电磁场与电磁波 第6章 电磁感应

2020/3/91第六章电磁感应主要内容电磁感应定律，自感与互感，能量与力。1.电磁感应定律2.自感与互感3.磁场的能量4.磁场力2020/3/921.电磁感应定律穿过闭合线圈中的磁通发生变化时，线圈中产生的感应电动势为tdd选择一个磁通的正方向，磁通增量的正方向与之相同,并且电动势的正方向与的正方向构成右旋关系。感应电动势的实际方向与磁通增量的实际方向构成左旋关系。数值的正负表示实际方向。与B方向的关联闭合回路都处于电源内部，电动势的方向与电流方向相同，线圈中感应电流产生的感应磁通方向总是阻碍原有磁通的变化，所以感应磁通又称为反磁通。i、+-大小方向2020/3/93闭合线圈中产生感应电流意味着导线中存在电场推动电荷运动，这种电场称为感应电场(非静电力)，以E表示。感应电场强度沿线圈回路的闭合线积分等于线圈中的感应电动势，即tlElddd又知，得SSBdSlSBtlEdd上式称为电磁感应定律，它表明穿过线圈中的磁场变化时，导线中产生感应电场。它表明，时变磁场可以产生时变电场。磁生电2020/3/94根据斯托克斯定理，由上式得0d)(SBESt由于该式对于任一回路面积S均成立，因此，其被积函数一定为零，即tBE此式称为电磁感应定律的微分形式。它表明某点磁感应强度的时间变化率负值等于该点时变电场强度的旋度。磁感应定律是时变电磁场的基本定律之一，也是下一章将要介绍的描述时变电磁场著名的麦克斯韦方程组中方程之一。2020/3/952.自感与互感由毕奥–沙伐定律知，位于线性媒质中的单个回路电流产生的磁感应强度与回路电流I成正比，所以穿过回路的磁通也与回路电流I成正比。与回路电流I交链的磁通称为回路电流I的磁通链，以表示，令与I的比值为L，即IL式中L称为回路的电感，单位为H（亨利）。由该定义可见，电感又可理解为与单位电流交链的磁通链。在线性媒质中，单个回路的电感仅与回路的形状及尺寸有关，但与回路中电流无关。应注意，磁通链与磁通不同，磁通链是指与某电流交链的磁通。2020/3/96N匝密绕线圈的磁链2020/3/97若交链N次，则磁通链增加N倍；若部分交链，则必须给予适当的折扣。例如对于N匝回路组成的环形线圈，由于穿过线圈的磁通与线圈中的电流I交链N次，对于回路电流I相当于磁通增加N倍，因此与回路电流I交链的磁通链为=N。所以，由N匝回路组成的线圈的电感为INIL若有两个回路存在，如图示。与回路电流I1交链的磁通链是由两部分磁通形成的，其一是I1本身产生的磁通形成的磁通链11，另一是电流I2在回路l1中产生的磁通形成的磁通链12。dl10zyxdl2l2l1I2I1r2-r1r2r12020/3/98同理，与回路电流I2交链的磁通链是由本身产生的磁通链22和电流I1在回路l2中产生的磁通链21共同形成的，即dl10zyxdl2l2l1I2I1r2-r1r2r11211122212若周围媒质是线性的，则比值，，及均为常数，令111I212I222I121I11111IL21212IM式中L11称为回路l1的自感，M12称为回路l2对l1的互感。同理定义22222IL12121IM式中L22称为回路l2的自感，M21称为回路l1对l2的互感。2020/3/99将上述参数L11，L22，M12及M21代入前式，得2121111IMIL2221212ILIM可以证明，在线性均匀媒质中2112MM因为可以导出任意两个回路之间的互感公式为21122121ddπ4llMrrll12211212ddπ4llMrrll考虑到，所以由上两式可见，21121221,ddddrrrrllll2112MM2020/3/91021122121ddπ4llMrrll12211212ddπ4llMrrll由此两式还可见，若dl1与dl2处处保持垂直，则互感；若处处保持平行，则互感M值达到最大。