第三节：向量的内积与施密特正交化过程

二次型二次型化标准型一.向量的内积与施密特正交化过程cos123123(,,),(,,)TTaaabbb222123112233,aaaababab112233222222123123cosabababaaabbb0,0引言：在几何空间，我们学过向量的长两向量夹角的概念，并由此定义两向量的数量积利用坐标分别有下面计算公式：设，，（设则设为了今后应用的需要，将这些概念及公式推广到n维向量。1212(,,,),(,,,)TTnnaaabbb1122(,)TTnnabababnR1.向量的内积定义1n维向量空间中任两个向量的内积定义为并称定义了内积的向量空间为欧氏空间(1)(,)(,)(2)(,)(,)(,)(3)(,)(,)(,)(,)(,)(,)kkk(4)(,)0;(,)00内积具有下列性质：（交换性）;k为数（性质(2)，(3)称单线性）（当且仅当。以上证明留给读者。12(,,,)Tnaaa22212(,)naaa001定义2设，称向量的长度。长度为1的向量称单位向量。，即为一单位向量。称将单位化。设0;00kk(,)向量的长度有下列性质：。当且仅当；(2).齐次性：；(3).三角不等式：以上性质证明留给读者。证略。(1).非负性：(4).柯西不等式：(,)1(,)arccos(,)cos由柯西不等式得：由此可定义两非零向量的夹角：；或,2(,)0,(,)0(,)0,对于两非零向量当时，称两向量正交。这里显然等价于又零向量与任何向量看作是正交的，且中只要有一个为零向量，必有因此可利用内积定义两向量正交。称正交，记。定义3若因此可利用内积定义两向量正交。。定义4设向量组12,,,r为两两正交的非零向量，称其为正交向量组。如果正交向量组中。每个向量还是单位向量量则称其为标准正交向量组或正交规范向量组。如它们还是向量空间的基底则分别称其为正交基或标准（规范）正交基。即正交规范组（基）满足1(,)1,2,,0ijijirij12,,,r12,,,r定理1设为正交向量组，则是线性无关的。12(1,1,1,1),(1,0,1,0)TT12,1234(,,,)Txxxxx10Tx20Tx例1求与向量都正交的向量集。都正交的向量为由得齐次线性方程组解：设与123413400xxxxxxx12(1,0,1,0)(1,0,0,1)TTxkk12,即为与解得都正交的向量集12,,,r12,,,r12,,,r2.施密特正交化方法是线性无关的向量组，寻找一个标准正交向量组使其与等价。，设其作法分两步(1).正交化，令112122111(,)(,)313233121122(,)(,)(,)(,)121121112211(,)(,)(,)(,)(,)(,)rrrrrrrrr，，，……121212,,,,rrr12,,,r12,,,r12,,,r是正交规范向量组，且等价。上述过程称Schmidt（施密特）正交化过程。（方法）仍与显然(2).单位化（规范化）：取123(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1)TTT11(1,0,1)T2122111(,)1111(1,1,0)(1,0,1)(,1,)(1,2,1)(,)2222TTTT313233121122(,)(,)111(0,1,1)(1,0,1)(1,2,1)(,)(,)232TTT2(1,1,1)3T例2设用Schmidt正交化过程将其化为标准正交组。解：取11111(1,0,1)222211(1,2,1)633311(1,1,1)3单位化得TAAI1TAA3.正交矩阵与正交变换定义5方阵A满足则称A为正交矩阵。由定义不难得到：A为正交矩阵。1212(,,,)TTnTnA1,(,)0.TTijijij1,(,)0.ijijij令由上式不难得到：A为正交矩阵即A的行（列）向量是两两正交的单位向量的正交规范基）即是nR110022110022110022110022A例3令验证A为正交矩阵解：因列向量组为两两正交的单位向量，故为正交矩阵。,nXYRYAXcossinsincos定义6设则称线性变换是正交变换。是正交变换。例4证明线性变换cossinsincosxxyyxy解：线性变换的矩阵为其行（列）向量是两两正交的单位向量故为正交矩阵，故上述线性变换是正交变换。上述线性变换代表平面上的一个坐标旋转，因此平面上的坐标旋转变换是正交变换下面介绍正交变换的性质：1）.设YCX为一正交变换，则XY即正交变换保持向量长度不变。2）设YCX为一正交变换，对任意12,nXXR1122,YCXYCX1212(,)(,)XXYY则有即正交变换下向量内积不变。由于正交变换保持向量长度、内积不变，因而保持两向量夹角及正交性不变，因此施以正交变换后图形的几何形状不变，因此可利用正交变换研究图形的几何性质。