数学建模：二轮滑板的最佳运动方式

1数学建模：二轮滑板的最佳运动方式摘要“游龙板”是近年来我国较为流行的一种新型滑板。该项运动可以提高人身体的柔软性和平衡感，是一项深受青少年喜爱的体育运动。与普通滑板相比，操作时人不用下板，利用双脚前后摆动就可以驱动游龙板前进。许多人感觉游龙板的前进似乎不需借助于外力，运动原理难以想象。游龙板结构虽然简单，但设计得却相当巧妙。它有两个结构特殊的轮子，可以将板的横向摆动转换成向前的推动力。滑板在运动过程中主要受到地面给轮子的静摩擦力和人对板的蹬力，其中人对板的蹬力使活力板转动，使轮架偏离一定角度，同时地面对轮子的静摩擦力使得滑板向前运动，而人体的扭动角度对板的转动起着至关重要的作用。平地滑板前进速度与水平推进力相关，在一个摆动周期内，水平推进力越大，活力板获得的加速度最大，即在一个周期内速度的最大值尽可能的大。而水平推进力和轮架旋转的角度有关，建立水平F关于的模型，解得当为90时，地面对滑板的摩擦力完全提供水平推进力，此时水平F最大。人对滑板的作用力做功转化为板子的转动动能和轮子的转动动能，由刚体转动的动能定理建立，，板，轮的关系，假设wtsin0，化简得到板和t的关系，进而建立微分方程，通过龙格库塔法解得四分之一周期内满足微分方程的板，再对板积分得到板子最佳旋转角度为37，即最佳扭动角度。关键词：游龙板扭动角度龙格库塔法2一、问题重述“二轮滑板”又称作为“两轮滑板”、“陆地冲浪板”是一种新型的滑板，和普通的四轮的滑板不一样，它只有两个轮。因其运动起来像龙和蛇一样扭动，所以国内多大称为“游龙板”或“活力板”。它以人体运动理论和巧妙的力学原理，主要利用身体（腰部及臀部）、双脚扭动及手的摆动来驱动活力板前进。使滑板运动得到淋漓尽致的发挥。现请建立人身体扭动角度与平地滑板前进速度的关系模型，并找到最佳扭动角度。二、问题分析2.1活力板的构造活力板有前后两个面板，中间用轴连接，两个面板可以绕中间的连接轴相对转动．面板下方安装有轮架和车轮，轮架可以绕倾斜的转轴自由转动．这个构造的巧妙之处在于，轮架转轴的延长线并不通过车轮与地面的接触点，而是有一小段垂直距离如图1所示。2.2活力板的受力当人对板施加力脚F时，车板会有一个下角度的倾斜，地面对车轮的静摩擦力使轮架绕转轴旋转，这时静摩擦力会产生水平当向上的分力推动活力板向前运动。人通过用身体左右晃动来使活力板运动，板面是在水平方向上左右摆动的，所以可以将人体的扭动角度近似的看成是板身摆动的角度，板身摆动的角度与轮轴摆动的角度存在一定的关系，轮轴摆动角度与水平方向上的分力有关，根据水平分力算出滑板速度，最终可以找到速度与扭动角度的关系。三、模型假设（1）假设人体扭动角度就是板的转动角度；（2）假设轮架的转动随时间成正弦函数关系；（3）假设人施加给滑板的力是均匀大小的力；（4）假设运动过程不受空气阻力影响；（5）假设支持力不随人的扭动角度变化而变化。3四、符号说明符号说明v滑板前进速度F水平滑板受到水平方向的分力F脚使滑板作用摆动的力转轴与竖直方向的夹角轮架的旋转角度滑板转过的角度板板的旋转角速度轮滑轮绕轮轴旋转的角速度L脚到滑板中心的距离L轮轴到滑轮的距离R滑轮半径N地面对滑轮与人整体支持力板m板的质量轮m轮的质量五、模型的建立与求解5.1模型的建立（一）轮子的结构由于游龙板前后两轮结构相同，只分析其一即可。轮子是通过轮架和一倾斜的转轴安装在板E，轮子和轮架可以绕转轴的轴线pp自由转动。为分析方便，将轮子结构简化如图1所示。4图1轮子结构简化侧视图图中用线段AB和BO代表转轴和轮架，O点为轮子的圆心，D点为轮子的触地点，C点为AB的延长线与地面的交点。