中职数学教学课件：第6章-数列

第六章数列本章将学习数列、等差数列、等比数列的概念及相关的计算，并通过实际例子，了解它们在实际生活中的应用.6.1数列的概念◎教学目标1.理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；2.了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式.创设情境兴趣导入将正整数从小到大排成一列数为1，2，3，4，5，…．(1)将2的正整数指数幂从小到大排成一列数为23452,2,2,2,2,．(2)-1，1，-1，1，…．(3)排成一列数为3，3.1，3.14，3.141，…．(4)当n从小到大依次取正整数时，的值排成一列数为cosn取无理数的近似值（四舍五入法），依照有效数字的个数，动脑思考探索新知按照一定的次序排成的一列数叫做数列．数列中的每一个数叫做数列的项．从开始的项起，按照自左至右排序，各项按照其位置依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，第3项，…，第n项，…，其中反映各项在数列中位置的数字1，2，3，…，n，分别叫做对应的项的项数．只有有限项的数列叫做有穷数列，有无限多项的数列叫做无穷数列．创设情境兴趣导入将正整数从小到大排成一列数为1，2，3，4，5，…．(1)将2的正整数指数幂从小到大排成一列数为23452,2,2,2,2,．(2)-1，1，-1，1，…．(3)排成一列数为3，3.1，3.14，3.141，3.1416，…．(4)当n从小到大依次取正整数时，的值排成一列数为cosn取无理数的近似值（四舍五入法），依照有效数字的个数，【小提示】数列的“项”与这一项的“项数”是两个不同的概念．如数列（2）中，第3项为，这一项的项数为3.32上面的4个数列中，哪些是有穷数列,哪些是无穷数列?123,,,,naaaa，*()nN由于从数列的第一项开始，各项的项数依次与正整}．其中，下角码中的数为项数，na简记作{1a表示第1项，na2a表示第2项，…．当n由小至大依次取正整数值时，na依次可以表示数列中的各项，因此，通常把第n项{}的通项或一般项．na叫做数列动脑思考探索新知数相对应，所以无穷数列的一般形式可以写作运用知识强化练习1.说出生活中的一个数列实例．为“-5,-3,-1,1,3,5，…”，指出其中{}na3.设数列、3a6a各是什么数？2.数列“1，2，3，4，5”与数列“5，4，3，2，1”是否为同一个数列？创设情境兴趣导入将正整数从小到大排成一列数为1，2，3，4，5，…．(1)将2的正整数指数幂从小到大排成排成一列数为23452,2,2,2,2,．(2)1a2a3a4a5a*()nannN*2()nnanNna一个数列的第n项如果能够用关于项数n的一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.巩固知识典型例题例1根据下列各无穷数列的前4项,写出数列的一个通项公式.(1)5,10,15,20，…；解（1）观察发现，每一项都恰好是其项数的5倍，故数列的一个通项公式为5nan．巩固知识典型例题例1根据下列各无穷数列的前4项,写出数列的一个通项公式.(1)5,10,15,20，…；11112468，，，，；(2)解：观察发现，各项都是分数，分子都是1，分母恰好是其项数的2倍，故数列的一个通项公式为12nan．巩固知识典型例题例1根据下列各无穷数列的前4项,写出数列的一个通项公式.(1)5,10,15,20，…；11112468，，，，；(2)(3)−1，1，−1，1，…．解：观察发现，各项的绝对值都是1，符号为负、正相间，故数列的一个通项公式为(1)nna．由数列的有限项探求通项公式时，答案不一定是唯一的．各项恰好为底为－1指数为其项项数的幂，巩固知识典型例题}的通项公式为12nnana例2设数列{,写出数列的前5项．111122a；221142a；331182a；4411162a；5511322a．解巩固知识典型例题例3判断16和45是否为数列{3n+1}中的项,如果是,请指出是第几项.1631n4531n将16代入数列的通项公式有31nan，解数列的通项公式为*5nN．解得{31}n所以，45不是数列中的项．{31}n所以，16是数列中的第5项．将45代入数列的通项公式有*443nN解得运用知识强化练习1.根据下列各数列的通项公式，写出数列的前4项：2.根据下列各无穷数列的前4项，写出数列的一个通项公式：32nna（1)；2(1)nnan（）．(1)－1，1，3，5，…；13，16，19，112，；(2)12，34，56，78，．(3)2{}nn中的项，如果是，请指出是第几项．3.判断12和56是否为数列按照一定的次序排成的一列数叫做数列．数列中的每一个数叫做数列的项．从开始的项起，按照自左至右排序，各项按照其位置依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，第3项，…，第n项，…，其中反映各项在数列中位置的数字1，2，3，…，n，分别叫做各项的项数．理论升华整体建构.数列、项、项数分别是如何定义的？自我反思目标检测判断22是否为数列2{20}nn中的项，如果是,请指出是第几项．7是，是第项．自我反思目标检测学习行为学习效果学习方法6.2等差数列（1（2）掌握等差数列的通项公式及推广后的通项公式.教学目标教学重点教学难点1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式；掌握等差中项的概念．2.逐步灵活应用等差数列的概念和通项公式解决问题．3.通过教学，培养学生的观察、分析、归纳、推理的能力，渗透由特殊到一般的思想．1．等差数列的概念．2．等差数列的通项公式．等差数列的通项公式的灵活应用．教学方法本节课主要采用自主探究式教学方法．充分利用现实情景，尽可能地增加教学过程的趣味性、实践性．在教师的启发指导下，强调学生的主动参与，让学生自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论，从而达到使学生既获得知识又发展智能的目的．①某工厂的仓库里堆放一批钢管，共堆放了7层，从上到下列出每层钢管数排成的数列为：.4，5，6，7，8，9，10．