西安电子科技大学线性代数精品课课件

第三章矩阵3.1几种特殊矩阵3.2矩阵的运算3.3可逆矩阵3.4分块矩阵3.5初等矩阵3.6分块矩阵的初等变换第一章行列式第二章线性方程组回顾（1）元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作或.nm×nmo×o().00000000000000000000≠⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛注意不同阶数的零矩阵是不同的.例如第一节几种特殊矩阵（2）只有一行的矩阵()12,nAaaa=L称为行矩阵(或行向量),21⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=naaaBM（3）只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).(),,,,21naaaAL=（4）同型矩阵与矩阵相等的概念:1.行数相等且列数相等的两个矩阵,称为同型矩阵.例如⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛9348314736521与为同型矩阵..3607025431061是同型矩阵与⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−2.若两个矩阵为同型矩阵,并且对应元素相等,即()()ijijbBaA==与(),,,2,1;,,2,1njmibaijijLL===则称矩阵相等,记作BA与.BA=例1设.,,,zyxBA求已知=解,BA=Q.2,3,2===∴zyx,131,213321⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⎟⎠⎞⎜⎝⎛=zyxBA(5)行数与列数都等于的矩阵，称为阶nnA.nA方阵.也可记作11121222000nnnnaaaaaAa⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠LLLLLLL11212212000nnnnaaaBaaa⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠LLLLLLL上三角矩阵下三角矩阵称为对角矩阵对角矩阵(或对角阵对角阵）.（6）记作()12,,,.ndiagλλλΛ=L（7）方阵称为单位矩阵（或单位阵）.全为11122nnaaa⎛⎞⎜⎟⎜⎟Λ=⎜⎟⎜⎟⎝⎠L不全为0111⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠L记作,.nEEI或9矩阵的重要性在于它可以把一个实际问题变成一个数值表，使得我们可以通过研究数值表的规律和特性来解决实际问题！例1商品销售情况比较例2通讯网络分析线性变换之个变量与个变量设mnyyymxxxn,,,,,,2121LL间的关系式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=.,,22112222121212121111nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxayLLLLLLLLLLLL这个关系称为线性变换..为常数其中ija的到变量从变量mnyyyxxx,,,,,,2121LL⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=.,,22112222121212121111nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxayLLLLLLLLLLLL⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=mnmmnnaaaaaaaaaALLLLLLL212222111211系数矩阵线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.若线性变换为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===nnxyxyxyLLL,,2211称之为恒等变换.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===nnxyxyxyLLL,,2211对应⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛100010001LLLLLLL单位阵.第二节矩阵的运算本次课的教学要求1、掌握矩阵的运算：加、减、数乘、乘法、转置.１、定义1nmijijbaBA×+=+)(两个矩阵那末矩阵与的和记作，规定为nm×()(),bB,aAijij==ABBA+一、矩阵的加法.221122222221211112121111⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛+++++++++=mnmnmmmmnnnnbababababababababaLLLLLLL说明只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.例1⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−1234569818630915312⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛+++++−++−++=1826334059619583112.98644741113⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=2、矩阵加法的运算规律();1ABBA+=+()()().2CBACBA++=++()⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−−−−=−mnmmnnaaaaaaaaaALLLLLLL2122221112113()()().,04BABAAA−+=−=−+(),ija−=.负矩阵的称为矩阵A1、定义2.212222111211⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛==mnmmnnaaaaaaaaaAAλλλλλλλλλλλLLLLLLL规定为或的乘积记作与矩阵数,)(λλλAAaAij=二、数与矩阵相乘,010222321⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=A已知⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=101123002B例2.2,2BAA−求22=A⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−010222321⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=020444642=−BA2+⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=020444642⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−101123002.121321640⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=解)(2BA−+BA)1(2−+=()()();1AAμλλμ=()();2AAAμλμλ+=+()().3BABAλλλ+=+2、数乘矩阵的运算规律矩阵加法、减法、数乘统称为矩阵的线性运算.（设为矩阵，为数）μλ,nm×BA、１、定义3,)(,)(nsijsmijbBaA××==设).,,2,1;,2,1(njmiLL==sjisjijiijbababac+++=L2211,,)(ABcCBAnmij记作的乘积为与规定×=),(ijcABC==即其中∑==skkjikba1三、矩阵与矩阵的乘积矩阵乘法是出于研究线性方程组以及线性变换的乘法的需要建立起来的。