分数阶微积分的探讨-(2)

湖北大学本科毕业论文（设计）I目录绪论...................................................11分数阶微分的基本理论..............................................11.1分数阶微积分..................................................21.2分数阶微积分的定义............................................31.3分数阶微积分的性质............................................51.4各种定义之间的联系与区别......................................61.5一些初等函数的分数阶微积分....................................81.6分数阶微积分的物理意义.......................................101.7分数阶微积分在自然中的存在...................................112分数阶微积分的应用...............................................122.1医学图像处理.................................................122.2天气和气候的研究.............................................132.3地震奇异性分析...............................................14参考文献...........................................................15致谢...............................................................16湖北大学本科毕业论文（设计）II分数阶微积分及其应用摘要分数阶微积分作为整数阶微积分的推广，其概念早已提出，近300年来，分数阶微积分这一重要数学分支渐成体系，它是研究分形分析的重要工具被应用于许多工程计算中。本文给出了分数阶微积分的一些性质及其推导过程，并给出一些初等函数的分数阶微积分,及其应用。【关键词】分数阶微积分分数阶微分分数阶积分图像增强模板应用湖北大学本科毕业论文（设计）IIIFractionalcalculusanditsapplicationsAbstractFractionalCalculusasextentionofintegralcalculus,itsconcepthaslongbeenproposed,fornearly300years,fractionalcalculusofthisimportantbranchofmathematicsthathadgraduallybecomethesystem,itisthestudyoffractalanalysistoolsareusedinmanyengineeringcalculations.inhispaper,somepropertiesofthefractionalcalculusandthederivationprocessofthefractionalcalculusaregiven,Besidessomeelementaryfunctionsoffractionalcalculusanditsapplications.【KeyWords】FractionalCalculusFractionalderivativesFractionalintegralsimageenhancementapplications湖北大学本科毕业论文（设计）1绪论分数阶微积分是微积分的一个分支，它对函数进行分数阶微分积分，如对函数求1/2阶导数。分数阶微积分(FractionalCalculus)是相对传统意义上的整数阶微积分提出来的。普通的微积分运算，如一阶微分、二阶微分、一阶积分、高阶积分等都是在积分运算次数为整数情况下的微积分运算，而分数阶微分，顾名思义，就是将通常意义下的整数阶微积分运算推广到运算阶次为分数的情况。例如：对x^n求1/2阶导数;分数阶微积分就可以看作是整数阶微积分运算的推广。值得注意的是，其实将上述这种非整数阶的微积分称之为“分数阶微积分”或“分数阶演算”是一种不严格的命名，其中的“分数”是一个不准确的归类。因为指数v可以被推广到有理分数、无理数甚至复数，所以从严格数学意义上讲，它应该被称为“非整数阶微积分”或“非整数阶演算”。但是由于历史的原因，“分数阶微积分”或“分数阶演算”的命名己经成为习惯用法。分数阶微积分的概念虽然早就提出来了，但是由于对分数阶微分方程的求解缺乏相应的数学工具，所以它在工程中的应用一直到上世纪后期才有研究。实际系统中有许多是分数阶的而不是整数阶的，之所以将它们作为整数阶系统来考虑是由于其复杂性。然而随着分数阶微积分理论的发展，对于分数阶微积分在实际系统中的应用开始了研究。分数阶微积分是一个古老而新鲜的概念。早在整数阶微积分创立的初期，就有一些数学家，如L‘hospital、Leibniz等开始考虑它的含义。然而，由于缺乏应用背景支撑等多方面的原因，它长期以来并没有得到较多的关注和研究。