轮子的特殊结构体现在两个地方：第一，转轴AB是倾斜的，设与竖直方向的夹角为；第二，C点与D点是不重合的，而是落在D点的前面。当人站在板上时，地面对后轮D点的支持力设为N。人的双脚在板面上沿与前进方向相垂直的方向摆动，轮子和轮架就会绕转轴pp摆动，进而产生向前的推动力。下面对推动力产生的原因进行具体分析。（二）推动力产生原因分析如图2所示，设轮架绕转轴pp摆过任一角度，轮子摆过一定角度后，C、D蹲点的位置也发生了变化，设为C和D。轮子受地面支持力N的方向竖直向上，D点与地面问静摩擦力设为F，与水平前进方向夹角为90，做直线TD∥pp，SD与滑板前进方向一致。(1)支持力N对转轴pp的转矩①产生转矩的力的计算轮子支持力N产生使轮子绕转轴pp回摆的转矩。N在垂直于TD方向的分力N(也垂直于pp)是使轮子绕pp转动的有效力，其大小为：sinN。运动方向地面板面轮子转轴轮架pqAONDCq’p’B5图2轮子绕转轴转过任意角度B的立体图图3N对pp转动力矩的计算②产生转矩的力臂的计算将图2对应局部放大如图3所示。做HD垂直于滑板前进方向的水平线HC于H点，则HD⊥面BHC。由于两平面NDT和BHC平行，所以NP∥平面BHC，那么，分力N所在直线到转轴pp的距离就等于D点到平面BHC的距离，即HD的长度。由图3可知：HD=sinDC(1)即为N对转轴pp的力臂。pTNN’P’SHD’C’90B运动方向Aqpq’p’脚FBFTNN’CSD’90O6则支持力N对转轴pp的转矩L为：sinsinsinDCNHDNL(2)(2)静摩擦力F对转轴pp的转矩①产生转矩的力的计算如图4所示，静摩擦力F产生阻止轮子回摆的力矩，F在垂直于TD方向的分力F(也垂直于pp)为产生转矩的有效力。图4F对pp转动力矩的计算做辅助线TS⊥SD于S点，TR⊥FD于R点，连接SR，可证明：SR⊥FD，从而可以求出F与TD的夹角RDT的大小，设其大小为，可求出：sinsin)90cos(sin)90cos(cosTDTDTDSDTDRD(3)所以：222sinsin1cos1sin(4)22sinsin1sinFFF(5)②产生转矩的力臂的计算如图4所示，转轴pp平行于平面FDT，所以，F对pp转动力臂为pp平行于平面FDT的距离。过C点做平面FDT的垂线，交平面FDT于点G，连接G，D两点，GC即为所求的力臂。NTpGP’SF’D’C’F90R7可以证明：GDC=SRT，设其大小为，由图可得出：cossincoscossincossincoscossinsinDTDTRDSSDTDTDTRDSDSSDTDTRSTStg(6)所以：222cossincoscossin(7)222cossincoscossinDCDCGC(8)于是可求出力F阻止轮架回摆的力矩L：2222cos1sinsin1tgFDCGCFL(9)(3)推动力的大小令(1)(2)中的L=L。可求出：2222cos1sinsin1sinsintgNF(10)在轮子绕转轴摆过任意角度时，滑板受到的推动力实际上是F在水平前进方向的分力。22222costg1sinsin-1sinsinsinNFF水平(11)综上所述，使游龙板前进的推动力来源于轮子与地面间的静摩擦力。轮子的结构决定了只要轮子绕转轴转过一个角度，轮子与地面间就会有静摩擦力F存在，F沿运动方向的水平分量驱动游龙板前进。所以在光滑的路面上，静摩擦力不存在，游龙板无法前进。在做该项运动时，操作者的双脚在板面上要不断地用力前后摆动，目的就是8为了保持角一直存在，即角必须依靠外力才能保持。如图2所示。