例析弹性势能的考查方式

例析弹性势能的考查方式李琴江苏省黄埭中学江苏苏州215143《考试大纲》并不要求掌握弹簧弹性势能的计算公式，更不要求用弹性势能的公式去计算有关问题，但是弹性势能仍然是高考重要的考点，如何考、用什么方式考都是师生需要关注的问题。本文对历年高考和模拟中出现的对弹性势能的考查进行总结归纳，旨在解码考查方式，研究命题思想。一、能量转换考查弹性势能大小弹簧弹性势能的大小等于物体克服弹簧弹力做功的大小，即WEP。所以题中所涉及弹性势能的求解首选的处理方法就是运用动能定理或者功能关系求解。【例1】（2014·江西模拟）如图1所示，倾角为θ的固定斜面的底端有一挡板M，轻弹簧的下端固定在挡板M上，在自然长度下，弹簧的上端在O位置。质量为m的物块A（可视为质点）从P点以初速度v0沿斜面向下运动，PO＝x0，物块A与弹簧接触后将弹簧上端压到O＇点位置，然后A被弹簧弹回。A离开弹簧后，恰好能回到P点。已知A与斜面间的动摩擦因数为μ，重力加速度用g表示。求：（1）物块A运动到O点的速度大小；（2）O点和O＇点间的距离x1；（3）在压缩过程中弹簧具有的最大弹性势能EP。【解析】（1）A从P点运动到O点，只有重力和摩擦力做功，由动能定理可知：20202121)cossin(mvmvxmgmg，解得)cos(sin2020gxvv。（2）A从P点向下运动再向上运动回到P点的全过程中，根据动能定理：2010210)(cosmvxxmg，解得20201cos4xgvx。（3）A从O′运动到P点的过程中，根据功能关系))(cossin(10xxmgmgEP，解得)1tan1(4120mvEP。【答案】（1）)cos(sin2020gxvv；（2）20201cos4xgvx；（3）)1tan1(4120mvEP。【点评】本题第（2）问中求出了弹簧的最大型变量，但是对于弹性势能的求解不应该运用弹性势能与型变量的关系式221kxEP求解，因为弹性势能的表达式在《考试大纲》中不作要求，所以出题者会避开这个考点。一般情况下都是运动动能定理或者功能关系求解。二、等量置换考查弹性势能【例2】（原创）如图2所示，质量为m的物块A从弹簧的正上方O点自由释放压缩弹簧到最低点P，OP的距离为h．当用另一质量为m+m0的物块B也从O点自由释放压缩弹簧到同一点P时的速度为多少？【解析】物块B运动到P点的过程中，运用功能关系200)(21)(vmmEghmmp，要想求出v，应该先求弹簧的弹性势能Ep，可以发现物块A的重力做功全部转化为弹簧的弹性势能，pEmgh。而两次弹簧压缩量相同，弹性势能相同，联立得002mmghmv。【答案】002mmghmv。【点评】本题不需要弹性势能的表达式，也不需要弹簧具体的型变量，运用前后两次弹簧的相同压缩A图2OPhAx0OO′θv0PM图1量、相同弹性势能最为联系的纽带联立处理问题是解题的关键。三、半定量研究弹性势能【例3】如图3所示，光滑半圆形轨道半径为R，水平面粗糙，弹簧自由端D与轨道最低点C距离为4R，一质量为m的可视为质点的小物块自圆轨道中点B由静止释放，压缩弹簧后被弹回到D点恰好静止。已知物块与水平面的动摩擦因数为0.2，重力加速度为g，弹簧始终处在弹性限度内，求：（1）弹簧的最大压缩量和最大弹性势能（2）现把D点右侧水平地面打磨光滑，且已知弹簧压缩时弹性势能与压缩量的二次方成正比，使小物块压缩弹簧，释放后能通过半圆轨道最高点A，压缩量至少是多少?【解析】（1）物块从B点运动到D点后压缩弹簧后又回到D点的过程中，假设弹簧的最大压缩量为x0，根据动能定理00)24(0xRmgmgR，可得Rx5.00。弹簧从被压缩到最短到恢复原长的过程中，弹性势能完全转化为克服摩擦力做功，即mgRmgxEP1.00。（2）当物块运动到最高点时，其最小的速度满足RvmmgA2，得gRvA。物块从初始位置运动到A点的过程中，根据功能关系212124APmvRmgRmgE，解得mgREP3.31。