,21212222111211⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=msmmisiissaaaaaaaaaaaaALMMMLMMMLLsjisjijiijbababac+++=L2211⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=snsjssnjnjbbbbbbbbbbbbBLLMMMMLLLL21222221111211⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛==mnmjminijinjcccccccccABCLLMMMLLMMMLL111111设sm×ns×nm×例3已知⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=130211A⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−=10111101B⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=111012C.,ACAB考察AB⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=130211⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−10111101⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=23×42×43×11c12c13c14c21c22c23c24c31c32c33c34c21−1−2202−2213−2=AC⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−130211⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−111012,的行数的列数不等于BAQ.不可乘∴sjisjijiijbababac+++=L2211２、矩阵乘法的运算规律()()();1BCACAB=()(),2ACABCBA+=+();CABAACB+=+()()()()BABAABλλλ==3（其中为数）;λ();4AEAAE==());)(())(()(5BABAABλμμλλμ==则记阶方阵是若,)6(nA,AAAAkL=,次幂的并称之为kA.,)(:nmnmkmmkAAAAA+==易知Ak个注意矩阵一般不满足交换律1.例如设⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=1111A⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=1111B则,0000⎟⎠⎞⎜⎝⎛=AB,2222⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=BA.BAAB≠故,BAAB≠2.课本P46例4；P48例5、例60AB=⇒0,0AB==0,AACBC≠=⇒AB=但也有例外，比如设,2002⎟⎠⎞⎜⎝⎛=A,1111⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=B则有,⎟⎠⎞⎜⎝⎛=AB22−2−2⎟⎠⎞⎜⎝⎛=BA22−2−2.BAAB=⇒若AB=BA,则称A与B可交换.例4计算下列乘积：)21(322)1(⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−解()21322)1(⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−23×⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=12×22×12×−22×−13×23×.634242⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=()⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−10133108429412620,1,1)2(()⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=10130,3,2()⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−10133108429412620,1,1)2().28(=定义4把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.ΤAAA例如,854221⎟⎠⎞⎜⎝⎛=A;825241⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=TA(),618=B.618⎟⎠⎞⎜⎝⎛=TB１、矩阵的转置、转置矩阵四、矩阵的其它运算第i行换成第i列◆转置矩阵的运算性质()();1AATT=()();2TTTBABA+=+()();3TTAAλλ=()().4TTTABAB=证明,)(,)(nsijsmijbBaA××==设,)(nmijcCAB×==记.)(mnijTTdDAB×==ijjidc=要证=jic=ijdjssijijiababab+++L2211sijsijijbababa+++L2211(5)()()TRARA=例5已知,102324171,231102⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=BA.)(TAB求解法1⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=102324171231102ABQ,1013173140⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=().1031314170⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=∴TAB解法2TTTABAB=)(⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=213012131027241.1031314170⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=例5已知,102324171,231102⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=BA().TAB求2、对称矩阵与反称矩阵定义5设为阶方阵，如果满足，即那末称为对称矩阵.AnTAA=()n,,,j,iaajiijL21==A.6010861612为对称矩阵例如⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=A.称为反对称矩阵则矩阵如果AAAT−=对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.说明,0kAk≠例6设列矩阵满足()TnxxxX,,,21L=,1=XXT.,,2,EHHHXXEHnETT=−=且阵是对称矩证明阶单位矩阵为证明()TTTXXEH2−=QTTTXXE)(2−=,2HXXET=−=.是对称矩阵H∴2HHHT=2)2(TXXE−=))((44TTTXXXXXXE+−=TTTXXXXXXE)(44+−=TTXXXXE44+−=.E=(1)例7证明任一阶矩阵都可表示成对称阵与反称阵之和.n证明TAAC+=设TTTAAC)(+=则AAT+=,C=所以C为对称矩阵，,TAAB−=设TTTAAB)(−=则AAT−=,B−=所以B为反对称矩阵,22TTAAAAA−++=而,22BC+=证毕.所以C/2也是对称矩阵.所以B/2也是反对称矩阵.3、方阵的行列式定义6由阶方阵的元素按原次序所构成的行列式，叫做方阵的行列式，记作或nAAA.detA⎟⎠⎞⎜⎝⎛=8632A例8632=A则.2−=运算性质();1AAT=();2AAnλλ=();3BAAB=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=011110101A⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=011110101Ainnjab1−记设,)(,)(nnijnnijbBaA××==证明();3BAAB=.BAAB=⇒nnnnnnnnnbbbbaaaaDLMMOLLMML11111111211−−=BEA−=0ijc|,|||BA=0EABA−=0=ijcjb1Mnjb11ijab22ijab+++Ljb21iaLina2ianjinjijibababa+++=L2211ABAE0−=2)1(n−||||)1(2ABEn−−=||)1(2ABnn+−=.||AB=11Cbj×++.,0,,0非奇异矩阵称为时当称为奇异矩阵时当AAAA≠=奇异矩阵与非奇异矩阵.为非奇异矩阵是可逆阵的充要条件是由此可得AA定义行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下矩阵AijA⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=∗nnnnnnAAAAAAAAAALLLLLLL21222