山东建筑大学材料力学第五章-1

弯曲应力第五章·提高强度的措施·纯弯曲·纯弯曲时的正应力·横力弯曲时的正应力·弯曲切应力目录§5.1（2）纯弯曲。纯弯曲时的正应力当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上既又弯矩M，又有剪力FS。mmFSM只有与正应力有关的法向内力元素dN=dA才能合成弯矩只有与切应力有关的切向内力元素dFS=dA才能合成剪力所以，在梁的横截面上一般既有正应力，又有切应力mmFSmmM一，纯弯曲++PP+PaRBRAPPaaCDBAPPaaCD++PP+Pa若梁在某段内各横截面上的弯矩为常量，剪力为零，则该段梁的弯曲就称为纯弯曲。推导公式时，要综合考虑几何，物理和静力学三方面。取一纯弯曲梁来研究。推导纯弯曲梁横截面上正应力的计算公式。二，纯弯曲时横截面上的正应力1，几何方面以及横向线相垂直的一系列的纵向线（如aa，bb等）。aabb梁在加力前先在其侧面上画上一系列的横向线（如mm，nn等）mmnn（1）变形前相互平行的纵向直线（aa，bb等），变形后均为圆弧线（a’a’，b’b’等)，且靠上部的缩短靠下部的伸长。梁变形后观察到的现象mmnnaabbmmmmnnaabbmm（2）变形前垂直于纵向直线的横向线（mm,nn等）变形后仍为直线（m’m’,n’n’等），但相对转了一个角度，且与弯曲后的纵向线垂直。m’m’n’n’平面假设：梁在受力弯曲后，原来的横截面仍为平面，它绕着该横截面上的某一轴旋转了一个角度，且仍垂直于梁弯曲后的轴线。d由平面假设可知，在梁弯曲时，这两个横截面将相对地旋转一个角度d。用两个横截面从梁中假想地截取长为dx的一段。（3）公式推导dO1O2dx横截面的转动将使梁的凹边的纵向线段缩短，凸边的纵向线段伸长。由于变形的连续性，中间必有一层纵向线段O1O2无长度改变。此层称为中性层。O1O2的长度为dx。dO1O2dx中性轴与横截面的对称轴成正交。中性层与横截面的交线称为中性轴。dO1O2dx中性层中性轴横截面横截面的对称轴dO1O2dxyZx将梁的轴线取为x轴。横截面的对称轴取为y轴。中性轴取为z轴。dO1O2dxBB1ddy作O2B1与O1A平行。在横截面上取距中性轴为y处的纵向线AB。为中性层上的纵向线段O1O2变弯后的曲率半径。O2B1的长度为y。AydO1O2dxAByB1ddydxAB1为变形前AB的长度B1B为AB1的伸长量AB1为A点的纵向线应变。lldxdy)(OOBBABAB21111dO1O2dxAByB1dddxyOOBBABAB21111dxdy)(中性层的曲率为dxd1ydO1O2dxAByB1dddxydx因而，横截面上到中性轴等远的各点，其线应变相等。该式说明，和y坐标成正比,ydO1O2dxAByB1dddxydxxyZOyy2，物理方面纯弯曲时横截面上各点处的处于单轴应力状态。材料在线弹性范围内工作，且拉，压弹性模量相等。由单轴应力状态下的胡克定律可得物理关系假设：=EyEE上式为横截面上正应力变化规律的表达式。yEyEE上式说明，横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的距离y成正比；OxyZy1在距中性轴为y的同一横线上各点处的正应力均相等。yρyEεEσM需要解决的问题如何确定中性轴的位置？如何计算?中性轴yZxOM3，静力学方面在横截面上法向内力元素dA构成了空间平行力系。dAZydAdA1dAANdAF)(AydAzM)(AZdAyMyZxOMdAZydA该空间平行力系简化为x轴方向的主矢对y轴和z轴主矩dA1dAANdAF)(AydAzM)(AZdAyM该梁段各横截面上FN和My均等于零，而Mz就是横截面上的弯矩M。00MyZxOMdAZydAdA1dAAdAyE2AdAyzEAydAEyEE0SzE0IEyzMIEzANdAFAydAzM)()(AZdAyM0SZ中性轴必通过横截面的形心中性轴过截面形心且与横截面的对称轴y垂直AydAE0SzEANdAFyyZZ中性轴中性轴CC中性轴将横截面分为受拉和受压两部分。MMyyCZCZ中性轴中性轴拉拉压压0Iyz因为y轴是横截面的对称轴，所以Iyz一定为零。该式自动满足中性轴是横截面的形心主惯性轴AdAyzE0IEyzAydAzM)(EIMz1EIz称为截面的抗弯刚度yEEAdAyE2MIEz)(AZdAyMM横截面上的弯矩。该式为等直梁纯弯曲时横截面上任一点处正应力的计算公式y求应力点的y坐标。式中：横截面对中性轴的惯性矩。IzIyMz4，讨论（1）应用公式时，一般将M，y以绝对值代入。根据梁变形的实际情况直接判断的正，负号。以中性轴为界梁变形后凹入边的应力为压应力（为负号）梁变形后凸出边的应力为拉应力（为正号）IyMzMMyyCZCZ中性轴中性轴（2）横截面中性轴上各点的正应力最小。且min=0IyMz（3）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处IyMz中性轴为对称轴ZyCycmaxytmaxMtmaxCmax压拉IyMzZyCycmaxytmaxMtmaxCmax压拉IyMzyyyctmaxmaxmax用ymax表示最大拉（压）应力点到中性轴的距离。ZyCycmaxytmaxMtmaxCmax压拉IyMzIyMzmaxmaxyIWZZmaxWZ称为抗弯截面模量。