02112MM因此，在电子电路中，如果需要增强两个线圈之间的耦合，应彼此平行放置；若要避免两个线圈相互耦合，则应相互垂直。此外，应注意互感可正可负，其值正负取决于两个线圈的电流方向，但电感始终应为正值。实际上，由上面结果可以推知，若互磁通与原磁通方向相同时，则使磁通链增加，互感应为正值；反之，若互磁通与原磁通方向相反时，则使磁通链减少，互感为负值。2020/3/9112020/3/9122020/3/9132020/3/9142020/3/9152020/3/9162020/3/9172020/3/918例1计算无限长直导线与矩形线圈之间的互感。设线圈与导线平行，周围媒质为真空，如图示。abdrrD0I1I2zS2解建立圆柱坐标系，令z轴方向与电流I1一致，则I1产生的磁感应强度为eBrIπ2101与线圈电流I2交链的磁通链21为2d121SSB若线框电流如图所示的顺时针方向，则dS与B1方向相同。那么bDDDbDaIrraI101021lnπ2d1π22020/3/919求得互感M21为DbDaIMlnπ2012121可见M210。这是因为当导线的电流向上，线圈电流为顺时针方向时，I2产生的磁通方向与互磁通方向相同，因此使电流的磁通链增加，M21为正。反之，若线圈电流为逆时针方向时，则B1与dS反向，M21为负。但在任何线性媒质中，M21=M12。21例2计算载有直流电流的同轴线单位长度内的电感。解设同轴线内导体的半径为b，外半径为c，如图示。bcaO2020/3/920在同轴线中取出单位长度，沿长度方向形成一个矩形回路，内边宽度为a，外边宽度为（c－b），如左下图所示。bcrcbaOdrIIe现将同轴线中内外导体中的电流合并到矩形回路中，内导体中电流归并为矩形回路的内边电流，外导体中电流归并为矩形回路的外边电流。同轴线单位长度的电感定义为IL1式中I为同轴线中的电流，是单位长度内与电流I交链的磁通链。由图可见，与电流I交链的磁通链由三部分磁通形成：外导体中的磁通，内外导体之间的磁通以及内导体中的磁通。但由于外导体通常很簿，穿过其内的磁通可以忽略。aIO2020/3/921已知内外导体之间的磁感应强度Bo为eBrIπ20o该磁场形成的磁通称为外磁通，以表示，则单位长度内的外磁通为oabIrBbabaSmlnπ2ddd0ooooreBSB该外磁通与电流I完全交链，故外磁通与磁通链相等。又知内导体中的磁感应强度Bi为20iπ2aIrB这部分磁场形成的磁通称为内磁通，以表示。那么穿过宽度为dr的单位长度截面的内磁通d为iiraIrdπ2d20i2020/3/922但是这部分磁通仅与内导体中自内导体轴线位置0至r之间部分电流I'交链，而不是与总电流I交链，因此，对于总电流I来说，这部分磁通折合成与总电流I形成的磁通链应为bcrcbaOdrIIeraIrIIdπ2dd430ii由此求得内导体中的磁场对总电流I提供的磁通链i为aI00iiπ8daIO2020/3/923那么，与总电流I交链的总磁通链为（o+i），因此，同轴线的单位长度内电感为π8lnπ200io1abIL式中第一项称为外电感，第二项称为内电感。后面讨论时变电磁场时，同轴线的内外导体可以当作理想导电体，因而内外导电体中不可能存在时变电磁场。因此，当同轴线工作于时变电磁场时，内外导体中的磁通皆可忽略，只须考虑内外导体之间的磁通，同轴线单位长度内的电感等于外电感，即abLlnπ2012020/3/924作业：P165:2、382020/3/9253.