排列组合二项式定理知识点

第十六章排列、组合、二项式定理一、排列)!(!)())((mnnmnnnnPmmn个相乘121（如：)!(!35534535P）二、组合!)!(!mmnnPPCmmmnmn（如：1233453355333535!)!(!PPC）mnnmCCn，mnmnmCCC11n（如：253CC5，36253CCC5）三、二项式定理1.二项式定理：000baCbannn)(111baCnnnnnbaC0（1）展开式共有n+1项，其中第r+1项：rrnrnrbaCT1（2）其中rnC（0,1,2…）叫二项式系数2.二项式系数的性质(1)在二项展开式中与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。（对称性）(2)展开式中二项式系数最大的项：若n是偶数，是中间一项即第12n项，二次项系数为2nnC；若n是奇数，是中间两项即第21n、21n+1项，二次项系数为21nnC、21nnC；【区别】展开式中系数最大的项：的系数的系数的系数的系数rrTTTTrr121求出r(3)二项式系数的和为n2，即nnnnCCC210n【区别】所有系数的和：令字母为1(4)偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即131202nnnnnCCCC3.二项式定理的主要应用(1)赋值求职；(2)证明某些整除问题或求余数；(3)证明关于指数式与多项式的不等式；(4)进行近似计算。例奇数项二项式系数和nx)(1=1222nn（参见二项式系数性质（4））ni)(1nx)(21奇数项系数和nx)(1=2n（因为它的二项式系数就是系数）ni)(1（若n是偶数）=22n解：222211nnnii])[()(2420nnnnCCCCniCCCCnnnn)(n125312420nnnnCCCCn（所有奇数项系数）（偶数项的系数和为0）nx)(21=213nn)(解：设nnnxaxaxaxaax33221021)(令x=1得nnaaaaa32103①x=-1得nnaaaaa32101)(②（①+②）÷2得213420nnnaaaa)(（同理可得偶数项系数的和）