9―4 欧拉公式的应用范围、经验公式 9―6提高压杆稳定性的措施

压杆受临界力Fcr作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定的平衡时，横截面上的压应力可按=F/A计算。§9—4欧拉公式的应用范围经验公式一、临界应力1.欧拉公式临界应力)(22lFEIcr为长度系数l为相当长度λπσ22Ecr柔度（长细比）越大，相应的cr越小，压杆越容易失稳。若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应分别计算在各平面内失稳时的柔度，并按较大者计算压杆的临界应力cr。CrCrAF222222222)()()()(EilEilEAIlEAFcrcrilAIi二，欧拉公式的应用范围只有在crF的范围内，才可以用欧拉公式计算压杆的临界力Fcr（临界应力cr）。PcrE22或PPEE12令1，当≥1（大柔度压杆或细长压杆）时，才能应用欧拉公式。2，当＜1但大于某一数值的压杆不能应用欧拉公式，用经验公式（中等柔度的杆）1的大小取决于压杆的力学性能。例如，对于Q235钢，可取E=206MPa，F=200MPa，得1001PEbas2bacr当（小柔度杆）时，按压缩的强度计算即2SAFcr临界应力总图BCAcrDcr=ab22Ecrcr=ssP21O02称为小柔度杆，cr=s21称为中柔度杆，cr=ab1称为大柔度杆（细长杆），cr=22E1001PEbas21例题：两端为球绞支的圆截面杆，材料的弹性模量MPaE100325.MPaP300σ,，杆的直径d=100mm,杆长为多少时方可用欧拉公式计算该杆的临界力？解：mdi02504.1μlil401.87PPE用欧拉公式计算该杆的临界力的条件为P7.8140lml04.2例题：压杆截面如图所示。若绕y轴失稳可视为两端固定，若绕z轴失稳,可视为两端绞支。已知:杆长l=1m,材料的弹性模量E=200GPa，p=200MPa。求压杆的临界应力。30mmyz解：50.μy1μz30mmyz991PEmAIiyy0058.002.003.0)02.003.0(1213mAIizz0087.086ilyyy115ilzzz因为zy,所以压杆绕z轴先失稳，且z=1151，用欧拉公式计算临界力。KNEAAzcrcrF5.8922例题：外径D=50mm，内径d=40mm的钢管，两端铰支，材料为Q235钢，承受轴向压力F。试求：（1）能用欧拉公式时压杆的最小长度；（2）当压杆长度为上述最小长度的3/4时，压杆的临界应力。已知：E=200GPa，P=200MPa，S=240MPa，用直线公式时，a=304MFa，b=1.12MFa。（1）能用欧拉公式时压杆的最小长度；100PPE压杆的=1dDdDdDAIi222244414)(64)(dDlil224100Pml6.11404.005.010022min（2）当l=3/4lmin时，Fcr=?122754dDlilmll2.143min5712.12403042baS用直线公式计算KNbaAdDFcrcr5.155)(4)(22MFabacr301临界压力是KNAcrcrF478活塞的工作安全因数nFstcrFn5.11所以满足稳定性要求。例题：油缸活塞直经D=65mm，油压F=1.2MPa。活塞杆长度l=1250mm，材料为35钢，S=20MPa，E=210GPa，nst=6。试确定活塞杆的直经。FD活塞杆活塞dFD活塞杆活塞d解：活塞杆承受的轴向压力应为NFFD398042FD活塞杆活塞d活塞杆承受的临界压力应为NFnFstcr23900把活塞的两端简化为铰支座。AIiilμλ用试算法求直径（1）先由欧拉公式求直径)()(2422264ldlFEEIcr)(22lFEIcr求得:d=24.6mm。取d=25mm（2）用求得直径计算活塞杆柔度2004dlil971PE由于1，所以前面用欧拉公式进行试算是正确的。例题：AB，AC两杆均为圆截面杆，其直径=0.08m，E=200GPa，P=200MPa，容许应力[]=160MPa。由稳定条件求此结构的极限荷载Fmax600300ABCF4mAFNABNAC解：2FNAB23FNACmlAB32mlAC2由平衡方程计算出600300ABCF4m99PPEPABABil173PACACil100两杆都可用欧拉公式mDi02.04AFNABNAC600300ABCF4m例图示结构，立柱CD为外径D=100mm，内径d=80mm的钢管，其材料为Q235钢，3mCFB2mADP=200MPa，s=240MPa，E=206GPa，稳定安全系数为nst=3。试求容许荷截[F]。解：（1）由杆ACB的平衡条件易求得外力F与CD杆轴向压力的关系为：025NFNF52ACNFBxAyA3m2m（2）)(6444dDI124410)80100(6446109.2m23622222108.210)80100(4)(4mdDAmAIi032.0108.2109.236两端铰支=1109032.05.31il1001020010200692p2pEp∴可用欧拉公式467kNN1067.4)(522crlEIF3NcrFn由稳定条件kN15634673crFNkNNF4.62][52][kNN156][§9—6提高压杆稳定性的措施1.压杆的合理截面合理截面是使压杆的临界压力尽可能大的截面。ilAIi（1）尽可能使I增大；（2）尽可能使各方向值相等。所以在面积不变的情况下，应该选择惯性矩比较大的截面。比如空心杆等。2、改变压杆的约束条件细长压杆的临界压力与相当长度的二次方成反比，所以增强对压杆的约束可极大的提高其临界压力。比如采用稳定性比较好的约束方式，或者在压杆中间增添支座，都可以有效的提高压杆的稳定性。3、合理选择材料大柔度杆（细长压杆）中柔度杆和小柔度杆临界应力与材料的强度有关，选用高强度钢在一定程度上可以提高压杆的稳定性。临界力只与弹性模量有关。由于各种钢材的E值大致相等，所以选用高强度钢或低碳钢并无差别。