随着自然科学和社会科学的发展、复杂工程应用需求的增加，尤其是20世纪七八十年代以来对分形和各种复杂系统的深入研究，分数阶微积分理论及其应用开始受到广泛关注。进入21世纪以来，分数阶微积分建模方法和理论在高能物理、反常扩散、复杂粘弹性材料力学本构关系、系统控制、流变性、地球物理、生物医学工程、经济学等诸多领域有了若干非常成功的应用，凸显了其独特优势和不可代替性，其理论和应用研究在国际上已成为一个热点。近年来分数阶微积分被广泛的应用于反常扩散、信号处理与控制、流体力学、图像处理、软物质研究、地震分析、粘弹性阻尼器、电力分形网络、分数阶正弦振荡器、分形理论、分数阶PID控制器设计。但是由于分数阶微积分具有历史依赖性与全域相关性，增加了分数阶导数方程的数值计算复杂性。特别是在信息科学领域中，一些新颖的应用被相继地实现，如系统建模、曲线拟合、信号滤波、模式识别、图像边界提取、系统辨识、系统稳定性分析等等。分数阶微积分的非局域性质，导致分数阶导数控制方程数值模拟的计算量和存储量随问题规模的增大而增加得比相应整数阶方程快得多，一些计算整数阶方程十分有效的数值方法对分数阶方程也完全失效。而且，目前大多数的分数阶微积分方程模型还是唯象模型，其内在的物理和力学机理还不是很清楚，有待进一步的深入研究。同时一些学者提出的短期记忆方法只对很少一些情况有效，并不具有普适性。因而长时间历程问题的解决任重道远。⑵在原有算法基础上开发出时间－空间混合的分数阶导数方程的算法和软件。一种数学工具要在工程中有广泛的应用，那么就必须有成熟的算法与软件，像有限元的计算模拟软件就有很多，所以有限元才能在工程界有如此广泛的应用。⑶分数阶导数的定义还不完善，现在分数阶导数的定义有多种，至今还没有一个完善到大多数学者能够接受的定义。1分数阶微分的基本理论1.1分数阶微分目前通常使用的分数阶微积分记法是：湖北大学本科毕业论文（设计）2如果对于自变量为x的函数y=f(x)，自变量取值范围为(a,b)区间，在该区间上，对函数f(x)的v阶分数阶微积分记为：vvabDfxfx其中微积分阶次v是分数，若v0,v∈R则称为分数阶微分。如果v0,则称为分数阶积分。对于连续函数yft,依据整数阶导数的定义，它的一阶导数定义为：limhoftfthdffdth（1.1）依据相同的定义，可以推出二阶导数的定义式：220limhftfthfftth021limhftfthfthfthhhh2022limhftfthfthh（1.2）根据（1.1）和（1.2）我们得知：33303323limhftfthfthfthdfftdth更一般的，n阶导数的一般定义可以记为：001lim1rnnnnrnnhrdfftftrhdth，其中nr为二项式系数，!12...1nrnnnnrr，现在，让我们考虑一般化分数阶在表达式中的情况：11nrpphrproftftrhh公式中：p,n是两个任意的整数。显然对于pn,我们有0limppphphdfftftdt，因为在这种情况下，开始的分子中所有的系数在p之后都等于零。让我们考虑p为负值的情况。为方便起见，我们定义为：湖北大学本科毕业论文（设计）3!lim12...tNNNtttttN因此我们有!1...11rpprrppprr如果用-p代替p可以写作：111!ptatfdp，其中p是一个正整数。如果n是一个固定的数，那么当h0时，phft的极限趋近于零。当时，为了渠到一个非零的极限，我们必须假设n，我们可以令h=(t-a)/n，其中a是一个实常数，并且考虑到phft的极限可能为无限或有限值，我们可以表示为：0limpphathftDft我们可以推导出一般的表达式为：patDft=0limhnpprrohftrh=111!ptatfdp1.2分数阶微积分的定义当分数阶微积分阶次v取自然数n时(n∈Z)，即v=n时，表示为通常意义下的整数阶微分；v=−n时表示整数阶积分。由此可见，分数阶微积分是整数阶微积分的推广，整数阶微积分可以看成是分数阶微积分的特例。在分数阶微积分理论发展过程中，出现了很多种函数的分数阶微积分的定义，如由整数阶微积分直接扩展而来的Cauchy积分公式，Grünwald-Letnikov分数阶微积分定义、Riemann-Liouville分数阶微积分定义以及Caputo定义等。关于分数阶导数的定义，许多数学家各自从不同角度入手，给分数阶导数分别以不同的定义。其定义的合理性与科学性已在实践中得以检验。这个数学分支的发展已在实际问题中，得到了广泛的应用。本文这部分重点将分析各种不同的定义，也说明各种定义之间的区别与联系。1.2.1Cauchy积分公式该公式由整数积分直接扩展而来湖北大学本科毕业论文（设计）4112vvcvfDftdjt其中c为包含ft单值和解析开区域的光滑曲线，Γ(v+1)为Gamma函数，它也是第二类欧拉积分，在分数阶微积分的运算中有着非常重要的作用。完全的函数是以Euler极限的形式给出，如下面所示：!lim12...tNNNtttttN常用的函数的形式是积分变换形式：10tytyedy1.2.2Grunwald-Letnikov分数阶微积分定义patDft=0limhnpprrohftrh1.2.3Riemann-Liouville分数阶微积分定义patDft=11tatfdp01，且为初值，特别地，D左右侧的下标分别表示积分的下、上界限。还可以定义出分数阶微分，假设分数阶n−1≤n，则定义其分数阶微分为11tnnnatatnnnafddDftDftfdtndtt