圆、相似三角形、二次函数经典综合题精品教案

oADBC相似、圆、二次函数---◆◆◆综合精品教案认真解答,一定要细心哟!（培优）【1】已知：如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交BC于D，交⊙O于E，EF∥BC且交AC延长线于F，连结CE.求证：(1)∠BAE=∠CEF；(2)CE2=BD·EF.【2】如图，△ABC内接于圆，D为BA延长线上一点，AE平分∠BAC的外角，交BC延长线于E，交圆于F.若AB=8，AC=5，EF=14.求AE、AF的长.【3】如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝2，∠B＝30°，C是弦AB上的任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交于⊙O于点D，连接AD．(1)弦长AB等于▲（结果保留根号）；(2)当∠D＝20°时，求∠BOD的度数；(3)当AC的长度为多少时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似？请写出解答过程．BCFEADO.ABDCEF相似、圆、二次函数---◆◆◆综合精品教案认真解答,一定要细心哟!（培优）【4】如图，在ABC△中90ACB，D是AB的中点，以DC为直径的O交ABC△的三边，交点分别是GFE，，点．GECD，的交点为M，且46ME，:2:5MDCO．（1）求证：GEFA．（2）求O的直径CD的长．【5】如图右，已知直线PA交⊙0于A、B两点，AE是⊙0的直径．点C为⊙0上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D。(1)求证：CD为⊙0的切线；(2)若DC+DA=6，⊙0的直径为l0，求AB的长度.【6】EADGBFCOM第9题图相似、圆、二次函数---◆◆◆综合精品教案认真解答,一定要细心哟!（培优）【7】如图，已知⊙O1与⊙O2都过点A，AO1是⊙O2的切线，⊙O1交O1O2于点B，连结AB并延长交⊙O2于点C，连结O2C.（1）求证：O2C⊥O1O2；（2）证明：AB·BC=2O2B·BO1；（3）如果AB·BC=12，O2C=4，求AO1的长.【8】如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连结OB、AB，并延长AB至点D，使DB=AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连结CF．（1）当∠AOB=30°时，求弧AB的长度；（2）当DE=8时，求线段EF的长；（3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．O1O2ABC第24题图OBDECFxyA相似、圆、二次函数---◆◆◆综合精品教案认真解答,一定要细心哟!（培优）【9】如图（18），在平面直角坐标系中，ABC△的边AB在x轴上，且OAOB，以AB为直径的圆过点C．若点C的坐标为(02)，，5AB，A、B两点的横坐标Ax，Bx是关于x的方程2(2)10xmxn的两根．（1）求m、n的值；（2）若ACB平分线所在的直线l交x轴于点D，试求直线l对应的一次函数解析式；（3）过点D任作一直线l分别交射线CA、CB（点C除外）于点M、N．则11CMCN的是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【10】如图l0．在平面直角坐标系xoy中，AB在x轴上，AB=10．以AB为直径的⊙O’与y轴正半轴交于点C．连接BC，AC。CD是⊙O’的切线．AD⊥CD于点D，tan∠CAD=12，抛物线2yaxbxc过A、B、C三点。（1）求证：∠CAD=∠CAB；（2）①求抛物线的解析式；②判断抛物线的顶点E是否在直线CD上．并说明理由：（3）在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形．若存在，直接写出点P的坐标(不写求解过程)；若不存在．请说明理由．yx图（3）NBACODMEF(0，2)llABDCEF相似、圆、二次函数---◆◆◆综合答案认真解答,一定要细心哟!（培优）【1】证明：(1)∵EF∥BC，∴∠BCE=∠CEF.又∵∠BAE=∠BCE，∴∠BAE=∠CEF.(2)证法一：∵∠BAD＝∠CAD，∠BAE＝∠CEF，∴∠CAD＝∠CEF.又∵∠ACD＝∠F，∴△ADC∽△ECF.∴CEEFADAC.∴CEADEFAC.①又∵∠BAD＝∠EAC，∠B＝∠AEC，∴△ABD∽△AEC，∴BDADCEAC.②由①②得CEBDEFCE，∴CE2＝BD·EF.【2】解：连结BF.∵AE平分∠BAC的外角，∴∠DAE=∠CAE.∵∠DAE=∠BAF，∴∠CAE=∠BAF.∵四边形ACBF是圆内接四边形，∴∠ACE=∠F.∴△ACE∽△AFB.∴ACAEAFAB.∵AC=5，AB=8，EF=14，设AE=x，则AF=14－x，则有5x14x8，整理，得x2-14x+40=0.解得x1=4,x2=10，经检验是原方程的解.∴AE=4,AF=10或AE=10，AF=4.【3】.ODAEFCB【4】（1）连接DFCD是圆直径，90CFD，即DFBC90ACB，DFAC∥．BDFA．在O中BDFGEF，GEFA．·····························2分（2）D是RtABC△斜边AB的中点，DCDA，DCAA，又由（1）知GEFA，DCAGEF．又OMEEMC，OME△与EMC△相似OMMEMEMC2MEOMMC又46ME，2(46)96OMMC:2:5MDCO，:3:2OMMD，:3:8OMMC设3OMx，8MCx，3896xx，2x直径1020CDx．【5】(1)证明：连接OC,∵点C在⊙0上，0A=OC,∴∠OCA=∠OAC，∵CD⊥PA，∴∠CDA=90°，有∠CAD+∠DCA=90°，∵AC平分∠PAE，∴∠DAC=∠CAO。