高三一轮不等式证明

走向高考·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版·高考总复习走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十三章系列4选讲系列4选讲第十三章走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十三章系列4选讲选修4－5不等式选讲第十三章走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十三章系列4选讲第二节不等式的证明第十三章走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十三章系列4选讲课前自主导学2课时作业4高考目标导航1课堂典例讲练3走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十三章系列4选讲高考目标导航走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十三章系列4选讲考纲要求命题分析1.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明．①|α|·|β|≥|α·β|；②(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2；③x1－x22＋y1－y22＋x2－x32＋y2－y32≥x1－x32＋y1－y32.2．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法．能够利用基本不等式、柯西不等式证明一些简单问题以及求一些特定函数的极值.本节内容绝对值不等式的解法和不等式的证明仍然是高考考查的重点，绝对值不等式与函数问题的综合是高考的趋势，值得关注.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十三章系列4选讲课前自主导学走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十三章系列4选讲1．基本不等式(1)定理：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．(2)定理(基本不等式)：如果a，b0，那么a＋b2________ab，当且仅当________时，等号成立．也可以表述为：两个________的算术平均_______________________它们的几何平均．≥a＝b正数不小于(即大于或等于)走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十三章系列4选讲(3)利用基本不等式求最值：对两个正实数x，y，①如果它们的和S是定值，则当且仅当________时，它们的积P取得最________值；②如果它们的积P是定值，则当且仅当________时，它们的和S取得最________值．x＝y大x＝y小走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十三章系列4选讲2．三个正数的算术—几何平均不等式(1)定理如果a，b，c均为正数，那么a＋b＋c3________sabc，当且仅当________时，等号成立．即三个正数的算术平均________它们的几何平均．(2)基本不等式的推广对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均________它们的几何平均，即a1＋a2＋…＋ann________na1a2…an，当且仅当______________时，等号成立．≥a＝b＝c不小于不小于≥a1＝a2＝…＝an走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十三章系列4选讲3．柯西不等式(1)设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．(2)设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十三章系列4选讲4．证明不等式的方法(1)比较法①求差比较法知道ab⇔a－b0，ab⇔a－b0，因此要证明ab，只要证明________即可，这种方法秒为求差比较法．②求商比较法由ab0⇔ab1且a0，b0，因此当a0，b0时要证明ab，只要证明________即可，这种方法称为求商比较法．a－b0ab1走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十三章系列4选讲(2)分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的________，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)．这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法．(3)综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明不等式成立，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法．充分条件走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十三章系列4选讲(4)反证法的证明步骤第一步：作出与所证不等式________的假设；第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立．(5)放缩法所谓放缩法，即要把所证不等式的一边适当地____________，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等式关系更为明显，从而得到欲证不等式成立．相反放大或缩小走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十三章系列4选讲(6)数学归纳法设{Pn}是一个与自然数相关的命题集合，如果：(1)证明起始命题P1(或P0)成立；(2)在假设Pk成立的前提下，推出Pk＋1也成立，那么可以断定{Pn}对一切自然数成立．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十三章系列4选讲1.已知a0，b0，且1a21b2，则a，b的大小关系为________．[答案]ab2．已知a，b，m均为正数，且ab，M＝ab，N＝a＋mb＋m，则M、N的大小关系是________．[答案]MN[解析]M－N＝ab－a＋mb＋m＝ma－bbb＋m0，即MN.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十三章系列4选讲3．设a＝3－2，b＝6－5，c＝7－6，则a，b，c的大小关系为________．[答案]abc[解析]分子有理化得a＝13＋2，b＝16＋5，c＝17＋6，∴abC．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十三章系列4选讲4．