计算机控制系统(天津大学自动化学院研究生课件)第六章

极点配置和观测器设计第六章第六章何熠本章概要‹6-1能控性和能观性‹6-2状态空间表达式的标准型‹6-3极点配置方法‹6-4状态观测器设计6-1能控性和能观性五个内容：¾6-1-1状态能控性的概念及判别准则¾6-1-2输出能控性的概念及判别准则¾6-1-3能观性的概念及判别准则¾6-1-4对偶法则¾6-1-5连续系统离散化后的能控性和能观性6-1-1状态能控性的概念及判别准则¾¾能控性的概念能控性的概念：9如果在有限的时间段内，控制系统的每个状态都能够从任一初始状态达到任意期望状态我们就说这个系统是状态完全能控的。9如果任意状态变量独立于控制信号，那么我们就不可能控制这些状态变量，因此系统是不能控的。9线性时不变离散时间控制系统的状态完全能控性考虑下面的离散时间控制系统：((1))()()(6-1)xkTGxkTHukT+=+第k个采样瞬时的n维状态向量第k个采样瞬时的r维控制向量G为n×n矩阵，H为n×r矩阵，T为采样周期，如果在有限的采样时间段内存在控制信号u(kT)(在一个采样周期内为常数），使得状态x(kT)从任意的初始状态，可以在至多n个采样周期内达到期望状态，那么此离散时间控制系统是状态完全能控的。6-1-1状态能控性的概念及判别准则6-1-1状态能控性的概念及判别准则¾状态能控性的判别准则9方法一：直接根据状态方程的矩阵G和H系统(6-1)完全能控的条件是n-1rank[HGHGH]n=MMM…ˆ()()xkPxk=ˆˆˆˆ(1)()()xkGxkHuk+=+1ˆGPGP−=约当阵1ˆHPH−=具体变换过程见第二节9方法二：将状态方程化为约旦标准型，再确定系统的能控性。取线性非奇异变换：((1))()()(6-1)xkTGxkTHukT+=+6-1-1状态能控性的概念及判别准则变换后系统的能控性判据如下：1.若系统矩阵G的特征值互异，则方程可变换对角标准形，此时系统能控性的充要条件是：控制矩阵的各行元素没有全为0的。ˆH1122ˆˆ(1)()102()ˆˆ(1)()023xkxkukxkxk+−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+−⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦例如：系统状态不完全能控1122ˆˆ(1)()102()ˆˆ(1)()020xkxkukxkxk+−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+−⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦状态完全能控6-1-1状态能控性的概念及判别准则2.若G的特征值有相同的，且相同特征值对应的特征矢量也相同时，则方程可变换约旦标准形，此时系统能控性的充要条件是：（1）在中对应于相同特征值的部分，它与每个约旦块最后一行相对应的元素没有全为0的。ˆH（2）中对于互异特征值部分，它的各行元素没有全为0的。ˆH6-1-1状态能控性的概念及判别准则11223344556677(1)()210001(1)()02100(1)()00230(1)()1010(1)()0412(1)()5100(1)()00521xkxkxkxkxkxkxkxkxkxkxkxkxkxk+−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢+−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢+−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢+=+−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢+−⎢⎥⎢⎥⎢⎥+−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+−⎣⎦⎣⎣⎦⎣⎦12()()ukuk⎤⎥⎥⎥⎡⎤⎥⎢⎥⎥⎣⎦⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎦例如：系统满足(1),(2)条所以状态完全能控6-1-1状态能控性的概念及判别准则11223344556677(1)()210001(1)()02100(1)()00200(1)()1010(1)()0412(1)()5100(1)()00521xkxkxkxkxkxkxkxkxkxkxkxkxkxk+−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢+−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢+−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢+=+−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢+−⎢⎥⎢⎥⎢⎥+−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+−⎣⎦⎣⎣⎦⎣⎦12()()ukuk⎤⎥⎥⎥⎡⎤⎥⎢⎥⎥⎣⎦⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎦系统不满足(1)满足(2)状态不完全能控3.