磁场的能量已知穿过闭合回路的磁通发生变化时，在回路中产生感应电动势，因而回路中产生感应电流。此时，产生电流所需的能量是由外部磁场提供的。若在回路中加入外源，回路中产生电流。在电流建立过程中，回路中产生的反磁通企图阻碍电流增长，为了克服反磁通产生的反电动势，以维持电流达到一定数值，外源必须作功。若电流变化非常缓慢，可以不考虑辐射损失，则外源输出的能量全部储藏在回路电流周围的磁场中。上述能量转换说明了磁场可在回路中产生电流，而外源又可向磁场提供能量。由此可见，磁场具有能量。根据外源在建立磁场过程中作的功即可计算磁场能量。2020/3/926设单个回路的电流从零开始逐渐缓慢地增加到最终值I，因而回路磁通也由零值逐渐缓慢地增加到最终值。已知回路中产生的反电动势等于回路磁通变化率的负值，即。因此，为了克服这个反电动势，外源必须在回路中产生的电压U=-，即tddtUdd若时刻t回路中的电流为i(t)，则此时刻回路中的瞬时功率为ttiUtitPdd)()()(在dt时间内外源作的功为d)(d)(dtittPW2020/3/927任一时刻单个回路的磁通链与回路电流的关系为，而单个回路电流的磁通链即是穿过回路的磁通，因此)()(tLit)()(tLit将此结果代入上式，同时考虑到在线性媒质中，回路电感L与电流i无关，求得dt时间内外源作的功为itLiWd)(d当回路电流增至最终值I时，外源作的总功W为ILIitLiW0221d)(这个总功在回路中建立的电流为I，而该电流在其周围建立磁场。因电流增长很慢，辐射损失可以忽略，外源作的功完全转变为周围磁场的能量。2020/3/928若以Wm表示磁场能量，则电感为L，电流为I的回路具有的磁场能量为2m21LIW2m2IWL此式又可改写为由此可见，若已知回路电流及其磁场能量，那么利用上式计算电感十分方便。考虑到回路电感，则电流为I的单个回路周围的磁场能量又可表示为ILIW21m式中为与电流I交链的磁通链。221CUWeUQCQUW21e2020/3/929对N个回路，可令各个回路电流均以同一比例由零值缓慢地增加到最终值。根据能量守恒原理，最终的总能量应与建立过程无关，因此这样的假定是允许的。已知各回路磁通链与各个回路电流之间的关系是线性的，第j个回路的磁通链j为NjNjjjjjjIMILIMIM2211因此，当各回路电流以同一比例增长时，各回路磁通链也以同一比例增加。设第j个回路在某一时刻t的电流，式中Ij为电流最终值，为比例系数，其范围为。那么，在dt时间内，外源在N个回路中作的功为jjItti)()(10NjjjNjjjIttiW11d)(d)(d2020/3/930当各个回路电流均达到最终值时，外源作的总功W为WWd由此求得具有最终值电流的N个回路产生的磁场能量为101mdNjjjIWNjjjIW1m21即这样，若已知各个回路的电流及磁通链，由上式即可计算这些回路共同产生的磁场能量。已知回路磁通可用矢量磁位A表示为，因此第j个回路的磁通链也可用矢量磁位A表示为ldlAjdljlA2020/3/931NjljjIW1md21jlA那么，N个回路周围的磁场能量又可矢量磁位表示为式中A为周围回路电流在第j个回路所在处产生的合成矢量磁位。若电流连续地分布在体积V中，电流密度为J，已知，则上式变为体积分，此时磁场能量可以表示为VIddJlVVWmd21JA式中V为体分布的电流密度J所占据的体积。若电流分布在表面S上，则产生的磁场能量为SSWmd21SJA式中S为面分布的电流密度所在的面积。2020/3/932磁场能量的分布密度已知，代入上式，得JHVVWd21mHA利用矢量恒等式，上式又可写为AHHAAH)(VVWVVd21d)(21mAHA