此时人脚施力方向为垂直纸面向外，大小设为脚F，则脚F应该与力F在垂直于运动方向的分力相平衡，即有：cosFF脚(12)可见，力脚F是力F赖以存在的保证，只要脚F存在，F就存在，所以，系统所受的推动力最终还是来源于人。尽管脚的施力方向与滑板前进的方向是垂直的，但是由于轮子结构的特殊性，可以将其转换成向前的推动力，使滑板前进。系统的动能还是来源于人的做功。分析速度与水平方向的力的关系可知，在一个周期内当水平方向的力达到最大时，其加速度最大，当力为零时，加速度为零，速度最大，假设与时间t的关系呈正弦规律变化幅值为0，角频率为，如下式：twsin0(13)另外，轮子的结构使得变化时，也会牵扯到系统重心的高低变化。0时系统重心最低，处于稳定平衡状态；180时系统重心最高，处于不稳定平衡状态。所以，游龙板只能朝一个方向运动，不能倒滑，因此0取90.由（13）式水平方向的力与的关系，将6代入(11)式。在matlab中画得图形如图5所示，由图求得最优解为当90时，水平力最大。本文将人身体扭动角度近似的看做滑板平面转动的角度。00.511.522.533.500.10.20.30.40.50.60.7beltaforce图5轮子旋转角度与水平推进力的关系9人对板施加力使得轮轴控制轮架与轮子进行滑动，首先，为了找到与的关系，建立了刚体转动的动能定理（忽略转动过程中阻力做功），即人对滑板做的功等于滑板动能的增量与轮子动能增量的和，如（14）式所示，其中脚轮板，，F是关于时间t的函数：dLFJJ'0222121脚轮轮板板(14)因为脚F与的关系如（12）式，将90代入上式解得此时的脚F，板J与轮J可以通过转动惯量计算公式解出：2'121LmJ板板(15))2(2rlrmJ轮轮(16)将（12）（15）（16）式代入（14）式，两边同时对t求导可得：板板轮脚板板21131202121cossin)2(m2dtLmttRLRLFd(17)最终建立扭动角度与平地滑板速度的模型如：t00222223202222220dtsincostg1sinsin-1cossinsin121tcostsin)2(m2dtdcostg1sinsin-1sinsinsindtmgm-板脚板板轮脚板板水平总总水平wtNFLmRLRLFNFFFdtadvvt(18)将数据代入微分方程，使用matlab中的函数ode45，通过龙格库塔法，求得板关于时间t的变化关系，如图6所示。因为90时扭动角度最佳，将其代入（13）式得到此时的t=0.25，代入（18）式即得到当37时扭动角度最10佳。使用matlab中的函数ode45，通过龙格库塔法，求得板关于时间t的变化关系如图6所示：00.010.020.030.040.050.060.0705101520253035404550t/somega/rad*s-1图6板关于时间t的变化关系六、模型的评价与推广本文将模糊的最佳扭动角度的求解问题转化为滑板旋转角度的问题，这样就可以很清楚地求出滑板前进速度与滑板旋转角度之间的函数关系，将复杂的问题通过转化变为简单的问题；对于刚体的转动过程只考虑初始状态和末状态，不考虑过程中作用力的具体情况，是问题的求解变得简单；在求解微分方程是运用了龙格库塔法，计算过程中可以改变步长，不需要计算高阶导数具有精度高、收敛、稳定等优点。在列刚体转动的动能关系时没有考虑摩擦力做功；在模型求解时很多参数都是估计得来的，存在一定的误差。七、参考文献[1]刘卫国.MATLAB程序设计与应用[M].北京：高等教育出版社，2006.[2]卓金武.MATLAB在数学建模中的应用[M].北京：北京航空航天大学出版11社，2011.[3]活力板、游龙板视频教学.