中职数学21.1排列组合与二项式

第二十一章排列组合二项式定理知识结构网络图：排列与组合二项式定理基本原理排列组合排列数公式组合数公式组合数的两个性质二项式定理二项式系数的性质一、分类计数原理（加法原理）：完成一件事情，有n类方式,在第1类方式中有m1种不同的方法,在第2类方式中有m2种不同的方法，……，在第n类方式中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法.要点：（1）分类；（2）相互独立；（3）N=m1+m2+…+mn（各类方法之和）复习《第十一章概率与统计初步》分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法.要点：（1）分步；（2）每步缺一不可，依次完成；（3）N=m1×m2×…×mn（各步方法之积）总结出两个原理的联系、区别：分类计数原理分步计数原理联系区别1区别2完成一件事，共有n类办法，关键词“分类”完成一件事，共分n个步骤，关键词“分步”每类办法相互独立，每类方法都能独立地完成这件事情各步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算完成这件事都是研究完成一件事的不同方法的种数的问题二、排列的概念：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同；（3）当m=n时，称为n个元素的全排列.排列数的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数.用符号表示:mnA区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素的所有排列的个数，是一个数，所以符号只表示排列数，而不表示具体的排列.排列数公式从n个元素a1,a2,a3,…,an中任取m个元素填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列，反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数．由分步计数原理完成上述填空共有种填法.)1()2)(1(mnnnnAmn说明：（1）公式特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是n-m+1，共有m个因数；（2）全排列：当m=n时,即n个不同元素全部取出的一个排列.)1()2)(1(mnnnnAmn全排列数：)(!123)2)(1(的阶乘叫做nnnnnAnn)1()2)(1(mnnnnAmn123)1)((123))(1()2)(1(mnmnmnmnnnn排列数公式阶乘表示：)!(!mnn10！规定：一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同三、组合的概念：组合数的概念：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号表示:mnC组合数公式:一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数可以分如下两步：mnA12)2)(1()1()2)(1(AAmmmmnnnnCmmmnmn),,()!(!!nmNmnmnmnCmnmnC①先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数；mmmnmnACA②求每一个组合中m个元素全排列数，根据分步计数原理得：组合数性质1：mnnmnCC用此性质可以简化运算时当边上标之和等于下标等式两边下标相同，两）规定：（说明：,2)3()2(1C10nnm组合数性质2：mnmnmnCCC11排列和组合的区别和联系：名称排列组合定义符号公式关系性质，mnAmnC(1)(1)mnAnnnm!()!mnnAnm!0!1nnAn!)1()1(mmnnnCmn)!(!!mnmnCmn10nCmmmnnmACAmnnmnCC11mnmnmnCCC从n个不同元素中取出m个元素，按一定的顺序排成一列从n个不同元素中取出m个元素，把它并成一组全排列：n个不同元素全部取出的一个排列.全排列数公式：所有全排列的个数，即：(1)(2)21nnAnnn（a+b）n=个n)ba()ba)(ba(将(a+b)n展开五、二项式定理：计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表n(a+b)n展开式的二项式系数12345616152015611510105114641133112111对称性(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)61）请看系数有没有明显的规律？2）上下两行有什么关系吗？3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》二项式系数表.在书中说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和；指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它.这表明我国发现这个表不晚于11世纪；在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角.这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右.