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《数学思想与方法》第1页共11页一、填空题1、古代数学大体可分为两种不同的类型：一种是崇尚逻辑推理，以《几何原本》为代表；一种是长于计算和实际应用，以《九章算术》为典范。2、在数学中建立公理体系最早的是几何学，而这方面的代表著作是古希腊欧几里得的《几何原本》。3、《几何原本》所开创的公理化方法不仅成为一种数学陈述模式，而且还被移植到其它学科，并且促进他们的发展。4、推动数学发展的原因主要有两个：实践的需要；理论的需要；数学思想方法的几次突破就是这两种需要的结果。5、变量数学产生的数学基础是解析几何，标志是微积分。6、数学基础知识和数学思想方法是数学教学的两条主线。7、随机现象的特点是在一定条件下，可能发生某种情况，也可能不发生某种情况。8、等腰三角形的抽象过程，就是把一个新的特征：两边相等，加入到三角形概念中去，使三角形概念得到强化。9、学生理解或掌握数学思想方法的过程有如下三个主要阶段潜化阶段、明朗阶段、深入理解阶段。10、数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现，它表现为数学的各个分支相互渗透和相互结合的趋势。11、强抽象就是指，通过把一些新特征加入到某一概念中去而形成新概念的抽象过程。12、菱形概念的抽象过程就是把一个新的特征：一组邻边相等，加入到平行四边形概念中去，使平行四边形概念得到了强化。13、演绎法与归纳法被认为是理性思维中两种最重要的推理方法。14、所谓类比，是指由一类事物具有某种属性，推测与其类似的某种事物也具有该属性的推测方法；常称这种方法为类比法，也称类比推理。15、反例反驳的理论依据是形式逻辑的矛盾律。16、猜想具有两个显著特点：具有一定的科学性、具有一定的推测性。17、三段论是演绎推理的主要形式。三段论由大前提、小前提、结论三部分组成。18、化归方法是指，把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或较易解决的问题中，最终获得原问题解答的一种方法。19、在化归过程中应遵循的原则是简单化原则、熟悉化原则、和谐化原则。20、在计算机时代，计算方法已成为与理论方法、实验方法并列的第三种科学方法。《数学思想与方法》第2页共11页21、算法具有下列特点：有限性、确定性、有效性。22、算法大致可以分为多项式算法和指数型算法两大类。23、匀速直线运动的数学模型是一次函数。24、所谓数学模型方法是利用数学模型解答问题的一般数学方法。25、分类必须遵循的原则是不重复、无遗漏、标准统一、按层次逐步划分。26、所谓数形结合方法，就是在研究数学问题时，由数思形、见形思数，数形结合考虑问题的一种思想方法。27、所谓特殊化是指在研究问题时，从一个对象的给定集合出发，进而考虑某个包含于该集合的较小集合的思想方法。28、面对一个问题，经过认真的观察和思考，通过归纳或类比提出猜想，然后从两个方面入手：演绎证明此猜想为真；或者寻找反例说明此猜想为假，并且进一步修正或否定此猜想。29、化归方法的三个要素是：化归对象、化归目标、化归途径。30、根据学生掌握数学思想方法的过程有潜意识、明朗化、深刻理解三个阶段，可相应地将小学数学思想方法教学设计成多次孕育、初步理解、简单应用三个阶段。31、数学思想方法是联系数学知识与数学能力的纽带，是数学科学的灵魂，它对发展学生的数学能力，提高学生的思维品质都具有十分重要的作用。33、算法的有效性是指如果使用该算法从它的初始数据出发，能够得到这一问题的正确解。34、数学的研究对象大致可以分成两大类：数量关系、空间形式。35、在实施数学思想方法教学时，应该注意三条原则化隐为显原则、循序渐进原则、学生参与原则。36、初等代数的特点是用字母符号来表示各种数，并且最初研究的对象主要是代数式的运算和方程的求解。37、一个概括过程包括比较、区分、扩张和分析等几个主要环节。