第三章微分中值定理与导数的应用习题课

1一、内容提要1.理解罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)2.了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Tayloy)定理.3.理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数定理.的单调性和求极值的方法.25.会用洛必达(L,Hospital)法则求不定式的极限.6.了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径.4.会用导数判断函数图形的凹凸性,会求拐点,会求解最大值和最小值的应用问题.会描绘函数的图形(包括水平,铅直和斜渐近线).3洛必达法则Rolle定理Lagrange中值定理常用的泰勒公式型00,1,0型型0型00型Cauchy中值定理Taylor中值定理xxF)()()(bfaf0ngfgf1fgfggf1111取对数令gfy单调性,极值与最值,凹凸性,拐点,函数图形的描绘;曲率;求根方法.导数的应用一、内容提要4)()(bfaf1.微分中值定理及其相互关系罗尔定理0)(f)()()()()()(FfaFbFafbf拉格朗日中值定理)()()(bfafxxF10)1())(()!1(1nnxxfn柯西中值定理xxF)(泰勒中值定理nnxxxfn))((!100)())(()()(000xxxfxfxfabafbff)()()(0n52.微分中值定理的主要应用(1)研究函数或导数的性态(3)证明恒等式或不等式(4)证明有关中值问题的结论(2)证明方程根的存在性6利用一般解题方法:证明含一个中值的等式或根的存在,若结论中涉及到含中值的两个不同函数,可考虑用若已知条件中含高阶导数,若结论中含两个或两个以上的中值,3.有关中值问题的解题方法(1)可用原函数法找辅助函数.(2)柯西中值定理.中值定理.(3)(4)有时也可考虑多考虑用泰勒公式,逆向思维,设辅助函数.多用罗尔定理,必须多次应用对导数用中值定理.(5)若结论为不等式,要注意适当放大或缩小的技巧.7(1)研究函数的性态:增减,极值,凹凸,拐点,渐近线,曲率(2)解决最值问题•目标函数的建立•最值的判别问题(3)其他应用:求不定式极限;几何应用;相关变化率;证明不等式;研究方程实根等.4.导数应用8二、典型例题例证明方程cbacxbxax23423在(0,1)内至少有一实根[分析]如令)(234)(23cbacxbxaxxf)1(),0(ff则的符号不易判别不便使用介值定理用Rolle定理来证证令xcbacxbxaxxf)()(234则内可导上连续，在)1,0(]1,0[)(xf且0)1()0(ff故由Rolle定理知0)()1,0(f使即cbacxbxax23423在(0,1)内有一实根9满足其中实数,,1naa012)1(3121naaann证明方程0)12cos(3coscos21xnaxaxan,2,0内至少有一根在）（xnnaxaxaxFn)12sin(123sin3sin)(21令,)(02)0(FF则且满足罗尔定理其它条件,使故2,0)(0)12cos(3coscos)(21naaaFn.2,0内至少有一根即方程在）（练习证：10例ccfcfcffxf)()()1,0(,0)1(,1)0()1,0(]1,0[)(使证明且内可导，上连续，在在已知提示：)()(xxfxF记上在则]1,0[)(xF满足Rolle定理的条件0)()1,0(cFc使P181题711在内可导,且证明至少存在一点使上连续,在问题转化为证设辅助函数)()(2xfxxF)(xF用Rolle定理,,)1,0(使即有例证上在]1,0[分析0)(2xfxx][0)(2)(ff0)()(2)(2ffF12例,)(,)(的两个零点之间试证在可导若xfxf一定.0)()(的零点有xfxf分析构造辅助函数F(x),),()()(xfxfxF使则问题转化为)(xF的零点存在问题.证设),()(xfexFx设,0)(,0)(21xfxf,21xxRolle定理),,(21xx使得)()()(fefeF0)]()([ffe,0e因此必定有.0)()(ff13例.设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且,1)3(,3)2()1()0(ffff使,)3,0(.0)(f分析:所给条件可写为1)3(,13)2()1()0(ffff试证必存在想到找一点c,使3)2()1()0()(fffcf证:因f(x)在[0,3]上连续,所以在[0,2]上连续,且在[0,2]上有最大值M与最小值m,故Mfffm)2(),1(),0(Mmfff3)2()1()0(由介值定理,至少存在一点使,]2,0[c3)2()1()0()(fffcf1,1)3()(fcf,)3,(,]3,[)(内可导在上连续在且ccxf由罗尔定理知,必存在.0)(,)3,0()3,(fc使14例解.1sin1lim220xxx求xxxxxxxx22220220sinsinlim1sin1limxxxxxxx220sin)sin)(sin(limxxxxxxxxxsinsinlimsinsinlim20030sinlim2xxxxxx~sin203cos1lim2xxx221~cos1xx31321lim2220xxx极限不等于零的因子15.arctan2limln1xxx求00运用取对数法.xxxln1arctan2lim}{ln)arctan2ln(limexpxxx}{)arctan2ln(ln1explimxxx0例解16}{2arctan1limexp2xxxx00}{11limexp22xxx1e17.)1(lim110xxxex求1运用取对数法.