∴∠DC0=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°。又∵点C在⊙O上，OC为⊙0的半径，∴CD为⊙0的切线．(2)解：过0作0F⊥AB，垂足为F，∴∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°，∴四边形OCDF为矩形，∴0C=FD，OF=CD.∵DC+DA=6，设AD=x，则OF=CD=6-x，∵⊙O的直径为10，∴DF=OC=5，∴AF=5-x，在Rt△AOF中，由勾股定理得222AF+OF=OA.即22(5)(6)25xx，化简得：211180xx解得2x或9x。由ADDF，知05x，故2x。从而AD=2,AF=5-2=3.∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，∴AB=2AF=6.【6】【7】解：（1）∵AO1是⊙O2的切线，∴O1A⊥AO2∴∠O2AB+∠BAO1=90°又O2A=O2C，O1A=O1B，∴∠O2CB=∠O2AB，∠O2BC=∠ABO1=∠BAO1∴∠O2CB+∠O2BC=∠O2AB+∠BAO1=90°，∴O2C⊥O2B，即O2C⊥O1O2（2）延长O2O1交⊙O1于点D，连结AD.∵BD是⊙O1直径，∴∠BAD=90°又由（1）可知∠BO2C=90°∴∠BAD=∠BO2C，又∠ABD=∠O2BC∴△O2BC∽△ABD∴2OBBCABBD∴AB·BC=O2B·BD又BD=2BO1∴AB·BC=2O2B·BO1（3）由（2）证可知∠D=∠C=∠O2AB，即∠D=∠O2AB，又∠AO2B=∠DO2A∴△AO2B∽△DO2A∴2222AOOBDOOA∴AO22=O2B·O2D∵O2C=O2A∴O2C2=O2B·O2D①又由（2）AB·BC=O2B·BD②由①－②得，O2C2－AB·BC=O2B2即42－12=O1B2∴O2B=2，又O2B·BD=AB·BC=12∴BD=6，∴2AO1=BD=6∴AO1=3【8】（1）连结BC,∵A（10，0）,∴OA=10,CA=5,∵∠AOB=30°,∴∠ACB=2∠AOB=60°,∴弧AB的长=35180560;……4分（2）连结OD,∵OA是⊙C直径,∴∠OBA=90°,又∵AB=BD,∴OB是AD的垂直平分线,∴OD=OA=10,在Rt△ODE中，OE=22DEOD681022,∴AE=AO－OE=10-6=4,由∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB，∠OEF=∠DEA，得△OEF∽△DEA,∴OEEFDEAE,即684EF，∴EF=3；……4分（3）设OE=x，①当交点E在O，C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，当∠ECF=∠BOA时，此时△OCF为等腰三角形，点E为OC中点，即OE=25，∴E1（25，0）；当∠ECF=∠OAB时，有CE=5-x,AE=10-x，O1O2ABCDOBDECFxyAOBDFCEAxy∴CF∥AB,有CF=12AB,∵△ECF∽△EAD,∴ADCFAECE,即51104xx,解得：310x,∴E2（310，0）;②当交点E在点C的右侧时，∵∠ECF＞∠BOA，∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，连结BE，∵BE为Rt△ADE斜边上的中线，∴BE=AB=BD,∴∠BEA=∠BAO,∴∠BEA=∠ECF,∴CF∥BE,∴OEOCBECF,∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=Rt∠，∴△CEF∽△AED,∴CFCEADAE,而AD=2BE,∴2OCCEOEAE,即55210xxx,解得417551x,417552x＜0（舍去），∴E3（41755，0）;③当交点E在点O的左侧时，∵∠BOA=∠EOF＞∠ECF.∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO连结BE，得BE=AD21=AB，∠BEA=∠BAO∴∠ECF=∠BEA,∴CF∥BE,∴OEOCBECF,又∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=Rt∠，∴△CEF∽△AED,∴ADCFAECE，而AD=2BE,∴2OCCEOEAE,∴5+5210+xxx,解得417551x,417552x＜0（舍去）,∵点E在x轴负半轴上,∴E4（41755，0）,综上所述：存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似,此时点E坐标为：1E（25，0）、2E（310，0）、3E（41755，0）、4E（41755，0）．……4分【9】解：（1）以AB为直径的圆过点C，90ACB，而点C的坐标为(02)，，OBDFCEAxyOBDFCEAxy由COAB易知AOCCOB△∽△，2COAOBO，即：4(5)AOAO，解之得：4AO或1AO．OAOB，4AO，即41ABxx，．由根与系数关系有：21ABABxxmxxn，解之5m，3n．（2）如图（3），过点D作DEBC∥，交AC于点E，易知DEAC，且45ECDEDC，在ABC△中，易得255ACBC，，ADAEDEBCDBEC∥，，ADAEDEECBDDE，，又AEDACB△∽△，有AEACEDBC，2ADACDBBC，553ABDB，，则23OD，即203D，，易求得直线l对应的一次函数解析式为：32yx．·······································（3）过点D作DEAC于E，DFCN于F．CD为ACB的平分线，DEDF．由MDEMNC△∽△，有DEMDCNMN由DNFMNC△∽△，有DFDNCMMN1DEDFMDDNCNCMMNMN，即1113510CMCNDE【10】