38、深层类比又称实质性类比，它是通过对被比较的对象的处理相互依存的各种相似属性之间的多种因果关系的分析而得到的类比。39、19世纪在公理法方面取得了突破性进展，在这个基础上，抽象的公理法进一步向形式化方向发展。40、一个科学的分类标准必须能够将需要分类的数学对象进行不重复、无遗漏的划分。41、传统数学教学只注重形式化数学知识的传授，而忽视对知识发生过程中的挖掘。42、分类方法的原则是不重复、无遗漏、标准统一、按层次逐步划分。43、数学模型按照对模型结构和参数的了解程度可以分为三类：白箱模型、《数学思想与方法》第3页共11页灰箱模型、黑箱模型。45、数学模型具有抽象性、准确性和演绎性、预测性的特性。46、公理方法就是从初始概念和公理出发，按照一定的规定定义出其它所有的概念，推导出其他一切命题的一种演绎方法。47、概括通常包括两种：经验概括和理论概括。而经验概括是从事实出发，以对个别事物所作的观察陈述为基础，上升为普遍的认识——有对于个体特性的认识上升为对个体所属的种的特性的认识。48、化归方法是将未知问题转化为已知问题。49、公理方法是从尽可能少的初始概念和公理出发，应用严格的逻辑推理，使一门数学构建成为演绎系统的一种方法。50、数学的第一次危机是有益于出现了无理数或不可通约性的发现而造成的。52、所谓社会科学数学化就是指数学向社会学科的渗透，运用数学方法来揭示社会现象的一般规律。54、分类方法具有三个要素：母项，即被划分对象、子项，即划分后所得的类概念、根据，即划分的标准。55、在古代的游戏与赌博活动中就有概率思想的雏形，但是作为一门科学则产生于17世纪中期前后，它的起源于一个所谓的点数问题有关。56、在数学中建立公理体系最早的是几何学，而这方面的代表著作是古希腊学者欧几里德的《几何原本》。57、《九章算术》是世界上最早系统地叙述分数运算的著作，它关于负数的论述也是世界上最早的。58、数学知识与数学思想是数学教学的两条主线，数学基础知识是一条明线，他被写在教材中，数学思想方法则是一条暗线，需要教师挖掘、提炼并贯穿在教学过程中。59、反驳反例是用特殊的否定一般的一种思维方式。60、类比联想是人们运用类比法获得猜想的一种思想方法，他的主要步骤是联想、类比、猜测。61、归纳猜想是运用归纳法得到的猜想，它的思维步骤是特例、归纳、猜测。62、所谓统一性，就是部分与部分、部分与整体协调一致。63、中国《九章算术》以算为主的算法体系与古希腊《几何原本》逻辑演绎的体系在数学历史发展过程中争奇斗妍、交相辉映。二、判断题(只要答“是”或“否”)是1、计算机是数学的创造物，又是数学的创造者。否2、抽象得到的新概念与表述原来的对象的概念之间一定有种属关系。《数学思想与方法》第4页共11页否3、一个数学理论体系内的每一个命题都必须给出证明。否4、《九章算术》不包括代数、几何内容。是5、既没有脱离数学知识的数学思想方法，也没有不包括数学思想方法的数学知识。否6、数学模型方法在生物学、经济学、军事学等领域没应用。是7、在解决数学问题时，往往需要综合运用多种数学思想方法才能取得效果。否8、如果某一类问题存在算法，并且构造出这个算法，就一定能求出该问题的精确解。是9、对同一数学对象，若选取不同的标准，可以得到不同的分类。否10、数学思想方法教学隶属数学教学范畴，只要贯彻通常的数学教学原则就可实现数学思想方法教学目标。否11、由类比法推得的结论必然正确。是12、有时特殊情况能与一般情况等价。是13、完全归纳法实质上属于演绎推理的范畴。否14、古希腊的柏拉图曾在他的学校门口张榜声明：不懂几何的人不得入内。这是因为他的学校里所学习的课程要用到很多几何知识。否15、完全归纳法的一般推理形式是：设S＝nnAAAAAAA 、、，由于，，，，21321具有性质P，因此推断集合S中的每一个对象都具有性质P。否16、提出一个问题的猜想是解决这个问题的终结。是17、贯穿在整个数学发展历史过程中有两个思想，一是公理化思想，一是机械化思想。否18、算术反映的是物体集合之间的函数关系。是19、《九章算术》是世界上最早系统地叙述分数运算的著作，他关于负数的论述也是世界上最早的。