第六届周培源大学生力学竞赛试题解析

第六届周培源大学生力学竞赛试题浅析一、声东击西的射击手（30分）射击的最高境界，不仅是指哪打哪，还要知道往哪儿指。欢迎来到这个与众不同的射击场。在这里，共有10个小球Pi（号码从0到9），你需要把某个小球放在圆弧的适当位置上，然后静止释放小球即可。假设系统在同一竖直平面内（如图所示），不考虑摩擦。圆弧AB的半径为R，B点与地面的高度为H。均质细杆CD的质量为M，长为L=0.5H，悬挂点C与B处于同一水平位置，BC距离为S。小球Pi质量均为m，不计半径，小球Pi与CD杆或地面碰撞的恢复因数均为ei，且满足/9iei,(i=0,1,2…,9)。（1）为使小球P1击中杆上D点，试确定静止释放时的θ，距离S有何限制？（2）假设某小球击中CD杆上的E点，为使E点尽可能远离D点，试确定该小球的号码及静止释放时的θ，此时CE的距离是多少？（3）假设某小球击中CD杆上的E点，为使悬挂点C处的冲量尽可能小，试确定该小球的号码及静止释放时的θ，此时CE的距离是多少？冲量有多大？21(1cos),22(1cos)BBmgRmvvgR20,,12BBxvtxxvygygtyHgt22(1cos)1122SgRtHHgt2SHR一、声东击西的射击手（30分）［解］（1）为使小球P1击中杆上D点，试确定静止释放时的θ，距离S有何限制？小球从初始位置运动到B点时，竖直速度为零，水平速度为小球离开B点后作平抛运动，以B下方的地面为坐标系原点，有把参数带入小球的位移表达式，有S的限制为2/tHg22(1cos)2/SNgRHg（2）假设某小球击中CD杆上的E点，为了使E点尽可能远离D点，试确定小球的号码及静止释放时的θ，此时CE的距离是多少？直观上看，当e=1（小球的号码为9）时反弹得最高，有可能击中C点。此时E点离D点最远，距离为CE=0。根据运动方程，在竖直方向，小球离开B点后与地面碰撞的时间为e=1时，根据落下与反弹的轨迹对称性，设小球与地面碰撞N次，于是有S=2NvBt，23H212yvmgH2yvgH（3）假设小球击中CD杆上的E点，为了使悬挂点C处的冲量尽可能小，试确定小球的号码及静止释放时的θ，此时CE的距离是多少？冲量有多大？根据碰撞的理论，当冲量IE与杆垂直，且时，C点的碰撞冲量IC=0。上述结论可以表示为：小球要在反弹最高点碰撞，且碰撞点与地面的高度为由于水平方向速度与竖直方向速度独立，下面只考虑竖直方向：小球落地时速度大小为。碰撞后方向上的速度大小为再利用上式，得反弹的最大高度为2ieH。所以二、骄傲自满的大力士（35分）有位大力士总是自命不凡，他夫人决定找机会教训他一下。正好附近足球场的球门坏了一半，剩下的半边球门如图：立柱OA垂直固定于水平地面上，沿x轴方向，高为H=2.4m，横梁AB平行于地面，沿z轴负方向，长为L=H。立柱和横梁均为实心圆柱，直径均为D=0.06m。夫人经过计算后想出了主意：和丈夫比赛，看谁能把球门拉倒。比赛规则是：通过系在横梁B端中点的绳索，只能用静力拉球门；绳索上有且只有B点系在与地面固定的物体上。绳索的重量不计，长度不限。球门不计自重，采用第三强度理论，材料的屈服应力σs=57MPa。大力士认为自己肯定不会输，因为他知道两人鞋底与地面摩擦系数都是μ=0.5，自己重量为G1=700N，夫人重量为G2=510N。为了显示自己的大度，他允许夫人享受一点点优惠条件。于是夫人以B在地面的投影C为圆心，在地面上画了一个半径R=0.8m的圆圈，要求丈夫身体在地面的投影不能进该圆圈，但她自己不受限制。大力士认为这么个小圆圈没什么了不起，就同意了。