圆周运动中的临界问题和周期性问题

11圆周运动中的临界问题和周期性问题一、圆周运动问题的解题步骤：1、确定研究对象2、画出运动轨迹、找出圆心、求半径3、分析研究对象的受力情况，画受力图4、确定向心力的来源5、由牛顿第二定律rTmrmrvmmaFnn222)2(……列方程求解二、临界问题常见类型：1、按力的种类分类：（1）、与弹力有关的临界问题：接触面间的弹力：从有到无,或从无到有绳子的拉力：从无到有，从有到最大，或从有到无（2）、与摩擦力有关的弹力问题：从静到动，从动到静，临界状态下静摩擦力达到最大静摩擦2、按轨道所在平面分类：（1）、竖直面内的圆周运动（2）、水平面内的圆周运动三、竖直面内的圆周运动的临界问题1、单向约束之绳、外轨道约束下的竖直面内圆周运动临界问题：特点：绳对小球，轨道对小球只能产生指向圆心的弹力①临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：mg=mv2/R→v临界=Rg（可理解为恰好转过或恰好转不过的速度）即此时小球所受重力全部提供向心力②能过最高点的条件：v≥Rg，当v＞Rg时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力．③不能过最高点的条件：v＜V临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道做斜抛运动）例1、绳子系着装有水的木桶，在竖直面内做圆周运动，水的质量m=0.5kg，绳子长度为l=60cm，求：（g取10m/s2）A、最高点水不留出的最小速度？B、设水在最高点速度为V=3m/s，求水对桶底的压力？答案：（1）sm/6（2）2.5NmgOmgO轨道22变式1、如图所示，一质量为m的小球，用长为L细绳系住，使其在竖直面内作圆周运动.(1)若过小球恰好能通过最高点，则小球在最高点和最低点的速度分别是多少？小球的受力情况分别如何？(2)若小球在最低点受到绳子的拉力为10mg，则小球在最高点的速度及受到绳子的拉力是多少？2、单向约束之内轨道约束下（拱桥模型）的竖直面内圆周运动的临界问题：汽车过拱形桥时会有限速，是因为当汽车通过半圆弧顶部时的速度grv时，汽车对弧顶的压力FN=0，此时汽车将脱离桥面做平抛运动，因为桥面不能对汽车产生拉力．例2、半径为R的光滑半圆球固定在水平面上，顶部有一小物体，如图所示。今给小物体一个水平初速度0vRg，则小物体将（）A.沿球面下滑至M点B.先沿球面下滑至某点Ｎ，然后便离开斜面做斜下抛运动Ｃ.按半径大于R的新的圆弧轨道做圆周运动D.立即离开半圆球做平抛运动3、双向约束之轻杆、管道约束下的竖直面内圆周运动的临界问题物体(如小球)在轻杆作用下的运动，或在管道中运动时，随着速度的变化，杆或管道对其弹力发生变化．这里的弹力可以是支持力，也可以是压力，即物体所受的弹力可以是双向的，与轻绳的模型不同．因为绳子只能提供拉力，不能提供支持力；而杆、管道既可以提供拉力，又可以提供支持力；在管道中运动，物体速度较大时可对上壁产生压力，而速度较小时可对下壁产生压力．在弹力为零时即出现临界状态．（一）轻杆模型如图所示，轻杆一端连一小球，在竖直面内作圆周运动．(1)能过最高点的临界条件是：0v．这可理解为恰好转过或恰好不能转过最高点的临界条件，此时支持力mgN．(2)当0vRg时，mgN0，N仍为支持力，且N随v的增大而减小，mgO33(3)当vRg时，N＝0，此为轻杆不受弹力的临界条件．(4)当vRg时，N随v的增大而增大，且N为拉力指向圆心，例3、如图所示，有一长为L的细线，细线的一端固定在O点，另一端拴一质量为m的小球，现使小球恰好能在竖直面内做完整的圆周运动。已知水平地面上的C点位于O点正下方，且到O点的距离为1.9L。不计空气阻力。(1)求小球通过最高点A时的速度vA;(2)若小球通过最低点B时，细线对小球的拉力T恰好为小球重力的6倍，且小球经过B点的瞬间让细线断裂，求小球落地点到C点的距离。解：(1)小球恰好能做完整的圆周运动，则小球通过A点时细线的拉力刚好为零，根据向心力公式有：mg=2AvmL解得:AvgL。