根据“已知弹簧压缩时弹性势能与压缩量的二次方成正比”这句话得出弹性势能与型变量的半定性关系2kxEP（k为比例系数，不表示弹簧的劲度系数）。根据mgRRkEP1.0)5.0(2得出Rmgk4.0，将其代入2113.3kxmgREP得Rx2331。【点评】第（1）问中弹性势能的求解仍然涉及能量转换方法求解。第（2）问虽然涉及到弹性势能与型变量的关系，但是题中给出了两者的半定量关系，两者关系的比例系数也可以在两个势能表达式的对比中消除。四、科学探究弹性势能的表达式【例4】（2013苏州模拟）如图4所示，劲度系数k＝100N/m的一根轻质弹簧，右端固定在竖直墙壁上，左端连接一质量m＝1.0kg的小物块，开始时弹簧处于原长，小物块静止于O点，现将小物块缓慢向左拉动至A点后释放，让小物块沿水平面向右运动起来，已知OA长度L＝0.25m，小物块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.1，最大静摩擦力可看成等于滑动摩擦力的大小，g取10m/s2．（1）作出小物块在由O移动到A的过程中，弹簧弹力F随伸长量x变化的F-x图象，类比于由v-t图象求位移的方法，求此过程中克服弹簧弹力做的功W；（2）求小物块从A点向右运动过程中的最大速度v；（3）求小物块从A点开始运动后，第一次到达最右端时，弹簧的形变量；（4）求小物块从A点开始运动直至静止的总路程．【解析】（1）根据胡克定律可知，弹簧弹力F与伸长量x的关系为：F＝kx＝100x，其中0≤x≤0.25m。其F-x图象如图5所示。在F-x图象中图线与x轴所围的面积即表示了此过程中克服弹簧弹力做的功，有图4ABCDO图3F/Nx/mO0.2525图5J125.321LkLW；根据弹簧的弹性势能与其做功的关系可知，物块在A点时弹簧的弹性势能为J125.3212kLEP。（2）小物块从A点向右运动过程中受重力mg、地面的支持力N和滑动摩擦力f，以及弹簧弹力F作用，根据牛顿第二定律分析可知，此时小物块向右先做加速度逐渐减小的加速运动，当加速度减小为零时，其速度达到最大，设此时弹簧的拉伸量为x0，有kx0＝μmg，解得x0＝0.01m。物块从A点运动到速度最大位置的过程中弹簧的弹性势能减小了J12.32121202kxkLEP。根据功能关系可知2021)(mvxLmgEP，解得v＝2.4m/s。（3）设小物块第一次到达最右端时，弹簧的压缩量为x1，小物块从A点运动到最右端的过程中，弹簧弹性势能先减小后增大，根据功能关系有)(21211212xLmgkxkL，解得x1＝0.23m。（4）假设物块由最右端运动至最左端或由最左端运动至最右端的过程中，离O点的距离分别为xn和xn+1，则弹簧的弹性势能分别为221nPnkxE和21121nPnkxE，根据功能关系有)(21211212nnnnxxmgkxkx，解得：Δx＝xn－xn+1＝0.02m。说明物块每一次从一个最大位移处运动到另一个最大位移处时离O的距离都减小0.02m。已知物块最终静止时离O点的距离为x0＝0.01m，所以物块经历了120xxLn次的单向运动。对全程运用功能关系得mgskxkL2022121，解得：s＝3.12m。【答案】（1）图略，J125.3W；（2）m/s4.2v；（3）m23.01x；（4）m12.3s。【点评】科学探究是新课程的核心理念之一，人教版教材（必修2）中设计了“探究弹性势能的表达式”的研究课题，旨在让学生体会探究的过程和领悟所用的科学方法。如何通过对知识及科学方法的考查，达到考查考生探究能力的目的，成为新时代命题追求的目标。胡克定律是考纲明确要求的知识点，通过弹簧弹力和弹簧型变量之间的关系求解弹簧弹力做功，继而得出弹簧弹性势能的表达式符合科学探究的要求，而且题中给了“类比由v-t图象求位移的方法”的提示，为学生指明了方法。