§2.2-衍射的角谱理论

§2.2衍射的角谱理论目录•内容回顾•单色平面波与本征函数•角谱的传播•孔径对角谱的影响3平面波的复振幅分布：(,,)expcoscoscosUxyzajkxyz常量振幅传播方向的方向余弦222coscoscos1平面波的空间频率xz2024kXxz2024kX(,)expcosUxyAjkxcosxCcosX内容回顾4复振幅分布的空间频率（角谱）:(,)(,)exp2()gxyGjxydd空间频谱单色平面波传播方向余弦：可看作不同方向传播的单色平面波分量的线性叠加coscoscoscos(,)(,)exp2()Ggxyjxydxdy平面波的角谱内容回顾内容回顾cosα=λξsinα=λη2.2.1平面单色波与本征函数•如果不考虑夫琅禾费近似，则相干光场在给定两平面间的传播过程就是通过一个二维线性空不变系统。系统的本征函数形如exp𝑗2πξ𝑥+η𝑦。•单色平面波在该输入平面上形成的分布即为该系统的本征函数。光场分布U𝑥0,𝑦0,0光场分布𝑈𝑥,𝑦,𝑧孔径平面（z=0）观察平面（z=z）U𝑥0,𝑦0,0与𝑈𝑥,𝑦,𝑧的关系如何？——传播的问题2.2.2角谱的传播•按角谱的观点:孔径平面和观察平面上的光场分布都可以分别看成是许多不同方向传播的单色平面波分量的线性组合。每一平面波分量的相对振幅和相位取决于相应的角谱。00000coscoscoscoscoscos,,exp2UxyAjxydd（1）coscoscoscoscoscos,,exp2UxyAjxydd（2）2.2.2角谱的传播2)()0kUP2将（2）代入(220coscoscoscos,,exp1coscosAAjkz得：（3）22coscos1（1）各平面波分量传播一段距离z仅仅是引入一定的相移，振幅不受影响。不同方向传播的平面波分量走过的距离不同，所以产生的相移和传播方向有关。讨论：2.2.2角谱的传播22coscos1（2）平面波分量在z方向按负指数规律迅速衰减，这些角谱分量称为倏逝波。22coscos1（3）平面波分量的传播方向垂直于z轴，沿z轴方向的净能量流为零。cos0A(𝐶𝑂𝑆𝛼λ,𝐶𝑂𝑆𝛽λ)=𝐴0(𝐶𝑂𝑆𝛼λ,𝐶𝑂𝑆𝛽λ)exp(-μz)2.2.2角谱的传播𝐴ξ,η=𝐴0ξ,η𝐻(ξ,η)再次说明系统是线性不变系统H𝜉,𝜂=𝐴(𝜉,𝜂)𝐴0(𝜉,𝜂)=exp[𝑗𝑘𝑧1−(𝜆𝜉)2−(𝜆𝜂)2]H𝜉,𝜂=exp𝑗𝑘𝑧1−𝜆𝜉2−𝜆𝜂2,𝜉2+𝜂21𝜆20,其他当观察平面和孔径平面之间的距离z至少大于几个波长时，倏逝波衰减到很小，可以忽略。传递函数可以表示为表征系统频谱特性的传递函数：2.2.2角谱的传播基尔霍夫理论球面波相干叠加的衍射理论空域角谱理论衍射的平面波理论频域ξη0把光波的传播现象看作一个带宽有限的空间滤波器。在频率平面上的半径为1/的圆形区域内，传递函数的模为1，对各频率分量的振幅没有影响。但要引入与频率有关的相移。在这一圆形区域外，传递函数为零。对空域中比波长还要小的精细结构，或者说空间频率大于1/的信息，在单色光照明下不能沿z方向向前传递。光在自由空间传播时，携带信息的能力是有限的。1λ2.2.2角谱的传播2.2.3孔径对角谱的影响前面只讨论了孔径到观察屏之间的光场和角谱的变化，我们需要讨论孔径的入射光场和透射光场之间的关系，才能形成从入射光到观察屏的完整的角谱衍射理论。𝑈0𝑥0,𝑦0=𝑈𝑖𝑥0,𝑦0t(𝑥0,𝑦0)假设入射到孔径平面上的场分布为𝑈𝑖𝑥0,𝑦0，衍射屏的复振幅透过率为t(𝑥0,𝑦0)，衍射屏后表后面即出射光场为𝑈0𝑥0,𝑦0，则孔径的复振幅透过率：t(x0,y0)=1在∑内0其它假设入射光场的角谱和透射光场的角谱分别为：𝐴𝑖𝑐𝑜𝑠𝛼𝜆,𝑐𝑜𝑠𝛽𝜆和𝐴0𝑐𝑜𝑠𝛼𝜆,𝑐𝑜𝑠𝛽𝜆，由傅里叶变换的卷积定理可得𝐴0𝑐𝑜𝑠𝛼𝜆,𝑐𝑜𝑠𝛽𝜆=𝐴𝑖𝑐𝑜𝑠𝛼𝜆,𝑐𝑜𝑠𝛽𝜆∗T𝑐𝑜𝑠𝛼𝜆,𝑐𝑜𝑠𝛽𝜆衍射屏透过率函数的傅里叶变换T𝑐𝑜𝑠𝛼𝜆,𝑐𝑜𝑠𝛽𝜆=𝑡(𝑥0,𝑦0)𝑒𝑥𝑝−𝑗2𝜋𝑐𝑜𝑠𝛼𝜆𝑥0+𝑐𝑜𝑠𝛽𝜆𝑦0𝑑𝑥0𝑑𝑦0∞−∞2.2.3孔径对角谱的影响对于用单位振幅的平面波垂直照射衍射屏这种特殊情况，此时𝐴𝑖𝑐𝑜𝑠𝛼𝜆,𝑐𝑜𝑠𝛽𝜆=δ𝑐𝑜𝑠𝛼𝜆,𝑐𝑜𝑠𝛽𝜆因而𝐴0𝑐𝑜𝑠𝛼𝜆,𝑐𝑜𝑠𝛽𝜆=δ𝑐𝑜𝑠𝛼𝜆,𝑐𝑜𝑠𝛽𝜆∗T𝑐𝑜𝑠𝛼𝜆,𝑐𝑜𝑠𝛽𝜆=T𝑐𝑜𝑠𝛼𝜆,𝑐𝑜𝑠𝛽𝜆通过衍射屏后，由δ函数所表征的入射光场的角谱变成了孔径函数的傅里叶变换，显然角谱分量大大增加了。因此，从空域看，孔径的作用限制了入射波面的大小；从频域看则是展宽了入射光场的角谱。2.2.3孔径对角谱的影响