(2)小球在B点时根据牛顿第二定律有T-mg=m2BvL其中T=6mg解得小球在B点的速度大小为vB=5gL细线断裂后，小球从B点开始做平抛运动，则由平抛运动的规律得:竖直方向上1.9L-L=21gt2(2分)水平方向上x=vBt(2分)解得:x=3L(2分)即小球落地点到C点的距离为3L。答案:(1)gL(2)3L㈡管道模型质点(小球)在光滑、竖直面内的圆管中作圆周运动(圆管截面半径r远小于球的圆周运动的半径R)，如图所示．小球达到最高点时对管壁的压力有三种情况：(1)刚好对管壁无压力，此时重力为向心力，临界速度为Rgv．(2)当Rgv时，对下管壁有压力，此时RvmmgN2，故mgN0。44(3)当Rgv时，对上管壁有压力，此时mgRvmN2。实际上，轻杆和管道两种约束情况可化归为同类的物理模型，即双向约束模型．例4、一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多），圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）。A球的质量为m1，B球的质量为m2。它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0。设A球运动到最低点时，球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1，m2，R与v0应满足关系式是。解：首先画出小球运动达到最高点和最低点的受力图，如图4-1所示。A球在圆管最低点必受向上弹力N1，此时两球对圆管的合力为零，m2必受圆管向下的弹力N2，且N1=N2。据牛顿第二定律A球在圆管的最低点有：RvmmgN2011同理m2在最高点有：RvmmgN2122m2球由最高点到最低点机械能守恒：202212221212vmvmgRm21NN由上述方程可得：12120)5(mmgRmmv【小结】比较复杂的物理过程，如能依照题意画出草图，确定好研究对象，逐一分析就会变为简单问题。找出其中的联系就能很好地解决问题。四、水平面内圆周运动中的临界问题：解决圆周运动中临界问题的一般方法1、对物体进行受力分析2、找到其中可以变化的力以及它的临界值3、求出向心力（合力或沿半径方向的合力）的临界值4、用向心力公式求出运动学量（线速度、角速度、周期、半径等）的临界值例5、水平转盘上放有质量为m的物快，当物块到转轴的距离为r时,若物块始终相对转盘静止，物块和转盘间最大静摩擦力是正压力的μ倍，求转盘转动的最大角速度是多大？解：由rmmg2得：rgOO’A55点评：提供的向心力的临界值决定了圆周运动角速度的临界值变式5、物体与圆筒壁的动摩擦因数为μ，圆筒的半径为R，若要物体不滑下，圆筒的角速度至少为多少？解：得例6、如图所示，两绳系一质量为m＝0.1kg的小球，上面绳长L＝2m，两端都拉直时与轴的夹角分别为30°与45°，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧，当角速度为3rad／s时，上、下两绳拉力分别为多大？解：当ω渐大，AC绳与杆夹角变大，但BC绳还没拉直。当AC绳与杆夹角为30°时，BC绳处在虚直状态。之后ω再增大，BC绳上也会有拉力。所以BC绳虚直为临界状态。20tan30sin30mgmL010102.4rad/scos303322gL∴0，BC绳上有拉力。分析小球，由牛顿第二定律：2cos30cos45sin30sin45sin30ACBCACBCTTmgTTmL23222121222ACBCACBCTTmgTTmL31N101726N20ACBCTT变式6-1：如图，长为L的绳子，下端连着质量为m的小球，上端接于天花板上，当把绳子拉直时，绳与竖直方向夹角θ=60°。此时小球静止于光滑水平面上。30°45°ABCθθ30°45°ABCrmFN2mgFNrg66（1）当小球以Lg做圆锥摆运动时，绳子张力多大？桌面支持力多大？（2）当小球以Lg4做圆周运动时，绳子张力多大？