数学归纳法

数学归纳法（一）请问：以上四个结论正确吗？为什么?得出以上结论所用的方法有什么共同点和什么不同点问题1：今天，据观察第一个到学校的是男同学，第二个到学校的也是男同学，第三个到学校的还是男同学，于是得出：这所学校里的学生都是男同学。问题2：数列{an}的通项公式为an＝(n2-5n+5)2,计算得a1＝1,a2＝1,a3＝1,于是猜出数列{an}的通项公式为：an＝1。问题3：三角形的内角和为180°，四边形的内角和为2•180°，五边形的内角和为3•180°，于是有：凸n边形的内角和为(n-2)•180°。问题4：数列为{1,2,4,8}，则它的通项公式为an=2n-1(n≤4，n∈N)☺1、错；2、错，a5=25≠1；3、对；4、对。共同点：均用了归纳法得出结论；不同点：问题1、2、3是用的不完全归纳法，问题4是用的完全归纳法。一、概念1、归纳法：对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况，归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法。归纳法｛完全归纳法不完全归纳法❋用不完全归纳法得出的结论不一定正确，如问题1,2。2、数学归纳法：我们知道，有一些命题是和正整数有关的，如果这个命题的情况有无限种，那么我们不可能用完全归纳法逐一进行证明，而不完全归纳法又不可靠，怎么办？----用数学归纳法步骤：①验证n=n0时命题成立。（n0为n取的第一个值）②假设n=k(k∈N,k≥n0)时命题成立,证明n=k+1时命题也成立。③根据①②得出结论。例1、用数学归纳法证明1+3+5+……+(2n-1)=n2（n∈N）.证明：①当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立。②假设n=k(k∈N,k≥1)时等式成立,即：1+3+5+……+(2k-1)=k2，当n=k+1时：1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2，所以当n=k+1时等式也成立。由①和②可知，对n∈N，原等式都成立。请问：A、第②步中“当n=k+1时”的证明可否改换为：1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]=1+3+5+……+(2k-1)+(2k+1)==(k+1)2?为什么？2)]12(1)[1kk（B、假设n=k(k∈N)时，等式成立，那么当n=k+1时是否成立？能否由此得出对一切n∈N，等式都成立？21)1(1431321211nnnn应用一：证明恒等式1、三个步骤却一不可:第一步是是奠基步骤，是命题论证的基础，称之为归纳基础；第二步是归纳步骤，是推理的依据，是判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，它反映了无限递推关系，其中“假设n=k时成立”称为归纳假设(注意是“假设”，而不是确认命题成立)。如果没有第一步，第二步就没有了意义；如果没有第二步，就成了不完全归纳，结论就没有可靠性；第三步是总体结论，也不可少。2、在第二步的证明中必须用到前面的归纳假设，否则就不是数学归纳法了。3、数学归纳法只适用于和正整数有关的命题。由以上可知，用数学归纳法需注意：例2、求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n•1•3•…•(2n-1)证明：①n=1时：左边=1+1=2，右边=21•1=2，左边=右边，等式成立。②假设当n=k((k∈N）时有：(k+1)(k+2)…(k+k)=2k•1•3•…•(2n-1),当n=k+1时：左边=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2)=(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)•=2k•1•3•…•(2k-1)(2k+1)•2=2k+1•1•3•…•(2k-1)•[2(k+1)-1]=右边，∴当n=k+1时等式也成立。由①、②可知，对一切n∈N,原等式均成立。1)22)(12kkk（例3、设S1=12，S2=12+22+12，S3=12+22+32+22+12，…Sn=12+22+…+n2+(n-1)2+…+22+12.用数学归纳法证明：3)12(2nnSn证明：1）n=1时：左边=S1=12=1，右边==1=S1，等式成立。