实验数据信号处理

第一章实验数据信号处理1－1概述实验数据信号处理的一般步骤可用图1－1来概括结果显示预处理A/D转换预处理A/D转换计算机数据处理X(t)Y(t)图1－1信号的预处理是把信号变成适于数字处理的形式，以减轻数字处理的困难。预处理是为了：（1）电压幅值处理，以便适宜于采样；（2）过滤信号中的高频噪声；（3）隔离信号中的直流分量（如果所测信号中不应有直流分量）；（4）如原信号经过调制，则应进行解调，预处理环节应根据测试对象、信号特点和数字处理设备的能力进行安排。在热能工程实验数据信号的处理中常常需要对信号进行频谱分析，以便确定信号的有用频率分量和噪声干扰，将信号中的噪声用模拟滤波器滤掉，经A／D转换，将信号采样进入计算机进行数据处理，昀后得到研究对象的静、动态待性，或将信号采样进入计算机后，用数字滤波器滤掉信号中的噪声，然后进行数据处理，昀后得到研究对象的静、动态特性。本章将逐一介绍采样定理和量化，频谱分析、模拟、数字滤波的原理及设计方法。1－2采样定理和量化1－2－1采样定理采样是把连续时间信号离散化的过程。采样过程实际上是对模拟信号的时间取量化的过程，可以看作是用等间隔的单位脉冲序列去乘模拟信号。这样，各采样点上的信号大小就变成脉冲序列的权值（图1－2），这些权值将被量化而成为相应的数值。图1－2采样间隔的选择是一个重要的问题。采样间隔太小（采样频率高），则对定长的时间记录来说其数字序列就很长，计算工作量迅速增大；如果数字序列长度一定，则只能处理很短的时间历程，这样就可能产生较大的误差。若采样间隔太大（采样频率低），则可能丢掉有用的信息。图1－3中如果只有采样大1、2、3的采样值就分不清曲线A、曲线B和C的差别。间距为Ts的采样脉冲序列的傅里叶变换也是脉冲序列，其间距为sT1于，即图1－3()∑∞−∞=−=nsnTttgδ)(∑∞−∞=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=mssTmfTfGδ1)()()(fGtg⇔g(t)（1－1）由频域卷积定理可知：两个时域函数的乘积的傅里叶变换等于两者傅里叶变换的卷积，即)()()()(fGfXtgtx∗⇔x(t)g(t)考虑到δ函数与其他函数的卷积特性，上式可写为：∑∑∞−∞=∞−∞=−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−∗=∗mssmssTmfXTTmfTfXfGfX)(11)()()(δ（1－2）此式为x(t)经过间隔为Ts的采样之后所形成的采样信号的频谱。一般地说此频谱和原连续信号的频谱X(f)并不一定相同，但有联系。它是将原频谱X(f)依次平移1/Ts至各采样脉冲对应的频域序列点上，然后全部叠加而成(图1－4)。由此可见，信号经时域采样之后成为离散信号，新信号的频域函数就相应地变为周期函数，周期为1/Ts。图1－4如果采样的间隔Ts太大，即采样频率fs太低，平移距离1/Ts过小，那么移至各采样脉冲所在处的频谱X（f）就会有一部分相互交叠。所合成的X(f)*G(f)图形与原X(f)不一致，这种现象称为混叠。发生混叠以后，改变了原来频谱的部分幅值（见图1一4中虚线部分）,这样就不可能从离散的采样信号x（t）·g（t）准确地恢复原来的时域信号x（t）。如果x(t)是一个限带信号（昀高频率fs为有限值），采样须率cssfTf21=，那么采样后的频谱X(f)*G(f)就不会发生混叠（图1—5）。若把该频谱通过一个中心频率为O(f＝0)，带宽为±fs/2的理想低通滤波器，就可以把完整的原信号频谱取出，也就有可能从离散序列中准确地恢复原模拟信号x(t)。图1－5为了避免混叠以使采样处理后仍有可能准确地恢复其原信号，采样频率fs必须大于昀高截止频率fc地两倍，即fs2fc，这就是采样定理。在实际工作中，一般采样频率应选为处理信号中昀高频率地3～4倍。如果我们确知测试信号中的高频部分是由噪声干扰所引起的，为了满足采样定理而不致使处理数据过长，可以把信号先进行低通滤波处理。1－2－2量化量化是由于计算机对模拟信号进行采样所引起的。要将模拟信号转换成数字信号必须利用模／数转换，而模／数转换的功能则是将采样信号电平进一步变换成数字。由于模／数转换器的位数是一定的，即数码的长度是有限的，因而这些数码所能代表的信号幅度就有一定限制。