若G的特征值有相同的，且相同特征值对应的特征矢量互异时，那么也可能变换为对角标准型。此时,在对角阵中，将出现两个以上与同一特征值有关的约旦块。这种情况时，单输入系统是不能控的；对多输入系统，则还需考察中，相同特征值对应的约旦块的最后一行元素所形成的矢量组是否线性无关。若线性无关，系统才是能控的。ˆ6-1-1状态能控性的概念及判别准则H6-1-1状态能控性的概念及判别准则所以该系统完全能控例如：系统1122334455667788(1)()11000(1)()01100(1)()102(1)()1(1)()21(1)()02(1)()2(1)()5xkxkxkxkxkxkxkxkxkxkxkxkxkxkxkxk+−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+−⎢⎥⎢⎥⎢⎥+−⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦1230()004()000()120033300ukukuk⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦线性无关线性无关不全为06-1-2输出能控性的概念及判别准则¾输出完全能控性概念9为什么要定义输出能控性？在控制系统的实际设计中，我们或许想要控制所有的输出而不是系统的状态。状态完全能控既不是能够控制系统输出的必要条件也不是充分条件，因此，有必要单独来定义输出完全能控性。6-1-2输出能控性的概念及判别准则9输出能控性概念：((1))()()xkTGxkTHukT+=+()()ykTCxkT=m维m*n矩阵对于系统对于系统若在有限数量采样周期内(0KTnT)能构建一个控制信号u(KT),使得输出y(0)在至多n个采样周期内从任意初始状态都可以被转移到期望状态，就说该系统是输出完全可控的。6-1-2输出能控性的概念及判别准则9输出能控性充要条件：1.对于系统：在状态完全能控的条件下系统输出完全能控的充要条件是：((1))()()xkTGxkTHukT+=+()()ykTCxkT=m维m*n矩阵1nrankCHCGHCGHm−⎡⎤=⎣⎦MMLM6-1-2输出能控性的概念及判别准则2.对于系统：统输出完全能控充要条件为：((1))()()xkTGxkTHukT+=+()()()ykTCxkTDukT=+1nrankDCHCGHCGHm−⎡⎤=⎣⎦MMMLMm*r矩阵¾能观性的概念考虑下式定义的无输入离散时间控制系统（因为控制信号不会影响系统的能观性，所以这里不考虑输入u）如果通过对在有限个采样周期的观察，每一个初始状态可以被确定，则系统是完全能观的；即状态向量的每次变化最终都影响到输出向量的每一个元素。((1))()xkTGxkT+=6-1-3能观性的概念及判别准则()()ykTCxkT=()ykT(0)xx为k时刻n维状态向量，y为k时刻m维输出向量，G为n×n矩阵，C为m×n矩阵完全能观的充要条件是矩阵的秩为n。其中*代表转置。****1*()nCGCGC−¾能观性的充要条件⎡⎤⎣⎦MMLMnnm6-1-3能观性的概念及判别准则×((1))()xkTGxkT+=()()ykTCxkT=系统解：计算得能观性矩阵为：行列式其秩小于3，所以系统不是完全能观。9例题：判别如下系统的能观性其中：((1))()()xkTGxkTHukT+=+6-1-3能观性的概念及判别准则()()ykTCxkT=0100016116G⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−−−⎝⎠001H⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠()451C=****2*466()575111CGCGC−⎛⎞⎜⎟⎡⎤=−⎣⎦⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠MM4665750111−−=−−9描述能控性和能观性的关系9系统s1：它的对偶型s2：((1))()()xkTGxkTHukT+=+6-1-4对偶法则()()ykTCxkT=**ˆˆˆ((1))()()xkTGxkTCukT+=+*ˆˆ()()ykTHxkT=其中：x(kT)为第k个采样瞬时的n维状态向量,u(kT)为第k个采样瞬时的r维控制向量,y(kT)为第k个采样瞬时的n维状态向量.