《简单的线性规划问题》教案

《简单的线性规划问题》教案教学目标1．知识与技能：使学生了解线性规划的意义及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；3．情态与价值：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力．教学重、难点重点：用图解法解决简单的线性规划问题．难点：准确求得线性规划问题的最优解．教学过程1．理解线性规划的有关概念剖析：(1)线性约束条件就是指变量x，y满足的二元一次不等式组．(2)目标函数与线性目标函数的概念不同，线性目标函数在变量x，y的次数上作了严格的限定，一次解析式z＝Ax＋By＋C，即目标函数包括线性目标函数和非线性目标函数．当B≠0时，由z＝Ax＋By＋C，得AzCyxBB.这样，二元一次函数就可视为斜率为AB，在y轴上截距为zCB，且随之变化的一组平行线．于是把求z的最大值或最小值的问题转化为直线与可行域有公共点时，直线在y轴上截距的最大值或最小值问题．当B＞0时，z的值随着直线在y轴上的截距的增大而增大．当B＜0时，z的值随着直线在y轴上的截距的增大而减小．(3)可行解必须使约束条件成立，而可行域是所有的可行解构成的一个区域．即可行域是约束条件对应的二元一次不等式组表示的平面区域(或其内部的一些点)．可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无穷大的区域．2．确定线性规划中的最优解剖析：根据解题经验，确定最优解的思维过程是：线性目标函数z＝Ax＋By＋C(A，B不全为0)中，当B≠0时，AzCyxBB，这样线性目标函数可看成斜率为AB，在y轴上的截距为zCB，且随z变化的一组平行线，则把求z的最大值和最小值的问题转化为直线与可行域有公共点时，直线在y轴上的截距的最大值和最小值的问题．因此只需先作出直线AyxB，再平行移动这条直线，最先通过或最后通过的可行域的顶点就是最优解．应特别注意，当B＞0时，z的值随着直线在y轴上的截距的增大而增大；当B＜0时，z的值随着直线在y轴上的截距的增大而减小．通常情况下，可以利用可行域边界直线的斜率来判断．对于求整点最优解，如果作图非常准确可用平移求解法，也可以取出目标函数可能取得最值的可行域内的所有整点，依次代入目标函数验证，从而选出最优解．最优解一般在可行域的顶点处取得．若要求最优整解，则必须满足x，y均为整数，一般在不是整解的最优解的附近找出所有可能取得最值的整点，然后将整点分别代入目标函数验证选出的最优整解．上述求整点最优解的方法可归纳为三步：找整点→验证→选最优整解．3.典型例题例1已知yx,满足不等式组0025023002yxyxyx，试求300900zxy的最大值时点的坐标，及相应的z的最大值新疆学案王新敞【审题要津】先画出平面区域，然后在平面区域内寻找使yxz900300取最大值时的点并求最大值新疆学案王新敞解：如图所示平面区域AOBC，点A(0,125)，点B(150,0)，点C的坐标由方程组3200335025023002yxyxyx得C（3200,3350），由yxz900300，得y=-90031zx,欲求yxz900300的最大值，即转化为求截距900z的最大值，从而可求z的最大值，因直线y=-90031zx与直线y=-31x平行，故作与y=-31x的平行线，当过点A（0，125）l:x+3y=0x+2y=2502x+y=300xy250150COBA时，对应直线的截距最大，所以此时整点A使z取最大值，maxz=300×0+900×125=112500．【方法总结】1.在线性约束条件下，求cbyaxz的最值时，作图需准确，要区别目标函数所对应直线的斜率与可行域的边界直线的斜率的大小关系，分清目标函数所对应直线在y轴上的截距与z的关系．用图解法求最优解的步骤可概括为“画、移、求、答”．变式训练：已知yx,满足约束条件.0,0,2502,3003yxyxyx求目标函数yxz300600的最大值，并求整点最优解．解：可行域如图所示：四边形AOBC易求点A（0，126），B（100，0）由方程组：5191536925223003yxyxyx得点C的坐标为（6953,9151)因题设条件要求整点),(yx使yxz300600取最大值，将点（69，91），（70，90）代入yxz300600，可知当9070yx时，z取最大值为maxz=600×70+300×900=69000，最优解为)90,70(．例2营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供kg0750．的碳水化合物，kg060．的蛋白质，kg060．的脂肪，kg1食物A含有kg1050．碳水化合物，kg070．蛋白质，kg140．脂肪，花费28元；而kg1食物B含有kg1050．碳水化合物，kg140．蛋白质，kg070．脂肪，花费21元．为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？【审题要津】先将已知数据列成下表，使题意直观化．2x+y=0x+2y=2523x+y=300xy252100COBA食物／kg碳水化合物／kg蛋白质／kg脂肪／kgA0.1050.070.14B0.1050.140.07解：设每天食用x千克食物A，y千克食物B，总成本为z．那么．，　，．．．，．．．，．．．00060070140060140070075010501050yxyxyxyx①目标函数为yxz2128．二元一次不等式组①等价于．，　，，，0067146147577yxyxyxyx②作出二元一次不等式组②所表示的平面区域，即可行域．考虑yxz2128，将它变形为，这是斜率为34,2134zxy随z变化的一族平行直线．21z是直线在y轴上的截距，当21z取最小值时，z的值最小．当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数yxz2128取得最小值．由图可见，当直线yxz2128经过可行域上的点M时，截距21z最小，即z最小．解方程组,6714,577yxyx得M点的坐标为．，　7471yx所以162128minyxz．答：每天食用食物A约g143，食物B约g571，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元．【方法总结】线性规划解决实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数．然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解，最后，要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解．4.课堂小结1.常见的几种目标函数的最值的求法：①利用截距的几何意义；②利用斜率的几何意义；③利用距离的几何意义．往往是根据题中给出的不等式，求出(x，y)的可行域，利用(x，y)的条件约束，数形结合求得目标函数的最值．2．线性规划应用题主要体现在两个方面：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务．通常是根据题意设出决策变量，找出线性规划的约束条件和线性目标函数，再利用图象，在线性约束条件下找出决策变量，使线性目标函数达到最大(或最小)．