原式}{)1ln(limexp20xxxx000111exp{lim}2xxx1201exp{lim}2(1)xex例解P137题418.)(111lim2nnnn求这是数列的极限xxnnxxnn)()(111lim111lim22xxxx1)111(lnlimexp2tttt)1(lnlimexp20xt1e罗必达例解思考：此题如何用重要极限的方法求解？19例11112limnxxxxnxaaan)1(]ln)[ln(11211limnaaanxxxnxxe]ln)[ln(lim11211naaanxxnxxxe]ln)[ln(lim11211naaanxxnxxx而xnaanxnxx1ln)ln(lim111)00(P181题10（4）2022111111111lnln1limxxaaaaaannxnxxnxxnaaannlnlnln21)ln(21naaaxxnxxxnaaa11211lim)ln(21naaaenaaa21思考：此题如何用重要极限的方法来求解？21例.)1(51lim520xxxx求极限解法1罗比达法则1)51(2lim540xxx原式590)51(42limxx.2122例.)1(51lim520xxxx求极限解法2泰勒展开式.2的次数为分子关于x515)51(51xx)()5()151(51!21)5(51122xoxx)(2122xoxx)1()](21[lim2220xxoxxxx原式.2123例).0(,11)11ln(xxx证法一用单调性设xxxf11)11ln()(即xxxxf11ln)1ln()(由2)1(1111)(xxxxf2)1(1xx,0,0时当x)(xf证明不等式xxxfxx1111lnlim)(lim024,0时当x可知,,0)(xf即).0(,11)11ln(xxx法二用Lagrange定理).0(,11)11ln(xxx证明设,ln)(xxg]1,[xxLagrange定理xxln)1ln(1xx),1(1xx,111x由得).0(,11)11ln(xxx即xxln)1ln(x1125例证明不等式lnln()ln,(0,0,).2xyxxyyxyxyxy+++?证),0(ln)(ttttf令,1ln)(ttf则,01)(ttf.0,0),,(),(ln)(是凹的或在yxxyyxtttf)2()]()([21yxfyfxf于是,2ln2]lnln[21yxyxyyxx即.2ln)(lnlnyxyxyyxx即P152题9（3）26例.求数列的最大项.证:设),1()(1xxxfx用对数求导法得)ln1()(21xxxfx令得),1[e),(e0ee1因为在),1[只有唯一的极大点,ex因此在处也取最大值.又因中的最大项.极大值列表判别:P181题1427例问方程)0(lnaaxx有几个实根解)0(ln)(xaxxxf记axxf1)(axxf10)(得令时当ax10)(xf时当ax10)(xf11ln)1(maxaaff同时也是最大值分三种情况讨论P151题528①011ln)1(aafea1由于)(limxfx)(lim0xfx方程有两个实根，分别位于),1(),1,0(aa②011ln)1(aafea1方程仅有一个实根，即ax1③011ln)1(aaf方程无实根①②③2929测试题一、求下列极限：1、22limaxaxaxax（0a）；2、310)sin1tan1(limxxxx；3、)]11ln([lim2xxxx；4、xxxcos1sinlim0；0115.limln(1)sinxxx?!30二、一个半径为R的球内有一个内接正圆锥体，问圆锥体的高和底半径成何比例时，圆锥体的体积最大？三、若0x,试证lnxex.四、设dcxbxaxxf23)(有拐点（1，2），并在该点有水平切线，)(xf交x轴于点（3，0），求)(xf.(0,1)五、设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内导，且f(1)=0,试证：至少在一点，()(1)()0fef使得31测试题答案一、1、a21；2、21e；3、21;4、不存在;二、1:2.四、49434341)(23xxxxf.五，提示：令F(x)=exf(x)-f(x)15.2、32附：)()1()(])1([),(,),1,0(0)(),()(212121xfxfxxfbaxxxfbaxf，有试证：对内有二阶导数，在设证不妨设21xx210)1(xxx记201xxx则)(,))(1(12021210xxxxxxxx由Lagrange定理，有)