WMZmax中性轴是对称轴的梁横截面上最大正应力的计算公式为62bh21223hbhhI=WzzyzhbyIWZZmax矩形截面的抗弯截面系数圆形截面的抗弯截面系数26424dπddIWzz323d=dyzyIWZZmax2d2dMσmaxcσmaxtmaxmaxmaxtc矩形截面梁横截面上正应力分部图zy对于中性轴不是对称轴的横截面MytmaxtmaxycmaxCmaxzyMytmaxtmaxycmaxCmax应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离ytmax和yCmax直接代入公式。求得相应的最大拉应力和最大压应力。σmaxcσmaxtIyMσZttmaxmaxIyMσZccmaxmaxzyMytmaxtmaxycmaxCmax当梁上有横向力作用时，横截面上既又弯矩又有剪力。梁在此种情况下的弯曲称为横力弯曲。§5.3横力弯曲时的正应力横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力，又有切应力。切应力使横截面发生翘曲横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压应力纯弯曲时所作的平面假设不适用但工程中常用的梁，纯弯曲时的正应力计算公式可以精确的计算横力弯曲时横截面上的正应力。等直梁横力弯曲时，某一横截面上的最大正应力发生在距中性轴最远的位置。yIxMzmaxmax)(三，梁的正应力强度条件梁的最大正应力发生在最大弯矩的横截面上距中性轴最远的各点处。该处的切应力都等于零，纵截面上由横向力引起的挤压应力可略去不计。因此，可将横截面上最大正应力所在各点处的应力状态，看作单轴应力状态。？梁的正应力强度条件为：梁的横截面上最大工作正应力max不得超过材料的许用弯曲正应力[]即max1，对于中性轴为对称轴的截面正应力强度条件为][maxmaxWMz2，对于中性轴不是对称轴的截面ct比如铸铁等脆性材料制成的梁，由于材料的（两者有时并不发生在同一横截面上）因为梁横截面的中性轴不是对称轴，所以梁的maxmaxct要求梁上最大的拉应力和最大的压应力分别不超过材料的许用拉应力和许用压应力。正应力强度条件为][maxmaxmaxtzttIyMσ][maxmaxmaxCzccIyMσ（1）对梁按正应力进行强度校核3，正应力强度条件解决三方面问题][maxmaxWMz][maxttccmax（中性轴是对称轴）（中性轴不是对称轴）（2）选择梁的截面（3）确定梁的许可荷载][maxMWz][maxWMz例题：长为l的矩形截面梁，在自由端作用有集中力F。已知：h=0.18m，b=0.12m，y=0.06m，a=2m，F=1.5KN。求C截面上K点的正应力。ABCFalyKbhzABCFalMC=-Fa=-3KN.m解：mbhIz44310583.012MPayIMzCK09.3（+）yKbhzIyxMz)(IyxMz)(复习][maxmaxWMZ][maxmaxmaxtZttIyMσ][maxmaxmaxCZccIyMσBACP10mz12.5166a5m例题：图示简支梁由56a工字钢制成，p=150kN。求(1)梁上的最大正应力max(2)同一截面上翼缘与腹板交界处a点的应力z12.5166aBACP10m5mRARB解：支座反力为375KN.mKNPRRBA752作弯矩图z12.5166a查型钢表，56a工字钢cmWz23423cmIz655864mKNM.375max中间截面为危险截面。最大弯矩为IyMZaamaxWMzmaxmaxσ375KN.mz12.5166aIyMZaamaxWMzmaxmaxσMPaWMz160σmaxmax(1)梁的最大正应力梁的最大正应力发生在弯矩最大截面距中性轴最远的上，下边缘各点处，即375KN.mz12.5166aIyMZaamaxWMzmaxmaxσ(2)危险截面上a点的正应力MPaIyMZaa145maxa点到中性轴的距离为212560ya所以a点的正应力为（+）375KN.m例题:跨长l=2m的铸铁梁受力如图所示。已知材料的拉，压许用应力分别为[t]=30MPa，[C]=90MPa。试根据截面最为合理的要求：（1）确定T字形截面梁横截面的一个尺寸。（2）校核梁的强度。AB1m2mP=80KN解：AB梁各截面弯矩均为正值，且中间截面是危险截面。mKNM.40max220yzy1y2maxtmaxC假设截面形心位置如图所示，z轴为中性轴。220yzy1y2maxtmaxC要使截面最合理，必须使同一截面的ctctmaxmaxozmaxtmaxc220yzy1y2maxtmaxCIyMZt1maxIyMZc2max319030ctctmaxmaxozmaxtmaxc220yzy1y2maxtmaxC3121maxmaxctctyymmyy28021ozmaxtmaxc220yzy1y2maxtmaxCmmyyC2102以上边缘为参考边yC220yyCAAyAyAyC21221112zy1y2δA）（6028012602801y602202A2602802ymmyC210220yyCAAyAyAyC21221112zy1y221022060602802602802206026028060280)()()()(yCmmδ24mmyC210220yyC12zy1y211021022024122202423Iz)260210280(60220126022023(2)校核梁的强度][maxmaxmaxcZccIyM][maxmaxmaxtZttIyMm46103.99mmyC210z1z2][8842maxmaxCZcMPa.IyM220yzy1y2tmaxCmax][1maxmaxtZtIyM][ma