大力士抽签先上场，他决定让绳索与xy平面平行，但绳索与地面的夹角θ不知多大为好，于是他在不同的角度试了多次，尽管每次都用了最大力气，但是球门居然纹丝不动，也看不出有明显的变形。而夫人上场后一用力就把球门拉倒了……（1）当大力士让绳索与地面成θ角度，绳索中的拉力最大为多大？该最大拉力与大力士拉绳的姿势有无关系？（2）当大力士让绳索与地面成θ角度，球门中最危险点的坐标值是多少？（3）在限制条件下，θ角为多少时大力士最接近把球门拉倒？夫人可能采用什么方式把球门拉倒？TxTyTxTyTxTy三、顾此失彼的挑战者（30分）魔术正式开始前，魔术师邀请观众上台了解道具，并体验如何让水晶球在板上平衡，有位观众自告奋勇要挑战魔术师的问题。魔术师首先介绍道具（如图所示）：两个透明的水晶圆球O1和O2；一个滚轴D；一个透明的水晶平板AB，A端水平固定在墙中，不考虑自重时AB板与水平面平行。在表演时，滚轴D可以根据需要安装在AB板的任意位置，且A与D总在同一高度。假设水晶板是均质等截面板，长度为l，单位长度重量为q，弯曲刚度为EI。两均质水晶圆球的半径均为r，重量均为P=ql。假设表演中板的挠度和转角都是小量，球与板之间有滑动摩擦，但不考虑球与板的接触变形和滚动摩擦。观众发现，水晶板由于自重而微微弯曲，如果不安装滚轴D，水晶球在板上可以摆放的任意位置都不能平衡。魔术师的问题如下：（1）如果把滚轴D安装在AB板的B处，此时AB板由于自重所导致的最大挠度在何处？（2）如果把滚轴D安装在AB板之间的某处，有可能使水晶球O1在板上静止，且球与板的接触点恰好是B点。如果不需要具体计算，如何说明滚轴D是更靠近A点还是更靠近B点？定性画出此时AB板挠度的示意图。（3）如果把滚轴D安装在AB板的中点，能否让水晶球O1在AD之间某位置平衡，接触点为C1；同时让水晶球O2在DB之间某位置平衡，接触点为C2。观众试着摆弄了很久，总是顾此失彼，最终也没有成功。如果你认为本问题有解，AC1和AC2的水平距离是多少？如果没有解，如何证明？解：四、技高一筹的魔术师（25分）魔术正式开始，仍用上一题中的道具（板和球的具体参数见第三题）。魔术师首先撤去了滚轴D，观众看到两个水晶球在板上任意位置静止释放，都会从板的B端掉下去。但是细心的观众发现，即使两水晶球放在板的相同位置，掉下去所需时间却明显不同。魔术师解释说，虽然两水晶球的尺寸和重量完全相同，但有一个水晶球的表面涂了透明的新型材料，很光滑。说完在后落下的水晶球O1表面贴上了小纸片以示区别（假设小纸片的尺寸和重量相对水晶球均是小量）。只见魔术师对两个水晶球吹了吹，声称已经把魔力注入其中，然后小心地把贴有纸片的O1球静止放在板上（接触点为B点），同时让纸片远离接触位置，松手后水晶球O1竟然真的可以一直稳稳地停留在板上B点。在观众的掌声中，魔术师撤走了O1球，把O2球拿了起来。“这个水晶球不太听话，我的魔力只能管1分钟。”魔术师说完把O2球转了转，然后更加小心地把O2球也放在板上（接触点为B点）。观众发现，O2球在B点停留了大约1分钟，然后在没有外界干扰的情况下突然从板上B端掉了下来……（1）根据题目叙述，试判断哪个水晶球涂了新型材料？（2）水晶球O1可在B点一直稳稳地停留，简要叙述其原理，分析其中所涉及的关键参数，以及各参数应满足的必要条件或关系。（3）水晶球O2只能在B点停留很短的时间，简要叙述其原理，分析其中所涉及的关键参数，以及各参数应满足的必要条件或关系。注：第四题解答中所用的参数都应在第三、第四题中提及过。解：注：本题也许有不同的答案，只要能解释清楚，并且所需要的物体或条件在题目中都有交待，也可以给分。如果解答涉及的某些条件没有出现在题目中，如考虑浮力、透明的绳子悬挂、在B处挖一个凹槽等等，算错误。