正定的Hermitian矩阵（或实对称矩阵）*()xN()xN概述括号中第一项代表控括号中第一项代表控制过程中系统的给定制过程中系统的给定状态与实际状态的综状态与实际状态的综合误差代价函数。合误差代价函数。10***()(1[]21()((2)))()NkxkQxxNSxukRukNkJ−==++∑二次性能指标：其中是的共轭转置。Q状态加权矩阵：n×n正定的或半正定的Hermitian矩阵（或实对称矩阵）R控制加权矩阵：r×r正定的Hermitian矩阵（或实对称矩阵）S终端加权矩阵：n×n正定的或半正定的Hermitian矩阵（或实对称矩阵）*()xN()xN概述••括号中第二项表示对括号中第二项表示对控制过程总能量的限控制过程总能量的限制。（若制。（若u=0u=0，则此项，则此项为为00））10***()(1[]21()((2)))()NkxkQxxNSxukRukNkJ−==++∑我们利用矩阵Q，R和S来分别衡量状态向量x(k),控制向量u(k)(k=0,1,2，…,N-1),和昀终状态向量x(N)的相对权重。二次昀优控制问题：为控制矢量确定规则以使给定的二次性能指标昀小。()uk概述本章结构•概述•二次最优控制•稳态二次最优控制•本章小结二次昀优控制是一个函数昀小化问题。因此，可以用传统的昀小化方法——拉格朗日乘子法来解决。拉格朗日乘子法:二次最优控制二次最优控制二次性能指标：将下面的约束方程式带入上式其中，状态向量的初始条件同时使用一组拉格朗日乘子定义新的性能指标L:1***011()()[()()()()]22NkJxNSxNxkQxkukRuk−==++∑(1)()()0,1,2,,1xkGxkHukkN+=+=−L)(,),2(),1(NλλλK(0)xc=二次最优控制1***0*11()(){[()()()()]22(1)[()()(1)][()()(1)](1)}NkLxNSxNxkQxkukRukkGxkHukxkGxkHukxkkλλ−=∗=+++++−+++−++∑**0:()(1)()01,2,,1()0:()()0()0:()(1)0(()LQxkGkkkNxkLSxNNxNLRukHkkukλλλλ∂=++−=(=−)∂∂=−=∂∂=++=∂L0,1,,10:(1)(1)()1,2,,)()NLGxkukxkkNkλ=−)∂=−+Η−−=0(=∂LL则依次可得以下方程：LJ=二次最优控制1***0*11()(){[()()()()]22(1)[()()(1)][()()(1)](1)}NkLxNSxNxkQxkukRukkGxkHukxkGxkHukxkkλλ−=∗=+++++−+++−++∑**0:()(1)()01,2,,1()0:()()0()0:()(1)0(()LQxkGkkkNxkLSxNNxNLRukHkkukλλλλ∂=++−=(=−)∂∂=−=∂∂=++=∂L0,1,,10:(1)(1)()1,2,,)()NLGxkukxkkNkλ=−)∂=−+Η−−=0(=∂LL则依次可得以下方程：当时大括号中昀后两项为零LJ=(1)()()xkGxkHuk+=+经过推导可得下式的黎卡提方程由边界条件（区间端点上的条件）可迭代得到P(N-1),P(N-2),…,P(0)即得到矩阵P*1*1()(1)[(1)]PkQGPkIHRHPkG−−=++++(8－23)(8－25)()PNS=二次最优控制利用P可解出昀优控制向量u(k)公式：其中，上式提供了利用反馈矩阵K(k)得到昀优控制向量u(k)的形式。1*1**11**1()(1)()[()()]()[()]()()()ukRHkRHGkQxkRHGPkQxkKkxkλλ−−−−−=−+=−−=−−=−1**1()()[()]KkRHGPkQ−−=−(8－26)(8－27)二次最优控制【总结】二次昀优控制的设计步骤：1.根据系统要求和工程实际经验，选定加权矩阵Q、R、S2.由G、H、Q、R、S按方程(8-23)和边界条件(8-25)求解Riccati方程，求得矩阵P3.由式(8-27)求反馈增益矩阵K4.由解得x(k)5.由式(8-26)昀优控制律u(k)注：拉格朗日乘子法的关键：通过求解Riccati方程得到矩阵P，从而解得昀优控制向量u(k)。(1)()[()()],(0)xkGxkHKkxkxc+=+−=二次最优控制图8-1列出了以二次性能指标为基础的调节系统的昀优控制概貌。二次最优控制-()KkH()uk()xk()xk-1zI+预计算值()KkG图8－1基于二次性能指标的昀优调节系统通过预先计算出(0),(1)()KKKk…1**1()()[()]KkRHGPkQ−−=−例例88--11：：考虑如下定义的离散控制系统考虑如下定义的离散控制系统求昀优控制定律求昀优控制定律uu（（kk），），使下面的性能指使下面的性能指标昀小标昀小::通过性能指标可以看出通过性能指标可以看出S=1S=1，，Q=1Q=1，，R=1R=1。。(1)0.3679()0.6321(),(0)1xkxkukx+=+=9222011[(10)][()()]22kJxxkuk==++∑二次最优控制•解：通过黎卡提方程可得本题中P(k):化简得P（k）的递推解：由P(k)的边界条件(区间端点上的条件)：*1*1()(1)[(1)]PkQGPkIHRHPkG−−=++++1()1(0.3679)(1)[1(0.6321)(1)(0.6321)(1)](0.3679)PkPkPk−=++++1()10.1354(1)[10.3996(1)]PkPkPk−=++++()(10)1PNPS===二次最优控制我们从k=9到k=0计算P(k):1111(9)10.13541(10.39961)1.0967(8)10.13541.0967(10.39961.0967)1.1032(7)10.13541.1032(10.39961.1032)1.1036(6)10.13541.1036(10.39961.1036)1.1037()1.1037,5,4,PPPPPkk−−−−=+×+×==+×+×==+×+×==+×+×===3,2,1,0二次最优控制由得反馈增益K(k)为：通过替换已得的P(k)的值，得：1()(1)(0.6321)(0.3679)[()1]1.7181[()1]KkPkPk−=−=−(10)1.7181(11)0(9)1.7181(1.09671)0.1662(8)1.7181(1.10321)0.1773(7)1.7181(1.10361)0.1781(6)(5)(0)0.1781KKKKKKK=−==−==−==−=====L1**1()()[()]KkRHGPkQ−−=−二次最优控制二次最优控制由得到k=5,6，…10的x(k)的数值快速地接近零。昀优控制顺序列如下:(1)[0.36790.6321(0)](0)(0.36790.63210.1781)10.2553(2)(0.36790.63210.1781)0.25530.0652(3)(0.36790.63210.1781)0.06520.0166(4)(0.36790.63210.1781)0.01660.00424xKxxxx=−=−××==−××==−××==−××=(0)(0)(0)0.178110.1781(1)(1)(1)0.17810.25530.0455(2)(2)(2)0.17810.06520.0116(3)(3)(3)0.17810.01660.00296(4)(4)(4)0.17810.004240.000756()0,uKxuKxuKxuKxuKxukk=−=−×=−=−=−×=−=−=−×=−=−=−×=−=−=−×=−==5,6,,10L(1)0.3679()0.6321()[0.36790.6321()]()xkxkukKkxk+=+=−()()()ukKkxk=−二次最优控制，，和的数值如图8-2()Pk()Kk()xk()uk二次最优控制系统昀小性能指标的评估：由可以导出1***011minmin{()()[()()()()]}22NkJxNSxNxkQxkukRuk−==++∑-11[*](1)()u(k)RH