否20、抽象和概括是两种完全不同的方法。是21、分类可使知识条理化、系统化。否22、在建立数学模型的过程中，不必经过数学抽象这一环节。是23、演绎的根本特点就是当他的前提为真时，结论必为真。是24、抽象得到的新概念与表述原来的对象概念之间不一定有种属关系。否25、数学模型方法是近代才产生的。否26、在小学数学教学中，本教材所涉及到的数学思想方法并不多见。是27、所谓特殊化是指在研究问题时，从对象的一个给定集合出发，近而考虑某个包含与盖集合的较小集合的思想。《数学思想与方法》第5页共11页是28、数学基础知识和数学思想方法是数学教学的两条主线。是29、新颁布的《数学课程标准》中的特点之一“再创造”体现了我国数学课程改革与发展的新理念。是30、法国的布尔巴基学派利用数学结构实现了数学的统一。否31、数学公理化方法在其他学科也能起到作用，所以它是万能的。否32、算法具有无限性、不确定性与有效性。是33、最早使用数学模型方法的当数中国古人。是34、理论方法、实验方法和计算方法并列为三种科学方法。否35、表层类比和深层类比其涵义是一样的。是36、猜想具有两个显著的特点：一定的科学性和一定的推测性。是37、数学史上著名的“哥尼斯堡七桥问题”最后由欧拉用一笔画方解决了其无解。否38、数学模型具有预测性、准确性和演绎性，但不包括抽象性。三、简答题1、为什么说《几何原本》是一个封闭的演绎体系？答：①因为在《几何原本》中，除了推导时所需要的逻辑规则外，每个订立的证明所采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过的定理，并且引入的概念也基本上是符合逻辑上对概念下定义的要求，原则上不再依赖其他东西。因此《几何原本》是一个封闭的演绎体系。②另外《几何原本》的理论体系会比任何与社会生产生活有关的应用问题，因此对于社会生活的各个领域来说，它也是封闭的。③所以，《几何原本》是一个封闭的演绎体系。2、试对《九章算术》思想方法的一个特点“算法化的内容”加以说明。答：①《九章算术》在每一章内都先列举若干实际问题，并对每个问题给出答案，然后再给出“术”，作为一类问题的共同解法。②以后遇到同类问题，只要按“术”给出的程序去做就一定能求出问题的答案。③历代数学家受到追求实用、讲究算法的传统思想的影响，使他们对《九章算术》的注、校，主要集中在对“术”进行研究，即不断改进算法。因此，我们说，内容的算法化是《九章算术》思想方法上的特点之一。3、简述确定性现象、随机现象的特点以及确定性数学的局限性。①确定性现象的特点是：在一定的条件下，其结果完全被决定，或者完全肯定，或者完全否定，不存在其他可能。即这种现象在一定的条件下必然会发生某种结果，或者必然不会发生某种结果。②随机现象的特点是：在一定的条件下，可能发生某种结果，也可能不发生某种结果。③对于随即现象，由于条件和结果之间不存在必然性联系，因此不能用确定数学来加以定量描述；此外，由于《数学思想与方法》第6页共11页随机现象并不是杂乱无章的现象，就个体而言，似乎没有什么规律存在，但当同类现象大量出现时，从总体上却呈现出一种规律性，而确定数学无法定量地揭示这种规律性。4、简述计算机在数学方面的三种新用途。在数学方面，计算机至少有三种新的用途，第一，用来证明一些数学命题，而通常证明这类命题，需要进行异常巨大的计算与演绎工作；第二，用来预测某些数学问题的可能结果；第三，用来作为一种验证某些数学问题结果的正确性的方法。5、简述数学抽象的特征。答：数学抽象有以下特征：①无物质性；②层次性；③数学抽象过程要凭借分析或直觉；④数学抽象不仅有概念抽象还有方法抽象。6、简述化归方法在数学教学中的应用。答：①利用划归方法学习新知识；②利用划归方法指导解题；③利用划归原理清理知识结构。7、简述用MM方法解决实际问题的基本步骤，并用框图加以表示。答：用MM方法解决实际问题的基本步骤为：①从现实原型抽象概括出数学模型；②在数学模型上进行逻辑推理、论证或演算，求得数学问题的解；③从数学模型再过渡到现实原型