2018年文科数学(全国卷Ⅰ)

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合02A，，21012B，，，，，则ABA．02，B．12，C．0D．21012，，，，2．设1i2i1iz，则zA．0B．12C．D．23．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．已知椭圆C：22214xya的一个焦点为(20)，，则C的离心率为A．B．12C．22D．2235．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O，2O，过直线12OO的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为A．122πB．12πC．82πD．10π6．设函数321fxxaxax．若fx为奇函数，则曲线yfx在点00，处的切线方程为A．2yxB．yxC．2yxD．yx7．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EBA．3144ABACB．1344ABACC．3144ABACD．1344ABAC8．已知函数222cossin2fxxx，则A．fx的最小正周期为π，最大值为3B．fx的最小正周期为π，最大值为4C．fx的最小正周期为2π，最大值为3D．fx的最小正周期为2π，最大值为49．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为A．217B．25C．D．210．在长方体1111ABCDABCD中，2ABBC，1AC与平面11BBCC所成的角为30，则该长方体的体积为A．B．62C．82D．8311．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点1Aa，，2Bb，，且2cos23，则abA．15B．55C．255D．12．设函数2010xxfxx，≤，，则满足12fxfx的x的取值范围是A．1，B．0，C．10，D．0，二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数22logfxxa，若31f，则a________．14．若xy，满足约束条件220100xyxyy≤≥≤，则32zxy的最大值为________．15．直线1yx与圆22230xyy交于AB，两点，则AB________．16．△ABC的内角ABC，，的对边分别为abc，，，已知sinsin4sinsinbCcBaBC，2228bca，则△ABC的面积为________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）已知数列na满足11a，121nnnana，设nnabn．（1）求123bbb，，；（2）判断数列nb是否为等比数列，并说明理由；（3）求na的通项公式．学,18．（12分）如图，在平行四边形ABCM中，3ABAC，90ACM∠，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且ABDA⊥．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且23BPDQDA，求三棱锥QABP的体积．19．（12分）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量00.1，0.10.2，0.20.3，0.30.4，0.40.5，0.50.6，0.60.7，频数13249265使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量00.1，0.10.2，0.20.3，0.30.4，0.40.5，0.50.6，频数151310165（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）20．（12分）设抛物线22Cyx：，点20A，，20B，，过点A的直线与C交于M，N两点．（1）当与轴垂直时，求直线BM的方程；（2）证明：ABMABN∠∠．21．（12分）已知函数eln1xfxax．（1）设2x是fx的极值点．求，并求fx的单调区间；（2）证明：当1ea≥时，0fx≥．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线1C的方程为2ykx．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为22cos30．（1）求2C的直角坐标方程；（2）若1C与2C有且仅有三个公共点，求1C的方程．23．选修4—5：不等式选讲]（10分）已知11fxxax．（1）当1a时，求不等式1fx的解集；（2）若01x∈，时不等式fxx成立，求的取值范围．绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题参考答案一、选择题1．A2．C3．A4．C5．B6．D7．A8．B9．B10．C11．B12．D二、填空题13．-714．615．2216．233三、解答题17．解：（1）由条件可得an+1=2(1)nnan．将n=1代入得，a2=4a1，而a1=1，所以，a2=4．将n=2代入得，a3=3a2，所以，a3=12．从而b1=1，b2=2，b3=4．（2）{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得121nnaann，即bn+1=2bn，又b1=1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．（3）由（2）可得12nnan，所以an=n·2n-1．18．解：（1）由已知可得，BAC=90°，BAAC⊥．又BA⊥AD，所以AB⊥平面ACD．又AB平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC．（2）由已知可得，DC=CM=AB=3，DA=32．又23BPDQDA，所以22BP．作QE⊥AC，垂足为E，则QE13DC．由已知及（1）可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE=1．因此，三棱锥QABP的体积为1111322sin451332QABPABPVQES△．19．解：（1）（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m3的频率为0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48，因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m3的概率的估计值为0.48．（3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为11(0.0510.1530.2520.3540.4590.55260.655)0.4850x．该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为21(0.0510.1550.25130.35100.45160.555)0.3550x．估计使用节水龙头后，一年可节省水3(0.480.35)36547.45(m)．20．解：（1）当l与x轴垂直时，l的方程为x=2，可得M的坐标为（2，2）或（2，–2）．所以直线BM的方程为y=112x或112yx．（2）当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM=∠ABN．当l与x轴不垂直时，设l的方程为(2)(0)ykxk，M（x1，y1），N（x2，y2），则x10，x20．由2(2)2ykxyx，得ky2–2y–4k=0，可知y1+y2=2k，y1y2=–4．直线BM，BN的斜率之和为1221121212122()22(2)(2)BMBNyyxyxyyykkxxxx．①将112yxk，222yxk及y1+y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得121221121224()882()0yykyyxyxyyykk．所以kBM+kBN=0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM+∠ABN．综上，∠ABM=∠ABN．21．解：（1）f（x）的定义域为(0)，，f′（x）=aex–1x．由题设知，f′（2）=0，所以a=212e．从而f（x）=21eln12exx，f′（x）=211e2exx．当0x2时，f′（x）0；当x2时，f′（x）0．所以f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．（2）当a≥时，f（x）≥eln1exx．设g（x）=eln1exx，则e1()exgxx．当0x1时，g′（x）0；当x1时，g′（x）0．所以x=1是g（x）的最小值点．故当x0时，g（x）≥g（1）=0．因此，当1ea时，()0fx．22．选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）解：（1）由cosx，siny得2C的直角坐标方程为22(1)4xy．（2）由（1）知2C是圆心为(1,0)A，半径为的圆．由题设知，1C是过点(0,2)B且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由于B在圆2C的外面，故1C与2C有且仅有三个公共点等价于与2C只有一个公共点且与2C有两个公共点，或与2C只有一个公共点且与2C有两个公共点．当与2C只有一个公共点时，A到所在直线的距离为，所以2|2|21kk，故43k或0k．经检验，当0k时，与2C没有公共点；当43k时，与2C只有一个公共点，与2C有两个公共点．当与2C只有一个公共点时，A到所在直线的距离为，所以2|2|21kk，故0k或43k．经检验，当0k时，与2C没有公共点；当43k时，与2C没有公共点．综上，所求1C的方程为4||23yx．23．选修4-5：不等式选讲]（10分）解：（1）当1a时，()|1||1|fxxx，即2,1,()2,11,2,1.xfxxxx故不等式()1fx的解集为1{|}2xx．（2）当(0,1)x时|1||1|xaxx成立等价于当(0,1)x时|1|1ax成立．若0a，则当(0,1)x时|1|1ax；若0a，|1|1ax的解集为20xa，所以21a，故02a．综上，的取值范围为(0,2]．