第十章 重积分

第1页共32页第十章重积分第1节二重积分的概念与性质教学目的：深刻理解二重积分的概念、性质、方法和基本技巧教学重点：利用二重积分的性质计算教学难点：二重积分的几何意义教学方法：讲解法教学手段：多媒体课件授课教学内容：一、二重积分的概念1.曲顶柱体的体积设有一空间立体,它的底是xoy面上的有界区域D,它的侧面是以D的边界曲线为准线,而母线平行于z轴的柱面,它的顶是曲面(.)zfxy。当(,)xyD时,(,)fxy在D上连续且(,)0fxy,以后称这种立体为曲顶柱体。曲顶柱体的体积V可以这样来计算:(1)用任意一组曲线网将区域D分成n个小区域1，2，，n，以这些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于z轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体分划成n个小曲顶柱体1，2，，n。（假设i所对应的小曲顶柱体为i,这里i既代表第i个小区域,又表示它的面积值,i既代表第i个小曲顶柱体,又代表它的体积值。)第2页共32页图9-1-1从而1niiV(将化整为零)(2)由于(,)fxy连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大。因此,可以将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是iiiiiiif()()()(以不变之高代替变高,求i的近似值)(3)整个曲顶柱体的体积近似值为Vfiiiin()1(4)为得到V的精确值,只需让这n个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩。为此,我们引入区域直径的概念:一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零。设n个小区域直径中的最大者为,则Vfniiiilim(),012.平面薄片的质量设有一平面薄片占有xoy面上的区域D,它在,xy处的面密度为,xy,这里,0xy,而且,xy在D上连续,现计算该平面薄片的质量M。第3页共32页图9-1-2将D分成n个小区域1，2，，n，用i记i的直径,i既代表第i个小区域又代表它的面积。当1maxiin很小时,由于,xy连续,每小片区域的质量可近似地看作是均匀的,那么第i小块区域的近似质量可取为(,)(,)iiiiii于是niiiiM1),(Miiiinlim(,)01两种实际意义完全不同的问题,最终都归结同一形式的极限问题。因此,有必要撇开这类极限问题的实际背景,给出一个更广泛、更抽象的数学概念,即二重积分。3.二重积分的定义设,fxy是闭区域D上的有界函数,将区域D分成个小区域12,,,n,其中,i既表示第i个小区域,也表示它的面积,i表示它的直径。max{}1ini(,)iii作乘积(,)(1,2,)iiifin作和式1(,)niiiif若极限01lim,niiiif存在,则称此极限值为函数,fxy在区域D上的二重积分,第4页共32页记作,Dfxyd。即,Dfxyd01lim,niiiif其中:,fxy称之为被积函数,,fxyd称之为被积表达式,d称之为面积元素,,xy称之为积分变量,D称之为积分区域,1,niiiif称之为积分和式。4.几个事实(1)二重积分的存在定理若,fxy在闭区域D上连续,则,fxy在D上的二重积分存在。声明:在以后的讨论中,我们总假定在闭区域上的二重积分存在。(2),Dfxyd中的面积元素d象征着积分和式中的i。图9-1-3由于二重积分的定义中对区域D的划分是任意的,若用一组平行于坐标轴的直线来划分区域D,那么除了靠近边界曲线的一些小区域之外,绝大多数的小区域都是矩形,因此,可以将d记作dxdy(并称dxdy为直角坐标系下的面积元素),二重积分也可表示成为,Dfxyd。(3)若,0fxy,二重积分表示以,fxy为曲顶,以D为底的曲顶柱体的体积。二、二重积分的性质二重积分与定积分有相类似的性质1.线性性[(,)(,)](,)(,)]fxygxydfxydgxydDDD第5页共32页其中:,是常数。2.对区域的可加性若区域D分为两个部分区域12,DD,则fxydfxydfxydDDD(,)(,)(,)213.若在D上,,1fxy,为区域D的面积,则1ddDD几何意义:高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。4.若在D上,,,fxyxy,则有不等式DDdyxdyxf),(),(特别地,由于,,,fxyfxyfxy，有dyxfdyxfDD),(),(5.估值不等式设M与m分别是,fxy在闭区域D上最大值和最小值,是M的面积,则DMdyxfm),(6.二重积分的中值定理设函数,fxy在闭区域D上连续,是D的面积,则在D上至少存在一点,,使得Dfdyxf),(),(例1估计二重积分2249Dxyd的值,D是圆域xy224。解求被积函数22,49fxyxy在区域D上可能的最值第6页共32页0802yyfxxf0,0是驻点,且0,09f；在边界上,)22(3259)4(4),(222xxxxyxf25),(13yxf25maxf,9minf,于是有1004254936I小结：二重积分的定义（和式的极限）二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）二重积分的性质作业：P154EX4（1）（2）(3)，第7页共32页第2节二重积分的计算法教学目的：深刻理解二重积分的计算方法和基本技巧教学重点：熟练掌握二重积分计算教学难点：二重积分在极坐标下的计算教学方法：讲解法教学手段：多媒体课件授课教学内容：利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的。