电磁场与电磁波习题答案

《电磁场与电磁波》课后习题答案对应教材：《电磁场与电磁波》沈熙宁编著科学出版社北京答案编辑：中国地质大学（武汉）程正喜2015年6月1日1.1在直角坐标系中，求点P’（-3，1，4）到点P（2，-2，3）的距离矢量R及R和xe、ye、ze间的夹角。【考点分析】空间向量与各个坐标轴夹角余弦的计算。【解题过程】设R矢量与x轴、y轴、z轴的夹角分别为α、β、γ。R='rr=zyxzyxzyxe-e-e)eee(--)ee-e(3543322R=2221)(3)(5=35因为355RRcosαX，353RRcosβy，351RRcosγz所以。32.31)355arccos(α，。120.47)353arccos(-β。99.73)351arccos(-γ。1-3在球坐标系中，求点M)3,3,6(与点N)0,3,4(之间的距离。【考点分析】球坐标和直角坐标之间的转换。【解题过程】在直角坐标系中，M、N的坐标可以表示为0cosθrz29sinφsinθry233cosφsinθrxM11111111111，2cosθrz0sinφsinθry32cosφsinθrxN22222222222所以|MN|=221221221)z-z()y-y()x-x(=22。1-7判断以下矢量场F是否为均匀矢量场（1）F=211cosFsinFFzρeee，1F、2F均为常数（2）F=cbaeeeθr，a，b，c均为常数【考点分析】坐标系之间的转换以及均匀场的判断。【解题过程】均匀矢量场的定义是：在场中所有点上，模处处相等，方向彼此平行。只要这两个条件中有一个不符合就称为非均匀矢量场。（1）由sincosyxρeee，cossinyxeee，zzee可得：zyeeF21FF，21212221CFFarctanαCFFF,(其中1C、2C为常数)所以该矢量场是均匀场。（2）由cosθsinsincossinzyxreeee，cossinyxeeesinθcosθosθcosθosθzyxθeeee可得：)sincos()cossincossinsin()sincoscoscossin(bacbacbazyxeeeFF的方向随θ、的变化而变化，所以该矢量场是非均匀场。1-10求标量场yzxu2在点P（2，3，1）处的梯度及沿543zyxeeel方向的方向导数，并求u在P点方向导数的最大值和最小值及对应的方向。【考点分析】梯度及方向导数的考查。【解题过程】由12|2xyz|xuPP，4|zx|yuP2P，12|yx|zuP2P求得zyxeeeG12412，又因为5035433cosα222，5045434cosβ222，5055435cosγ222所以沿l方向的方向导数为52565055504450312|uPl，方向导数在P点的最大值为19412412)|u(222maxPGL，方向为G方向；方向导数在P点的最小值为194)|u(minPGL，方向为G方向。1-15在r=1和r=2两个球面之间的区域中的矢量场32cosrreD，验证散度定理。【考点分析】散度定理公式：VsdvDsdD，S为r=1和r=2围成的两个球面。【解题过程】球面的面积微元rdrddrdrddreeesdθrsinsin2，又2sssdDsdDsdD1s，其中21s和s分别为r=1和r=2的球面，方向相反，可得：2sincossincos2020210202rrsddrddrsdD，由于422322cos)rrcos(r1rrD，其中20,0,21r，所以：-drddsinθr)cos(V22102042rvdD所以，VDdVssdD，散度定理成立。1-18在0z的平面上，由圆922yx及30x和30y所围成的区域，对矢量场xxy2yxeeA，验证斯托克斯定理。【考点分析】斯托克斯定理公式：sllsdAdA【解题过程】zzyxex）2（02xxyzyxeeeA30202ddcosρ2ρsdA）（s)21(9dθ03cosθ3ρρ2032）（OM段：0xydxd0ylllA，ON段：02xdyd0xlllA，MN段：)21(9)2(dllxdyxydxlA，（将直角坐标转换成柱坐标计算）所以，sllsdAdA，斯托克斯定理成立。MNO1-19求矢量场x)z(yz)y(xy)x(zzyxeeeA在点M（1，2，3）处沿zyxeee22l方向的环量面密度。【考点分析】旋度及环量面密度的考查。【解题过程】zyxeee345x)z-(yz)y(xy)x(zzyxeeeAzyxMzyxeee22l方向的方向余弦为：31cosα，32cosβ，32cosγ所以：319323324315Rmn2-1一个半径为a的球体内均匀分布总电量为Q的电荷，球体以角速度绕一个直径旋转，求球体内的电流密度J。