分别是G，H，C的共轭转置*H*G*C则对偶原则为：系统S1状态完全能控（状态完全能观）的充要条件是系统S2状态完全能观（状态完全能控）。连续时间系统离散化可能会丢掉能控性和能观性6-1-5连续系统离散化后的能控性和能观性分两种情况：1.对于没有复极点出现的情况，采样前后系统不会出现能控性和能观性的丢失。2.有复极点的连续时间系统离散化时，采样的引入将会削弱系统的能控性和能观性。即在连续时间系统离散化过程中可能出现极零点相消的情况。因此，离散化后系统可能丢掉能控性和能观性。？怎样避免当有复极点出现时，采样前后系统的能控性和能观性不会变化的充要条件是：任意两个实部相同的复极点，其虚部应满足：6-1-5连续系统离散化后的能控性和能观性2Im()ijnTπλλ−≠即通过采样周期的合理选择，可以避免能控能观性的丢失；下面举一例题说明：解:通过计算可得，系统是能观和能控的。但注意状态矩阵的特征值为：因此只要满足：即离散后的系统不丢失能观能控性。9例题：考虑下面连续时间控制系统，将其离散化，采样周期应怎样选择？1122010101xxuxx⎡⎤⎡⎤⎛⎞⎡⎤=+⎜⎟⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎝⎠⎣⎦⎣⎦⎣⎦&&6-1-5连续系统离散化后的能控性和能观性()1210xyx⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1jλ=2jλ=−2Im()11ijnTπλλ−=+≠Tnπ≠原因？可计算到当且仅当时，其秩才全为2。注：系统离散化方法：其中A、B、C为对应连续系统中的矩阵1122((1))()cossin1cos()((1))sincos()sinxkTxkTTTTukTxkTTTxkTT+−⎡⎤⎡⎤⎛⎞⎛⎞=+⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎢⎥+−⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎣⎦6-1-5连续系统离散化后的能控性和能观性原因：原系统离散化可得：()12()()10()xkTykTxkT⎡⎤=⎢⎥⎣⎦[]21coscos12cossinsin2cossinTTTHGHTTTT⎛⎞−+−=⎜⎟−+⎝⎠M***1cos0sinTCGCT⎛⎞⎡⎤=⎜⎟⎣⎦⎝⎠MTnπ≠0,ATTATGeCCHedtB===⋅∫计算离散化后能控能观性矩阵分别为：6-2状态空间表达式的标准型¾内容：由于状态变量选择的非唯一性，系统的状态空间表达式也不是唯一的。在实际应用中，常常根据所研究问题的需要，将状态空间表达式化成相应的几种标准形式：¾6-2-1能控标准型¾6-2-2能观标准型¾6-2-3约当标准型假设(1)(2)式所示系统状态完全能控，则存在线性非奇异变换，使得：6-2状态空间表达式的标准型¾6-2-1能控标准型对于离散空间状态表达式(1)()()xkGxkHuk+=+()()()ykCxkDuk=+ˆ()()xkTxk=ˆˆˆˆ(1)()()xkGxkHuk+=+ˆˆˆ()()()ykCxkDuk=+（1）（2）（3）（4）为能控标准型。6-2状态空间表达式的标准型1nMHGHGH−⎡⎤=⎣⎦MMLM1212311101001000nnnnaaaaaWa−−−−⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠LLMMMMLL1110nnnnzIGzazaza−−−=++++=Lia为特征方程的系数:其中变换矩阵TMW=6-2状态空间表达式的标准型11ˆ()()GTGTMWGMW−−==121010000100001nnnaaaa−−⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−−⎝⎠LLMMMMLLˆDD=100ˆ01HTH−⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠M11WMGMW−−=[]0110110ˆnnnnCCTbabbabbab−−==−−−MMLM6-2状态空间表达式的标准型112211121ˆˆ(1)0100()0ˆˆ(1)0010()0()ˆˆ(1)0001()0ˆˆ(1)()1nnnnnnnxkxkxkxkukxkxkxkaaaaxk−−−−+⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟+⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