《九章算术》杨辉《详解九章算法》中记载的表本积平方立方三乘四乘五乘商实mmnmnbaC()nab0nnCa11nnCab*()nnnCbnN通项公式mmnmnmbaCT1叫做二项式系数二项式定理：1.系数规律：012CCCCnnnnn,,,,2.指数规律：①各项的次数均为n；②其中每一项中a的次数由n降到0,b次数由0升到n.3.项数规律：二项和的n次幂的展开式共有n+1个项.二项式定理的特点4.注意区别二项式系数与项的系数的概念项的系数为：二项式系数与数字系数的积,即字母的系数.二项式系数为mnC特别地:2、令a=1，b=x1、把b用-b代替(a-b)n=Cnan-Cnan-1b+…+(-1)mCnan-mbm+…+(-1)nCnbn01mnn)11(n2nnnrrnnnnxCxCxCxCx22111）（01CCCnnnn3、令a=1，b=1证明在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。在二项式定理中，令，则：1,1bannnnnnnnCCCCC)1(113210nnnrrnrnnnnnnbCbaCbaCaCba110)()()(03120nnnnCCCC赋值法证明：1222nn3n1n2n0nCCCC(奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和)：531420nnnnnnCCCCCC归纳提高求二项展开式系数和，常常得用赋值法，设二项式中的字母为1或-1，得到一个或几个等式，再根据结果求值赋值法相关练习题若(1+2x)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7求a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7的值求a0+a2+a4+a6的值求a1+a3+a5+a7的值练习1、若(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7求a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7的值练习2、若(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7求a0+a2+a4+a6的值411)1x：展开（＋例注：1）注意对二项式定理的灵活应用2）注意区别二项式系数与项的系数的概念二项式系数为；项的系数为：二项式系数与数字系数的积rnC解:41223344411111)1()()()CCCxxxx（[phone]()1.Cxxxxx61()6223xx：展开，并求第项的二项式系数和第例项的系数.解:6631(2)1)xxxx1=(261524336663)(2)(2)(2)xCxCxCxx1=[(24256666(2)(2)]CxCxC32236012164192240160xxxxxx=第三项的二项式系数为2615C第六项的系数为5562(1)12C7)3x:(1)求（1+2的展开式的第例4项的系数931)xxx(2)求（的展开式中的系数和中间项解:37333317(1)1(2)280TCxx第四项系数为2809921991(2)()(1)rrrrrrrTCxCxx339923,84rxC3由得r=3.故的系数为(-1)4944419595551915,6,()70170()TCxxxTCxxx中间一项是第项解：设展开式中的第r+1项为常数项，则：882443188311122rrrrrrrrxTCCxx由题意可知，244063rr故存在常数项且为第7项，常数项86660781172TCx常数项即项.0x例4(1)：试判断在的展开式中有无常数项？如果有，求出此常数项；如果没有，说明理由.8312xx100,,.236,0100.0,6,12,,96,17.rrTrr均为整数时为有理数为的倍数且即r为展开式中共有项有理项解：的展开式的通项公式为：1003)23(x10010010033211001003232rrrrrrrrTCxCx012100r，，，，点评：求常数项、有理项等特殊项问题一般由通项公式入手分析，综合性强，考点多且对思维的严密性要求也高.有理项即整数次幂项(2)：由展开式所得的x的多项式中，系数为有理数的共有多少项？1003)23(x练习：1、求的展开式常数项93()3xx1999219931()()()333rrrrrrrrrxTCCxx06.rr1由9-r-得26966791()322683TC解:2、求的展开式的中间项93()3xx解:展开式共有10项,中间两项是第5、6项4944354193()()423xTTCxx35955265193()()423xTTCxx单三步思考、1、化简：nnnmnmnnCCCC22421215432151101101511xxxxx②①n35x二项式定理的逆用2、若则p被4除所得余数为…………………()999999399329921990993333CCCCCp0)A1)B2)C3)DA二项式系数的性质：增减性与最大值1)先增后减.2)n是偶数时，中间的一项（第项）的二项式系数取得最大值；2nnC12n当n是奇数时，中间的两项（第项）的二项式系数和相等，且同时取得最大值.21nnC21nnC、121n121n问题:(1)今天是星期五，那么7天后1008(4)如果是天后的这一天呢？的这一天是星期几呢?(2)如果是15天后的这一天呢？（星期六）（星期五）(3)如果是24天后的这一天呢？（星期一）问题探究:1001001）（78m100m10099110010001007C7C7C100100199100C7C余数是1，所以是星期六）（99100990100C7C711008例