【考点分析】求解某点的电流密度J问题。公式：iiiνJ。【解题过程】以球心为坐标原点，转轴为Z轴。设球内任一点P的位置矢量为r，且r与z轴的夹角为，则P点的线速度为：rsinθerων球内的体电荷密度为：343ρaQ所以：sinθr343rsinθ3a43QρaQeeνJ2-4在球坐标中，电流密度为)/(1025.1mArreJ求：（1）通过半径r=1mm的球面的电流大小。（2）在半径r=1mm处，电荷体密度的时间变化率。（3）在半径r=1mm的球体内，总电荷的增加率。【考点分析】考点1：由电流密度J求解电流I，公式为sdJsI；考点2：电流连续性方程，tρJ；考点3：电荷守恒定律。【解题过程】（1）根据sdJsI可得：Armmr97.340sinθinθrr100π02πI15.021.5（2）根据电流连续性方程知：tρJ，所以38001.02.51mmr0.5122A/m101.585r)(10rrr)r(r1tρrmmrrAJ（3）根据电荷守恒定律知：单位时间内通过闭合曲面流出的总电荷量等于单位时间内体V中电荷的减少量为：3.97AIρdvtsVsdJ。2-8一种金属导体，电导率mS/1057，相对介电常数1r，若导体中的传导电流密度为)/)](22.3(1.117sin[1026mAztxeJ求位移电流密度dJ。【考点分析】位移电流密度的求解，公式tDJd。【习题解答】由EγJ可得：)z)](A/m3.22tsin[117.1(0.022xeJγ1E再由EεεDr0可得：)z)](A/m3.22tsin[117.1(e0.021036π12x9EεεDr0所以：位移电流密度)z)](A/m3.22tcos[117.1(106.68211tDJd。2-17一段两端用导体封闭的同轴线，所有导体的电导率。同轴线内导体半径为a，外导体半径为b，长为l，内外导体间为空气，若已知内外导体间的磁场为tkzHcoscos0eH内外导体的轴线为z轴，两端面分别位于0z和lz处，求：（1）E和k；（2）内外导体间的总位移电流。【考点分析】考点1：tDH和tBE；考点2：位移电流密度tDJd，总位移电流ssdJddI。【解题过程】（1）tsinkzcosρkHHρHHzρeeρeρ10ZρzρρeH，根据tDH可得：tsinkzsinρωkHdt0ρeHDtsinkzsinρωεkHε1000ρeDE由时变电场为题目给出的磁场的漩涡源得：tsinkzcosωεkHEρEEzρρρ1020ZρρzρeeeeE，根据tBE可得：tsinkzcosεωkHdt020eEB002200μεωkcoskzcoswtρHμ1eBH解得：00εμωk。（2）位移电流密度tsinkzcosρkH0ρdetDJρρsdesdJtsinkzcosρkH0sdI，柱坐标系中dzdρρesd，所以总位移电流)cos1(cosH2dztdksinkzcosH02π0100ttId。2-19半径为a的导体球壳外充满了介电常数为，电导率为的均匀导电媒质。设t=0时，导体球壳上均匀分布着总量为0q的电荷，而导电媒质中无电荷分布。（1）求任意时刻t，导电媒质中的E和J。（2）如果mS/10，02，求导体球壳上的电荷减少到1000/0q时所需的时间。【考点分析】驰豫现象，教材第67页。【解题过程】（1）t=0时，导体煤质中无电荷分布，故t0的任意时刻，导体煤质中仍无电荷分布。设t时刻导体球壳上的电荷为q（t），取半径为r（ra）的高斯面，则：)(tqssdDa)(r4)(2reDrtq所以电场：reDE24)(1rtq，电流reEJ24)(rtq，由连续方程得：q(t)εJ4dtdq(t)2rssdJ根据初始条件解微分方程得：tε0eqq(t)，代入上面的式子可得到：电场强度terq204reE，电流面密度terq204reJ；（2）由1000/)(0qtq可知：10001etε)(101.22ln1010108.852ln10εt113123s3-5有一个半径为a的球形电荷分布，球内外的介电常数均为0，已知球体内的电场强度为)0)(/(903armVrreE。求：（1）球体内电荷体密度；（2）球体外的电场强度。【考点分析】高斯定理。【解题过程】（1）球体内，即ra，取半径为r（ra）的球面作为高斯面，然后根据介质中的高斯定理可得：)/(r450)E(rrr1ρ320r220mCED（2）取半径为r（ra）的球面作为高斯面，根据VρdvssdD可得：50222000020aε904πsin450Er4πddrdrrar25r90aE，则reE25r90a。3-10三个同心导体球壳的半径分别为)(321321rrrrrr、、，已知