2）假设当n=k(k∈N)时，有：Sk=12+22+…+k2+(k-1)2+…+22+12，当n=k+1时：Sk+1=12+22+…+k2+(k+1)2+k2+…+22+12=[12+22+…+k2+(k-1)2…+22+12]+(k+1)2+k2=Sk+2k2+2k+1=+2k2+2k+1=(2k3+k+6k2+6k+3)=[(2k3+2)+6(k2+k)+(k+1)]=(k+1)(2k2+4k+2+1)=(k+1)[2(k+1)2+1],∴当n=k+1时公式仍成立。由1）、2）可知，对一切n∈N，均有。311212）（3)12(2kk3)12(2kk313131313)12(2nnSn例3、设S1=12，S2=12+22+12，S3=12+22+32+22+12，…Sn=12+22+…+n2+(n-1)2+…+22+12.用数学归纳法证明：3)12(2nnSn证明：1）n=1时：左边=S1=12=1，右边==1=S1，等式成立。311212）（2）假设当n=k(k∈N)时，有：Sk=12+22+…+k2+(k-1)2+…+22+12，3)12(2kk当n=k+1时：Sk+1=12+22+…+k2+(k+1)2+k2+…+22+12=[12+22+…+k2+(k-1)2…+22+12]+(k+1)2+k2=Sk+2k2+2k+13)12(2kk=+2k2+2k+1=(2k3+k+6k2+6k+3)31=[(2k3+2)+6(k2+k)+(k+1)]31=(k+1)(2k2+4k+2+1)31=(k+1)[2(k+1)2+1],31∴当n=k+1时公式仍成立。由1）、2）可知，对一切n∈N，均有。3)12(2nnSn练习：aaaaaann11121321、用数学归纳法证明（a≠1），在验证n=1等式成立时，左边应取的项是__________.2、某个命题当n=k(k∈N)时成立，可证得当n=k+1时也成立。现在已知当n=5时该命题不成立，那么可推得（）A、n=6时该命题不成立B、n=6时该命题成立C、n=4时该命题不成立D、n=4时该命题成立3、证明：)12(2)1()12)(12(532311222nnnnnn1+a+a2C1、用数学归纳法证明问题，三个步骤缺一不可；2、注意证明等式时第一步中n=1时左右两边的形式，第二步中n=k+1时应增加的式子；3、第二步中证明n=k+1命题成立是全局的主体，主要注意两个“凑”：一是“凑”n=k时的形式（这样才好利用归纳假设），二是“凑”目标式。小结数学归纳法的概念及应用（一）：；腰带工厂腰带生产厂家皮带加工定做bth08dwb为我把宝音除掉了？”“不不。”景大娘道，“谁敢这么想，老婆子第一个跟她拼命！”脸上的表情却是：姑娘你好辣手！这种事情是能做不能说的，老婆子懂，以后再不提了，不给姑娘找麻烦。嘉颜欲哭无泪：她真的没有！她只是看宝音越查越近，怕被揪住，便把线索栽往宝音身上，指望主子关起宝音来调查，这种事一时分辨不清，至少要查上个把月吧？她的后路也留好了，可以跑了。她真没想到宝音会溺毙……不过也很难自证清白了，看景大娘前所未有的畏惧她，她觉得担这个虚名也有好处，哼哼了一声，打发了景大娘做事去，便张罗分攒糕盘，料山上主子们回来，湿总要有些湿，再加冷，恐不能坐在大花厅中用夜宵，夜景更不能赏，原来说好的几批宾客们大约也不来了，便叮咛各屋笼好火、备好干衣，并糕盘与各样食果都分攒小盒发付各屋。苏老太爷并未登高，呆在厅中会客，不准人进，他自带了道观中僮儿伺候，嘉颜不去烦扰，连客人是谁也不去探究，但把应用物品备了取用，听外头报喜，苏明远回来了，心下一宽。那时宝音已吩咐小丫头于院门值守，外间的火也笼起来。嘉颜办了正事，又要动些手脚遮掩自己不久前私下腾挪的款项，不能立即来迎大少爷，等手头略忙得空了空，想来问大少爷安，却听闻苏明远往韩玉笙院中去了。嘉颜静了静，问了几句话，将原来准备给表院子的匣子又拆开，多包进许多玩艺器皿，共扎成四大盒，着两个婆子拿动了，开一张长单，交予乐韵收取。当时苏明远已离去，乐韵诚恐诚惶向韩玉笙报告，得了这等这等，若干东西。如此丰盛，实是从未有过的！乐韵模模糊糊觉得，这儿，怕要有天翻地覆变化了。宝音神色不动。她的路还长着！收服乐韵，只是小事。苏明远大少爷与玉笙表之间的微妙情愫，她早看在眼里，正好利用起来，连苏府中所有明的暗的关系，都在她心中。她不知谁陷害她，害她的人在暗处，而杀她的人也不知她已是韩玉笙，从这点说，她才在暗处。她已死过一次，不可再草率了，步步为营，查出真相，为自己报了仇才好。这漫长的路上，她能信任的，只有她自己。其他所有人，也许都是敌人。第十五章暗度戎琴成新赏（1）自从重新活过来之后，宝音把苏府主子们、还有重要的下人们，在心中列了个单子，反复掂量，哪个可以用，哪个特别可疑。算下来，太多人对宝音可能抱着怨恨或忌惮，宝音不得不反省自己一向来所为，心太直、嘴太利、下手太辣，但凡认定职责所在，再不肯放松；但凡看人蠢，顿时就想骂；但凡逢着有功，立刻自夸，绝不会假惺惺让给别人；但凡见着有利，能抢就抢，觉得这是自己应得的。这种性格，实在可恶，被人讨厌也是应该的吧！但也不至于死。谁能讨厌她以至于叫她死？她细