新课导入②梯子自上而下各级宽度排成的数列：（单位：厘米）25，28，31，34，37，40，43，46以上两个数列有什么特点？（一）等差数列的定义•若一个数列从它的第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，则这个数列叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差。公差用d表示。特别地，公差为0的数列叫做常数列．an+1-an=d(n≥1)a1,a2,a3a4,…,an,an+1,…dddd新课讲授关键：1、从第二项起，每一项减去前一项，顺序不能颠倒；2、后项减前项的差是同一个常数。•判断以下数列是否为等差数列，如果不是的说明理由，是等差数列的写出公差：•①2，4，6，8，10；•②1，2，4，6，8；•③-7，-4，-1，2，5；•④6，5，4，3，2，1；•⑤3，3，3，3，…是是是是不是d=2d=-1d=0d=3常数列课堂练习题把这n－1个式子的两边分别相加，就能得到问题：已知一个等差数列{an}的首项是a1，公差是d，如何求出它的任意项an呢？即（二）等差数列的通项公式新课讲授（二）等差数列的通项公式新课讲授例1求等差数列8，5，2，…的通项公式和第20项．解：因为a1＝8，d＝5－8＝－3，所以这个数列的通项公式是an=8＋(n－1)×(－3)，即an＝－3n＋11．所以a20＝－3×20＋11＝－49.课堂典例讲练例2等差数列－5，－9，－13，…的第多少项是－401？解因为a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，an＝－401，所以－401＝－5＋(n－1)×(－4)．解得n＝100．即这个数列的第100项是－401．例3在通常情况下，从海平面到10千米的高空，高度每增加1千米，气温就下降某一固定数值．如果某地海拔1千米处的气温是8.5℃，海拔5千米处的气温是－17.5℃，求海拔2千米，4千米，8千米处的气温．解：设海拔1千米，2千米，3千米，…，8千米处的气温数值组成的数列为｛an｝．由题意可知，数列｛an｝是等差数列，并且a1＝8.5，a5＝－17.5．因此，海拔2千米，4千米，8千米处的气温分别是2℃，－11℃，－37℃．所以由a5＝a1＋4d，得2、求等差数列3，7，11，…的第4，7，10项；3、求等差数列10，8，6，…的第20项．课堂练习题4、在等差数列{an}中：（1）已知等差数列{an}中，a1=3，an=21，d=2，求n．（2）已知等差数列{an}中，a4=10，a5=6，求a8和d．如果a，A，b，成等差数列，则A－a＝b－A即A＝这时，A就称为a与b的等差中项．2ba新课讲授（三）等差中项的定义（2）解：因为3，A，7成等差数列，所以A为3,7的等差中项，即2A＝3＋7．解得A＝5．例3下列数列都是等差数列，试求出其中的未知项：（1）3，a，5（2）在3与7之间插入一个数A，使3，A，7成等差数列．解（1）由题意得课堂典例讲练5．求下列题中两个数的等差中项。（1）10与16（2）－3与7课堂练习题1．等差数列的定义及通项公式．2.等差中项的定义及公式．3．等差数列定义、通项公式和中项公式的应用．课堂小结在等差数列｛an｝中，根据等差中项的定义可知2a2＝a1＋a3，即类似地，有由此启发我们想到：若m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N*），则应有am＋an＝ap＋aq你能证明这个结论吗？6.3等比数列（1）掌握等比数列的定义；归纳出等比数列的通项公式;（2）理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质.复习回顾1.等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d推广：an=am+(n-m)d2.等差中项公式:3.等差数列前n项和公式.2baA1)2nnnaaS（11)2nnnSnad（等比数列新课导入国际象棋源于古代印度，国王为奖励发明者，答应他的任何要求，发明者说：“请在棋盘的第一个格子放1颗麦粒，在第2个格子放2颗麦粒，在第3个格子放4颗麦粒，在第4个格子放8颗麦粒，依此类推，每个格子都是前面格子的2倍，直到64个格子。请给我足够的粮食实现上述要求。”你认为国王能满足他的要求吗？上述各个格子的麦粒数构成一个数列：.2,222,16332，，，，等比数列新课讲授等比数列的定义如果一个数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个不为零的常数q，则称数列{an}为等比数列，常数q称为公比.数学语言：.21nqaann等比数列的通项公式若数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，则qaa122123qaqaa3134qaqaa.11nnqaa.,111为公比为首项，其中的通项公式为等比数列qaqaaannn如果a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.由等比中项的定义可知，a,G,b满足关系：等比中项GbaGabG2abG等比中项公式⑴×q,得nqS.11121211nnnqaqaqaqaqa⑵⑴－⑵，得,111nnqaaSqqqaSnn111nnaaaaS321.11212111nnnqaqaqaqaaS⑴等比数列的前n项和公式若数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，即∴当q≠1时，当q=1时，1naSn等比数列的前n项和公式等比数列的前n项和公式：111)1(naqqaSnn1q1qqqaan11等比数列例题讲解例1解：.641212,1,--已知等差数列项，求该数列的第，，,2121,2121aaqa.16121251616qaa例2.,251,2551qaaan求为等比数列，已知441525125qqaa，即解：5q等比数列例3已知{an}为首项a1=3,公比q=2的等比数列，则第几项是96？解：设第n项是96