桌面受到的压力多大？答案：（1）T=mgmgFN21(2)T=4mg0NF变式6-2、如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为θ＝30°，一条长度为L的绳（质量不计），一端的位置固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m的小物体（物体可看质点），物体以速率v绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动。⑴当v＝16gL时，求绳对物体的拉力；⑵当v＝32gL时，求绳对物体的拉力。解：物体在水平面内做匀速圆周运动，由重力G、拉力T、支持力N提供向心力，当角速度ω很小时，物体在圆锥体上运动。2sincos(1)sincossin(2)vTNmLTNmg由（2）得：sincosmgNT代入（1）得：2tan(tansincos)sinvmgNmL由此可得，当v增大时，N减少。∴当ω大到一定值时，物体将离开锥面，绳与竖直方向的夹角将变大。显然当球与锥面虚接触（即N=0，θ=30°）时的线速度值为物体的临界速度。对球分析，由牛mgNTθ77顿第二定律：202(3)23(4)2vTmLTmg233Tmg036gLv⑴当106gLvv，所以N0。21sincos(1)sincossin(2)vTNmLTNmg由（2）得：cossinmgTN代入（1）得：21(sincotcos)cotsinvTmgmL2031cot6331sin21.03sincotcos613322gLmmgvmmgLLTmgmg⑵当2032gLvv，此时N=0，但夹角变大，不为30°2sin(5)sincos(6)vTmLTmg由（6）得：cosmgT（7），代入（5）得：2sincossinvmgmL223sin21.5cosgLvgLgL60代入（7）得：2Tmg例7、如图所示，细绳一端系着质量M＝0.6kg的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑的小孔吊着质量m＝0.3kg的物体，M的中与圆孔距离为0.2m，并知M和水平面的最大静摩擦力为2N。现使此平面绕中心轴线转动，问角速度ω在什么范围m会处于静止状态？（g＝10m／s2）88（ω的范围是：sradsrad/1535/335即2.9rad／s＜ω＜6.5rad／s）变式7：在以角速度ω匀速转动的转台上放着一质量为M的物体，通过一条光滑的细绳，由转台中央小孔穿下，连接着一m的物体，如图所示。设M与转台平面间的最大静摩擦力为压力的k倍，且转台不转时M不能相对转台静止。求：（1）如果物体M离转台中心的距离保持R不变，其他条件相同，则转台转动的角速度ω满足什么条件，物体M才能随转台转动？（2）物体M随转台一起以角速度ω匀速转动时，物体离转台中心的最大距离和最小距离。答案：（1）srad/3032（2）srad/52例8、如图所示，在水平转台上放有A、B两个小物块，它们距离轴心O分别为mrA2.0，mrB3.0，它们与台面间相互作用的静摩擦力的最大值为其重力的0.4倍，取2/10smg。（1）当转台转动时，要使两物块都不发生相对于台面的滑动，求转台转动的角速度的范围；（2）要使两物块都对台面发生滑动，求转台转动角度速度应满足的条件。OAB答案：（1）srad/31020（2）srad/52MromMm99变式8：如图，匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放置用细线相连的质量均为m的A、B两个小物块。A离轴心的距离r1=20cm，B离轴心的距离r2=30cm，A和B与盘面间相互作用的最大静摩擦力均为重力的0.4倍，求：（1）若细线上没张力，圆盘转动的角速度应该满足什么条件？（2）欲使A、B与盘间不发生相对滑动，圆盘转动的最大角速度为多少？（3）当A即将滑动时，烧断细线，A、B运动状态如何？答案：（1）srad/3032（2）4rad/s（3）