已知a0，b0，则P＝lg(1＋ab)，Q＝12[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]的大小关系为________．[答案]P≤Q走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十三章系列4选讲[解析]12[lg(1＋a)＋(1＋b)]＝lg1＋a1＋b.∵(1＋a)(1＋b)＝1＋(a＋b)＋ab≥1＋2ab＋ab＝(1＋ab)2，∴1＋a1＋b≥1＋ab，∴1＋a1＋b≥1＋ab，∴lg(1＋ab)≤lg1＋a1＋b＝12[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]，即lg(1＋ab)≤12[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．∴P≤Q.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十三章系列4选讲5．设a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝9，则2a＋2b＋2c的最小值为________．[答案]2走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十三章系列4选讲[解析]∵(a＋b＋c)(2a＋2b＋2c)＝[(a)2＋(b)2＋(c)2]·[(2a)2＋(2b)2＋(2c2]≥(a·2a＋b·2b＋c·2c)2＝18.∴2a＋2b＋2c≥2.∴2a＋2b＋2c的最小值为2.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十三章系列4选讲课堂典例讲练走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十三章系列4选讲柯西不等式的应用已知3x2＋2y2≤6，求证：2x＋y≤11.[规范解答]由于2x＋y＝23(3x)＋12(2y)，由柯西不等式(a1b1＋a2b2)2≤(a21＋a22)(b21＋b22)得(2x＋y)2≤[(23)2＋(12)2](3x2＋2y2)≤(43＋12)×6＝116×6＝11，∴|2x＋y|≤11，∴2x＋y≤11.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十三章系列4选讲[方法总结]使用柯西不等式时，关键是将已知条件通过配凑，转化为符合柯西不等式条件的式子，二维形式的柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十三章系列4选讲若3x＋4y＝2，则x2＋y2的最小值为________．[答案]425[解析]由柯西不等式(32＋42)·(x2＋y2)≥(3x＋4y)2，①得25(x2＋y2)≥4，所以x2＋y2≥425.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十三章系列4选讲不等式①中当且仅当x3＝y4时等号成立，x2＋y2取得最小值，由方程组3x＋4y＝2，x3＝y4.解得x＝625，y＝825.因此当x＝625，y＝825时，x2＋y2取得最小值，最小值为425.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十三章系列4选讲用综合法或分析法证明不等式已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求证：(1)(1a－1)·(1b－1)·(1c－1)≥8；(2)a＋b＋c≤3.[规范解答](1)∵a，b，c∈(0，＋∞)，∴a＋b≥2ab，b＋c≥2bc，c＋a≥2ca，(1a－1)·(1b－1)·(1c－1)＝b＋ca＋ca＋babc≥2bc·2ac·2ababc＝8.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十三章系列4选讲(2)∵a，b，c∈(0，＋∞)，∴a＋b≥2ab，b＋c≥2bc，c＋a≥2ca，2(a＋b＋c)≥2ab＋2bc＋2ca，两边同加a＋b＋c得3(a＋b＋c)≥a＋b＋c＋2ab＋2bc＋2ca＝(a＋b＋c)2.又a＋b＋c＝1，∴(a＋b＋c)2≤3，∴a＋b＋c≤3.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十三章系列4选讲[方法总结]用综合法证明不等式是“由因导果”，分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十三章系列4选讲设a，b，c0，且ab＋bc＋ca＝1.求证：(1)a＋b＋c≥3.(2)abc＋bac＋cab≥3(a＋b＋c)．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十三章系列4选讲[解析](1)要证a＋b＋c≥3，由于a，b，c0，因此只需证明(a＋b＋c)2≥3.即证：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，而ab＋bc＋ca＝1，故需证明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)．即证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋cA．而这可以由ab＋bc＋ca≤a2＋b22＋b2＋c22＋c2＋a22＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c时等号成立)证得．所以原不等式成立．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十三章系列4选讲(2)abc＋bac＋cab＝a＋b＋cabc.在(1)中已证a＋b＋c≥3.因此要证原不等式成立，只需证明1abc≥a＋b＋c，即证abc＋bac＋cab≤1，即证abc＋bac＋cab≤ab＋bc＋cA．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十三章系列4选讲而abc＝ab·ac≤ab＋ac2，bac≤ab＋bc2，cab≤bc＋ac2，所以abc＋bac＋cab≤ab＋bc＋ca(当且仅当a＝b＝c＝33时等号成立)．所以原不等式成立．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十三章系列4选讲比较法、放缩法证明不等式(1)求证：当x∈R时，1＋2x4≥2x3＋x2；(2)求证：32－1n＋11＋122＋132＋…＋1n22－1n(n≥2，n∈N＋)．[规范解答](1)证法一：(1＋2x4)－(2x3＋x2)＝2x3(x－1)－(x＋1)(x－1)＝(x－1)(2x3－x－1)＝(x－1)(2x3－2x＋x－1)＝(x－1)[2x(x2－1)＋(x－1)]＝(x－1)2(2x2＋2x＋1)＝(x－1)2[2(x＋12)2＋12]≥0.∴1＋2x4≥2x3＋x2.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十三章系列