例如每个数字用5位二进码表示则只能表达25＝32种不同的信号幅度，这些幅度称为量化电平。当模拟信号采样点的电平落在两个相邻量化电平之间时，就要舍入到相近的一个量化电平上。设两相邻量化电平之间的增量（级差）为Δx，则量化误差昀大值为2XΔ±。均值为零，其均方值为：12122222XdXXXeΔ=Δ=∫ΔΔ−εεσ故误差的标准差为σe=0.29ΔX。量化误差是叠加在原信号上的随机误差。1－2－3截断、泄漏和窗函数信号的历程是无限的，而我们不可能对无限长的整个信号进行处理，所以要进行截断。截断就是将无限长的信号乘以有限宽的窗函数。“窗”的意恿是指透过窗口我们能够看到“外景”（信号）的一部分，昀简单的窗是矩形窗，见图1—6图1－6其函数为⎩⎨⎧=01)(twTtTt≤（1－3）fTfTTfWtwππ)sin()()(=⇔（1－4）对信号截取一段（－T,T），就相当于在时域中对x(t)乘以矩形窗函数w(t)，于是有)()()()(fGfXtwtx∗⇔⋅由频域卷积定理由于w(t)是一个频带无限的函数，所以即使x(t)是限带信号，而在截断以后也必然成为无限带宽的函数，这说明信号的能量分布扩展了；又从采样定理得知，fs＞2fc才不会发生混叠，所以无论采样频率多高，只要信号一经截断就不可避免地引起混叠，因此信号截断必然导致一些误差，这一现象称为泄漏。泄漏；由于信号截断所产生的误差称泄漏。如果增大截断长度，则W(f)图形将压缩变窄（因为主瓣宽=1/T），虽在理论上其频谱范围仍为无穷宽，但实际上中心频率以外的频率分量衰减较快，因而泄漏误差将减小。当T时，W(f)将变为δ(f)函数，而δ(f)函数与X(f)的卷积仍为X(f)，这就说明了：如果不截断就没有泄漏误差。∞→泄漏与窗函数频谱的分瓣有关。如果窗函数的旁瓣较小，相应的泄漏误差也将减小。除矩形窗之外，工程上常用的窗函数还有三角窗和汉宁窗三角窗：图1－7⎪⎩⎪⎨⎧−=011)(tTtwTtTt≥（1－5）2sin)(⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=fTfTTfWππ（1－6）汉宁窗：图1－8⎪⎩⎪⎨⎧⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=0cos5.05.0)(TttwπTtTt≥（1－7）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=TfQTfQfQfW212141)(21)(（1－8）ffTfQππ2sin)(=它们的分瓣，尤其是汉宁窗的分瓣比矩形窗的分瓣小得多，从而对泄漏误差有一定的抑制作用。在实际的信号处理中，常用“单边窗函数”。若以开始测量的时刻作为t＝0截断长度为T，0≤t＜T。这等于把双边窗函数进行了时移。根据傅里叶变换的性质，时域的时移，对应的频域作相移而幅值绝对值不变。因此以单边窗函数载断所产生的泄漏误差与上面讨论的泄漏相同。1－3频谱分析上节中我们巳经谈到了频谱的概念，对于一个任意信号可以有两种描述方法。即时域描述和频域描述。时域描述是信号时间历程的直接记录，频域描述则反映了信号的频率结构组成。频谱是指对信号按频率顺序排列起来的各种成分。对于任意信号的频谱进行的研究称为频谱分析。本节首先介绍信号的频域描述，然后介绍如何用计算机求得信号的功率谱，以便分析信号中的各种频率成分。1－3－1周期信号与离散频谱周期信号是按一定的时间间隔T（周期）不断重复的信号，它满足于下列关系式)()(nTtxtx+=（1－9）1．傅里叶级数的三角函数展开式在有限区间上，任何周期函数（信号x(t)）凡满足狄里赫利条件者都可以展开成傅里叶级数。傅里叶级数的三角函数展开式如下：（1－10）()∑++=tnbtnaatxnn0.0sincos)(ωω式中：常值分量、余弦分量的幅值和正弦分量的幅值分别为：⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫===∫∫∫−−tdtntxTbtdtntxTadttxTanTTnTT0220220sin)(2cos)(2)(1ωω（1－11）T――周期ω0――圆频率，Tπω20=n＝1,2,3,…将式（1－10）中同频项合并，可以改写成（1－12）(∑∞=++=100sin)(nnntnAatxϕω)式中22nnnbaA+=nnnbatg=ϕ从式（1一12）可见，周期信号是由一个或几个、乃至无穷多个不同频率的谐波选加而成。