等和线定理

第1招：等和线定理【知识点】1.等和线定理：（1）平面向量共线定理已知OAOBOC,若1，则,,ABC三点共线；反之亦然.（2）等和线平面内一组基底,OAOB及任一向量,,OPOPOAOBR，若点P在直线AB上或在平行于AB的直线上，则k(定值),反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线成为等和线.①当等和线恰为直线AB时，1k；②当等和线在O点和直线AB之间时，0,1k；③当直线AB在O点和等和线之间时，1,k；④当等和线过O点时，0k；⑤若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数；⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比；2.等和线定理应用背景:在平面向量基本定理的表达式中，若需研究两系数的和时，可以用等值线法.【典例剖析】例1.如图，CDB与ABC的面积之比为2，点P是区域ABCD内的任一点（含边界），且ACABAP，则的取值范围是()A．1,0B．2,0C．3,0D．4,0解析：过点P作GH//BC，交ABAC,的延长线于HG,则AHyAGxAP，且1yx，当点P位于D点时，HG,分别位于','BC，CDB与ABC的面积之比为2，ABABACAC3',3'，ACABAByACxAByACxAHyAGxOP33''所以，3333,3yxxy当点P位于A点时，显然有：0，所以，选C答案：C.总结：通过等和线定理绘制出一系列等和线，找出其中的临界值，即为系数和的最值.【变式训练】变式1：如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且2AD，点P是BCD（含边界）的动点，设OBOCOP，则的最大值为__________．变式2：设长方形ABCD的边长分别是2,1ABAD，点P是BCD（含边界）的动点设ADyABxAP，则yx2的取值范围为()A．2,1B．3,1C．3,2D．2,0【真题链接】（2017高考全国Ⅲ理科第12题）在矩形ABCD中，1AB，2AD，动点P在以C为圆心且与BD相切的圆上，若ADABAP，则的最大值为()A．3B．22C．5D．2【答案】变式1:答案：23解析：当点P位于B点时，过点B作BCGH//，交ODOC,的延长线于HG,则AHyAGxOP，且1yx，ODOCODyOCxOHyOGxOBOP2323所以，23232323,23yxyx故答案为23变式2:答案：B解析：AEyABxADyABxADyABxAP2212如图，连BE，当点P位于B点时，三点PEB,,共线，且ABAP，即1012yx，当点P位于C点时，AEyABxAEABACAP22，即3212yx故选B高考真题链接：答案：A