数学思想方法在高中数学解题中的应用

数学思想方法在高中数学解题中的应用蔡书辉摘要：数学思想方法的教学是数学教学的难点,搞好数学思想方法教学的关键在于牢固把握核心观念并以此基础构建数学思想方法网络。把握数学思想发展脉络有助于恰当把握教学的起点；把握数学思想发展网络有助于选择恰当的教学方法；构建数学思想网络可以使学生形成正确的数学观与世界观。高中数学教学中，常用的数学思想方法有函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想、分类讨论思想。一、数学思想方法概述1、函数与方程的思想函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等。方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程的教学是对方程的概念本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。函数与方程的思想在解题中的应用可从以下几个方面思考：（1）函数与不等式的相互转化，对函数y＝f（x），当y0时，就转化为不等式f（x），借助于函数的图像和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式。（2）数列的通项与前n项和公式是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要，数列也可用方程思想求解。（3）解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函数的有关理论。（4）立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切。2、转化与化归的思想转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。在实际解题过程中，实施化归与转化时，我们要遵循以下五项基本原则：(1)化繁为简的原则；(2)化生为熟的原则；(3)等价性原则；(4)正难则反原则；(5)形象具体化原则。3、数形结合思想数形结合的数学思想，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形；一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。数形结合思想应用原则：（1）等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞，有时，由于图形的局限性，不能完整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明。（2）双向性原则在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的。（3）简单性原则找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于哪种方法更为简单。4、分类讨论思想分类讨论思想是一种重要的数学思想方法。其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略。对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度。分类讨论的常见类型：(1)由数学概念引起的分类讨论。有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等。(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论。有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等。(3)由数学运算要求引起的分类讨论。如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等。(4)由图形的不确定性引起的分类讨论。有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等。(5)由参数的变化引起的分类讨论。某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法。(6)由实际意义引起的讨论。此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用。分类讨论的原则：(1)不重不漏。(2)标准要统一，层次要分明。(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论。二、典型示例：1．1求变量的最值或范围（函数与方程的思想）[例1]长度都为2的向量OA→，OB→的夹角为60°，点C在以O为圆心的圆弧AB(劣弧)上，OC→＝mOA→＋nOB→，则m＋n的最大值是()A．1B.233C．2D.3解答：建立平面直角坐标系，设向量OA→＝(2,0)，向量OB→＝(1，3)．设向量OC→＝(2cosα，2sinα)，0≤α≤π3.由OC→＝mOA→＋nOB→，得(2cosα，2sinα)＝(2m＋n，3n)，即2cosα＝2m＋n,2sinα＝3n，解得m＝cosα－13sinα，n＝23sinα.故m＋n＝cosα＋13sinα＝233sinα＋π3∵0≤α≤π3，∴π3≤α＋π3≤2π3∴32≤sinα＋π3≤1，∴1≤233sinα＋π3≤233∴m＋n的最大值为233。1.2总结：四类参数范围(或最值)的求解方法：(1)求字母(式子)的值的问题往往要根据题设条件构建以待求字母(式子)为元的方程(组)，然后由方程(组)求得。(2)求参数的取值范围是函数、方程、不等式、数列、解析几何等问题中的重要问题，解决这类问题一般有两种途径：其一，充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式(组)求解；其二，充分应用题设中的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数，然后，应用函数知识求值域。(3)当问题中出现两数之积与这两数之和时，这是构建一元二次方程的明显信息，构造方程后再利用方程知识可使问题巧妙解决。(4)当问题中出现多个变量时，往往要利用等量关系去减少变量的个数，如最后能把其中一个变量表示成关于另一个变量的表达式，那么就可用研究函数的方法将问题解决。2．1特殊与一般的转化（转化与化归的思想）[例2]若椭圆C的方程为x25＋y2m＝1，焦点在x轴上，与直线y＝kx＋1总有公共点，那么m的取值范围为__________。解答：由椭圆C的方程及焦点在x轴上，知0m5又直线与椭圆总有公共点，(确定需转化的目标)直线恒过点(0,1)，(寻找“特殊元素”)则定点(0,1)必在椭圆内部或边界上(获取新目标问题)则025＋12m≤1，即m≥1(解决新目标问题)故m的取值范围为[1,5)(回归目标结果)2．2总结：此类问题关键：寻找“特殊”元素与“一般元素”一般问题转化为特殊问题时，寻找“特殊元素”把特殊问题转化为一般问题，寻找“一般元素”。形体位置关系转化法是针对几何问题采用的一种特殊转化方法，这类转化法一般要分析形体特征，根据形体特征确立需要转化的对象．在新的几何体中解决目标问题。3．1数与函数图像的结合（数形结合的思想）[例3]设函数f(x)的定义域为D，如果存在正实数k，使对任意x∈D，都有x＋k∈D，且f(x＋k)f(x)恒成立，则称函数f(x)为D上的“k型增函数”．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且在x0时，f(x)＝|x－a|－2a，若f(x)为R上的“2015型增函数”，则实数a的取值范围是_________解答：由题意得，当x0时，f(x)＝x－3ax≥a，－x－axa①当a≥0时，函数f(x)的图像如图(1)所示，考虑极大值f(－a)＝2a，令x－3a＝2a，得x＝5a所以只需满足5a－(－a)＝6a2015，即0≤a20156②当a0时，函数f(x)的图像如图(2)所示，且f(x)为增函数，因为x＋2015x，所以满足f(x＋2015)f(x)，综上可知，实数a的取值范围是－∞，20156.故填－∞，201563．2总结：数形结合法是研究求解问题中含有几何意义命题的主要方法，解题时既要考虑图形的直观，还要考虑数的运算．如本例，利用函数解析式，画出函数的大致图像，从左到右观察图像，可确定函数图像的变化趋势，得到函数的单调性。4．1由数学概念引起的分类讨论（分类讨论思想）[例4](2015·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2x－1－2，x≤1，－log2x＋，x1，且f(a)＝－3，则f(6－a)＝()A．－74B．－54C．－34D．－14解答：分类讨论处理条件f(a)＝－3，解得a，然后代入函数解析式计算f(6－a)由于f(a)＝－3，①若a≤1，则2a－1－2＝－3，整理得2a－1＝－1(确定分类标准1)由于2x＞0，所以2a－1＝－1无解；(分类处理问题1)②若a＞1，则－log2(a＋1)＝－3，(确定分类标准2)解得a＋1＝8，a＝7，(分类处理问题2)所以f(6－a)＝f(－1)＝2－1－1－2＝－74综上所述，f(6－a)＝－74故选A(汇总问题)4．2总结：解分类问题的步骤：(1)确定分类讨论的对象，即对哪个变量或参数进行分类讨论。(2)对所讨论的对象进行合理的分类。(3)逐类讨论，即对各类问题详细讨论，逐步解决。(4)归纳总结，将各类情况总结归纳。三、总结：数学思想方法是数学知识的精髓，它内隐于数学知识中，需要从中挖掘提炼。作为数学教师在教学中必须注重学生数学思想方法的形成与发展，活化思想方法，形成用思想方法指导思维活动，探索问题解答策略的良好习惯。