以圆频率为横坐标，幅值An或相角ϕn为纵坐标所作的图称为频谱图，An一ω图叫幅频谱,ϕn一ω图叫相频谱。由于n是整数序列，相邻频率的间隔Tπωω20==Δ，即各频率成分都是ω0的整倍数，因而谱线是离散的。我们把ω0称为基频，把几次倍频成分)sin(0nnnAϕω+称为几次谐波。每一根谱线对应其中一种谐波。频谱就是构成信号x(t)的各种频率分量的集合，它完整地表示信号的频率结构。例：求周期性三角波的傅里叶级数解：在x(t)的一个周期中图1－9可表示为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−+=tTAATAAtx22)(2002TttT≤≤≤≤−常值分量222)(122200AdttTAATdttxTaTTT=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−==∫∫−余弦分量的幅值∫∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛−==−200220cos24cos)(2TTTntdtntTAATtdtntxTaωω⎪⎩⎪⎨⎧==042sin422222πππnAnnA...6,4,2...5,3,1==nn正弦分量的幅值0sin)(2220==∫−TTntdtntxTbω上式是因为x(t)是偶函数，sinnω0t为奇函数，所以x(t)sinnω0t也为奇函数，而奇函数积分一个周期之值等于零。这样，该周期性三角波的傅里叶级数展开式为⎟⎠⎞⎜⎝⎛++++=...cos51cos31cos42)(05203202tttAAtxωωωπ∑∞=+=1022cos142ntnnAAωπ(n=1,3,5…)⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=∑∞=2sin1420122πωπtnnAAn(n=2,4,6…)周期性三角波的幅频谱图如图1－10所示。其幅频谱只包含常值分量基波和奇次谐波的频率分量，谐波的幅值以1/n2的规律收敛。图1－102．傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数也可以写成复指数函数形式。根据欧拉公式：(1-13)tjtetjωωωsincos±=±其中(tjtjeetωωω+=−21cos)(1-14)(tjtjrejtωωω−=−21sin)(1-15)因此式（1－10）可改写为()()∑∞=−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+++=10002121)(ntjnnntjnnnejbaejbaatxωω(1-16)令(nnnjbaC−=21)(1-17a)(nnnjbaC+=−21)(1-17b)则∑∑∞=∞=−−++=11000)(ntjnnntjnneCeCCtxωω或(n=0,±1,±2,…)∑∞−∞==ntjnneCtx0)(ω这就是傅里叶级数的复指数函数形式，将式(1-11)带入式(1-17a)即得∫−=dtetxTCtjnn0)(1ω(1-19）一般周期函数控按傅里叶级数的复指数函数形式展开后，其实频谱总是偶对称的，其虚频谱总是奇对称的。周期信号的频谱具有三个特点：①周期信号的频谱是离散的；②每条谱线只出现在基波频率的整倍数上，不存在非整倍数的频率分量；③各频率分量的谱线高度与对应谐波的振幅成正比。工程中常见的周期信号，其谐波幅度总的趋势是随谐波次数的增高而减小的。因此，在频谱分析中没有必要取那些次数过高的谐波分量。1－3－2非周期信号与连续频谱1．傅里叶变换周期为T的信号x(t)其频谱是离散的。当x(t)的周期T趋于无穷大时，则该信号就成为非周期信号了。周期信号频谱谱线的频率间隔Tπωω20==Δ，当周期T趋于无穷大时，其频率间隔Δω趋于无穷小，所以非周期信号的频谱是连续的。设有一个周期信号x(t)，在⎟⎠⎞⎜⎝⎛−TT2,2区间以傅里叶级数表示为tjnnTTtjntjnnnedtetxTeCtx00022)(1)(ωωω∑∫∑∞−∞=−−∞−∞=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==当T趋于∞时，频率间隔