一、利用直角坐标计算二重积分我们用几何观点来讨论二重积分,Dfxyd的计算问题。讨论中,我们假定,0fxy；假定积分区域D可用不等式axbxyx12()()表示,其中12,xx在,ab上连续。图9-2-1图9-2-2据二重积分的几何意义可知,,Dfxyd的值等于以D为底,以曲面,zfxy为顶的曲顶柱体的体积。图9-2-3第8页共32页在区间,ab上任意取定一个点0x,作平行于yoz面的平面0xx,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间1020,xx为底,曲线0,zfxy为曲边的曲边梯形,其面积为201000,xxAxfxydy一般地,过区间,ab上任一点x且平行于yoz面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为21,xxAxfxydy利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为VAxadxfxydydxbxxab()(,)()()12从而有dxdyyxfdyxfbaxxD)(2)(1),(),((1)上述积分叫做先对Y,后对X的二次积分,即先把x看作常数,),(yxf只看作y的函数,对),(yxf计算从)(1x到)(2x的定积分,然后把所得的结果(它是x的函数)再对x从a到b计算定积分。这个先对y,后对x的二次积分也常记作fxyddxfxydyDabxx(,)(,)()()12在上述讨论中,假定了,0fxy，利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算公式(1)。但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的),(yxf(在D上连续),公式(1)总是成立的。例1计算IxdDxyxyD(){(,)|,}111022解dxyxdyxdxI2011220211)1()1(第9页共32页38322)1(2113112xxdxx类似地,如果积分区域D可以用下述不等式cydyxy,()()12表示,且函数1()y,2()y在[,]cd上连续,,fxy在D上连续,则fxydfxydxdydyfxydxDyycdcdyy(,)(,)(,)()()()()1212(2)图9-2-4图9-2-5显然,(2)式是先对x,后对y的二次积分。二重积分化二次积分时应注意的问题1.积分区域的形状前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点:对于I型(或II型)区域,用平行于y轴(x轴)的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点。如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I型(或II型)区域的并集。2.积分限的确定二重积分化二次积分,确定两个定积分的限是关键。这里,我们介绍配置二次积分限的方法--几何法。画出积分区域D的图形(假设的图形如下)第10页共32页图9-2-6在,ab上任取一点x,过x作平行于y轴的直线,该直线穿过区域D,与区域D的边界有两个交点))(,(1xx与))(,(2xx,这里的)(1x、)(2x就是将x,看作常数而对y积分时的下限和上限；又因x是在区间,ab上任意取的,所以再将x看作变量而对x积分时,积分的下限为a、上限为b。例2计算Dxyd,其中D是由抛物线yx2及直线yx2所围成的区域。解积分区域可用下列不等式表示Dyyxy:,1222xyddyxydxxydyDyyyy122212222121224582512yyydy()例3求由曲面zxy222及zxy6222所围成的立体的体积。解1.作出该立体的简图,并确定它在xoy面上的投影区域第11页共32页图9-2-7消去变量z得一垂直于xoy面的柱面222xy,立体镶嵌在其中,立体在xoy面的投影区域就是该柱面在xoy面上所围成的区域Dxy:2222.列出体积计算的表达式VxyxydD[()()]6222222()63323xydD3.配置积分限,化二重积分为二次积分并作定积分计算图9-2-8VdxdydDDD63322而2Dd由,xy的对称性有xdydDD22xdxdxdyxxdxDxx22222222222222424422022202xxdxsincos第12页共32页162121222()!!()!!()!!1611422所求立体的体积为V1266二、利用极坐标计算二重积分1.变换公式按照二重积分的定义有fxydfDiiiin(,)lim(,)01图9-2-9现研究这一和式极限在极坐标中的形式。用以极点0为中心的一族同心圆r常数以及从极点出发的一族射线常数,将D剖分成个小闭区域。除了包含边界点的一些小闭区域外,小闭区域i的面积可如下计算iiiiiiiiiirrrrrr)2(2121)(2122iiiiiiiirrrrrr2)(其中,ir表示相邻两圆弧半径的平均值。在小区域i上取点,iir,设该点直角坐标为,ii,据直角坐标与极坐标的关系有iiiiiirrcos,sin于是第13页共32页lim(,)lim(cos,sin)